Sommaire
Résoudre graphiquement un système de deux équations à deux inconnues.
Exemple n°1
Résoudre graphiquement le système de deux équations a deux inconnues suivant :
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=-x+4 on détermine le coefficient directeur a=-1 et l’ordonnée à l’origine b=4 .
On place 4 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;4) , j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de 1 (a=-1 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=2x-2 on détermine le coefficient directeur a=2 et l’ordonnée à l’origine b=-2 .
On place -2 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;-2) , j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je monte de 2 (a=2 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le point d’intersection des deux droites a pour coordonnées (2;2) .
Le couple solution du système est (2;2).
Exemple n°2
Résoudre graphiquement le système de deux équations a deux inconnues suivant :
Il faut d’abord transformer les deux équations pour obtenir deux équations de la forme y=ax+b
Dans l’équation 4x+2y=8 , 4x n’est pas à sa place. C’est un terme dans une somme. On enlève 4x de chaque côté.
2y=-4x+8
Dans l’équation précédente, le 2 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit. Je divise par 2 de chaque côté.
y=\frac{-4x+8}{2}\\y=\frac{-4x}{2}+\frac{8}{2}\\y=-2x+4
Dans l’équation 3x+y=5 , 3x n’est pas à sa place. C’est un terme dans une somme. On enlève 3x de chaque côté.
y=-3x+5
On obtient alors un système similaire à celui de l’exercice n°1.
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=-2x+4 on identifie le coefficient directeur a=-2 et l’ordonnée à l’origine b=4 . On place 4 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;4), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de 2 (a=-2 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=-3x+5 on identifie le coefficient directeur a=-3 et l’ordonnée à l’origine b=5 . On place 5 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;5), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de 3 (a=-3 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le point d’intersection des deux droites a pour coordonnées (1;2) .
Le couple-solution du système est (1;2).
Exercice n°1
Résoudre graphiquement le système suivant :
Exercice n°2
Résoudre graphiquement le système suivant :
Résoudre , par substitution , un système de deux équations à deux inconnues.
Exemple n°3
Résoudre, par le calcul, le système de deux équations a deux inconnues suivant :
L’objectif est d’éliminer une des deux inconnues pour obtenir une équation à une seule inconnue. Je choisis d’éliminer y.
A l’aide de la 1ère équation, j’exprime y en fonction de x.
2y=-4x\\y=-\frac{4x}{2}\\y=-2x
Je remplace y par (-2x) par entre parenthèses dans la deuxième équation pour obtenir une équation du premier degré à une seule inconnue :
3x-3(-2x)=-9
Pour la résoudre, il faut mettre à leur place, les membres qui ne sont pas à leur place.
3x+6x=-9\\9x=-9\\x=-\frac{9}{9}\\x=-1
Pour déterminer y , je remplace x par -1 dans ,par exemple, la première équation.
{4}\times{(-1)}+2y=0\\-4+2y=0\\2y=4\\y=\frac{4}{2}\\y=2
Le couple solution est (-1;2)
Valider le résultat avec l’application Calcul Formel de Géogébra.
Saisir 4x+2y=0 sur la ligne 1 et saisir 3x-3y=-9 sur la ligne 2.
Sur la ligne 3, cliquer gauche sur la ligne 2 puis sur la ligne 1 en maintenant le clic durant l’opération et cliquer ensuite sur l’onglet X=.
On voit apparaître le couple solution du système.
Exercice n°3
Résoudre, par le calcul et par substitution, le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Valider vos calculs avec la fenêtre Géogébra ci-dessous :
Exercice n°4
Résoudre, par le calcul et par substitution, le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Valider vos calculs avec la fenêtre Géogébra ci-dessous :
Résoudre , par combinaison linéaire , un système de deux équations à deux inconnues.
Exemple n°4
Résoudre, par le calcul , le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Je décide d’éliminer les x , pour cela je dois multiplier la première équation par 2 et la deuxième équation par -5.
Ainsi on aura 10x dans la nouvelle première équation et son opposé -10x dans la nouvelle deuxième équation.
ATTENTION : quand on dit que je dois multiplier la première équation par 2 , je multiplie tout par 2
quand on dit que je dois multiplier la deuxième équation par -5 , je multiplie tout par-5 .
J’ajoute membre à membre ces deux égalités (les x disparaissent, ce qui était le but recherché)
6y+10y=42-10\\16y=32\\y=\frac{32}{16}\\y=2
Pour déterminer la valeur de x je remplace y par 2 dans par exemple la première équation.
5x+{3}\times{2}=21\\5x+6=21\\5x=21-6\\5x=15\\x=\frac{15}{5}\\x=3
Le couple solution est (3;2)
Valider le résultat avec l’application Calcul Formel de Géogébra.
Saisir 5x+3y=21 sur la ligne 1, valider.
Saisir 2x-2y=2 sur la ligne 2, valider.
Sur la ligne 3, cliquer gauche sur la ligne 2 puis sur la ligne 1 en maintenant le clic durant l’opération et cliquer ensuite sur l’onglet X=.
On voit apparaître le couple solution du système.
Exercice n°5
Résoudre, par le calcul et par combinaison linéaire, le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Valider vos calculs avec la fenêtre Géogébra ci-dessous :
Exercice n°6
Résoudre, par le calcul et par combinaison linéaire, le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Valider vos calculs avec la fenêtre Géogébra ci-dessous :
On veut résoudre graphiquement le système :
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=-3x+3 on identifie le coefficient directeur a=-3 et l’ordonnée à l’origine b=3 . On place 3 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;3), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de 3 (a=-3 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=2x+\frac{1}{2} on identifie le coefficient directeur a=2 et l’ordonnée à l’origine b=\frac{1}{2} . On place\frac{1}{2} sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;\frac{1}{2}), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je monte de 2 (a=2 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le couple solution est (\frac{1}{2};\frac{3}{2}).
On veut résoudre graphiquement le système :
Il faut d’abord transformer les deux équations pour obtenir deux équations de la forme y=ax+b
Dans l’équation 2x+4y=12 , 2x n’est pas à sa place. C’est un terme dans une somme. On enlève 2x de chaque côté.
4y=-2x+12
Dans l’équation précédente, le 4 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit. Je divise par 4 de chaque côté.
y=\frac{-2x+12}{4}\\y=\frac{-2x}{4}+\frac{12}{4}\\y=-\frac{x}{2}+3
Dans l’équation -3x+6y=6 , -3x n’est pas à sa place. C’est un terme dans une somme. On ajoute 3x de chaque côté.
6y=3x+6
Dans l’équation précédente, le 6 n’est pas à sa place. C’est un facteur dans un produit. Je divise par 6 de chaque côté.
y=\frac{3x+6}{6}\\y=\frac{3x}{6}+\frac{6}{6}\\y=\frac{x}{2}+1
On obtient alors le système suivant :
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=-\frac{x}{2}+3 on identifie le coefficient directeur a=-\frac{1}{2} et l’ordonnée à l’origine b=3 . On place 3 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;3), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de \frac{1}{2} (a=-\frac{1}{2} ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=\frac{x}{2}+1 on identifie le coefficient directeur a=\frac{1}{2} et l’ordonnée à l’origine b=1 . On place 1 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;1), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je monte de \frac{1}{2} (a=\frac{1}{2} ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le couple solution est (2;2)
On veut résoudre par le calcul et par substitution le système suivant :
L’objectif est d’éliminer une des deux inconnues pour obtenir une équation à une seule inconnue. Je choisis d’éliminer y.
A l’aide de la 1ère équation, j’exprime y en fonction de x.
6x n’est pas à sa place, j’enlève 6x de chaque côté.
3y=-6x+6
3 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit. Je divise par 3 de chaque côté.
y=\frac{-6x+6}{3}\\y=-2x+2
Je remplace y par (-2x+2) entre parenthèses dans la deuxième équation pour obtenir une équation du premier degré à une seule inconnue :
2x-4(-2x+2)=2
Je développe -4(-2x+2)
2x+8x-8=2
Je réduis le membre de gauche
10x-8=2
-8 n’est pas à sa place, j’ajoute 8 de chaque côté.
10x=2+8\\10x=10
10 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. Je divise par 10 de chaque côté.
x=\frac{10}{10}\\x=1
Pour déterminer y , je remplace x par 1 dans, par exemple, la première équation.
{6}\times{(1)}+3y=6\\6+3y=6
6 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, j’enlève 6 de chaque côté.
3y=6-6\\3y=0
3 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. Je divise par 3 de chaque côté.
y=\frac{0}{3}\\y=0
Le couple solution est (1;0)
On veut résoudre par le calcul et par substitution le système suivant :
L’objectif est d’éliminer une des deux inconnues pour obtenir une équation à une seule inconnue. Je choisis d’éliminer y.
A l’aide de la 1ère équation, j’exprime y en fonction de x.
\frac{x}{2} n’est pas à sa place, j’enlève \frac{x}{2} de chaque côté.
2y=-\frac{x}{2}+6
2 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit. Je divise par 2 de chaque côté.
y=\frac{-\frac{x}{2}+6}{2}\\y=\frac{-\frac{x}{2}}{2}+\frac{6}{2}\\y=-\frac{x}{4}+3
Je remplace y par -\frac{x}{4}+3 entre parenthèses dans la deuxième équation pour obtenir une équation du premier degré à une seule inconnue :
x+\frac{-\frac{x}{4}+3}{2}=5\\x+\frac{-\frac{x}{4}}{2}+\frac{3}{2}=5\\x-\frac{x}{8}+\frac{3}{2}=5
Pour ajouter x-\frac{x}{8} on met au même dénominateur ici, 8.
{x}\times\frac{8}{8}-\frac{x}{8}+\frac{3}{2}=5\\\frac{8x}{8}-\frac{x}{8}+\frac{3}{2}=5\\\frac{7x}{8}+\frac{3}{2}=5
\frac{3}{2} n’est pas à sa place, j’enlève \frac{3}{2} de chaque côté.
\frac{7x}{8}=5-\frac{3}{2}
Pour ajouter 5-\frac{3}{2} on met au même dénominateur ici, 2.
\frac{7x}{8}={5}\times{\frac{2}{2}}-\frac{3}{2}\\\frac{7x}{8}=\frac{10}{2}-\frac{3}{2}\\\frac{7}{8}x=\frac{7}{2}
\frac{7}{8} n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit. Je divise par \frac{7}{8} de chaque côté.
x=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{8}}
Diviser par \frac{7}{8} revient à multiplier par \frac{8}{7}
x={\frac{7}{2}}\times{\frac{8}{7}}\\x=4
Pour déterminer y , je remplace x par 4 dans, par exemple, la première équation.
\frac{4}{2}+2y=6\\2+2y=6
2 n’est pas à sa place, j’enlève 2 de chaque côté.
2y=6-2\\2y=4
2 n’est pas à sa place, c’est un facteur dans un produit. Je divise par 2 de chaque côté.
y=\frac{4}{2}\\y=2
Le couple solution est (4;2)
Il s’agit de résoudre par le calcul et par combinaison linéaire, le système suivant :
Je décide d’éliminer les x , pour cela je dois multiplier la première équation par -4 et la deuxième équation par 3.
Ainsi on aura -12x dans la nouvelle première équation et son opposé 12x dans la nouvelle deuxième équation.
ATTENTION : quand on dit que je dois multiplier la première équation par -4 , je multiplie tout par -4
quand on dit que je dois multiplier la deuxième équation par 3 , je multiplie tout par3 .
J’ajoute membre à membre ces deux égalités (les x disparaissent, ce qui était le but recherché)
-12y-6y=-48+30\\-18y=-18
-18 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. On divise par-18 de chaque côté.
y=\frac{-18}{-18}\\y=1
Pour déterminer la valeur de x je remplace y par 1 dans par exemple la première équation.
3x+{3}\times{1}=12\\3x+3=12
3 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un terme dans une somme. On enlève 3 de chaque côté.
3x=12-3\\3x=9
3 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. On divise par3 de chaque côté.
x=\frac{9}{3}\\x=3
Le couple solution est (3;1)
Il s’agit de résoudre par le calcul et par combinaison linéaire, le système suivant :
Je décide d’éliminer les y , pour cela je dois multiplier la première équation par -1 et la deuxième équation par 2.
Ainsi on aura y dans la nouvelle première équation et son opposé -y dans la nouvelle deuxième équation.
ATTENTION : quand on dit que je dois multiplier la première équation par -1 , je multiplie tout par -1
quand on dit que je dois multiplier la deuxième équation par 2 , je multiplie tout par 2 .
J’ajoute membre à membre ces deux égalités (les y disparaissent, ce qui était le but recherché)
-2x+8x=0+5\\6x=5
6 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. On divise par 6 de chaque côté.
x=\frac{5}{6}
Pour déterminer la valeur de y je remplace x par \frac{5}{6} dans par exemple la première équation.
{-2}\times{\frac{5}{6}}+y=0
-\frac{5}{3}+y=0
-\frac{5}{3} n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un terme dans une somme. On ajoute \frac{5}{3} de chaque côté.
y=\frac{5}{3}
Le couple solution est (\frac{5}{6};\frac{5}{3})