Sommaire
Activité d’approche
On a placé des points et un vecteur dans un repère.
- Placer C’ tel que \overrightarrow{CC' }= 2 \overrightarrow{AB }.
Les vecteurs \overrightarrow{CC' } et 2 \overrightarrow{AB } ont même direction. Pour cela avec Géogébra, tracer une droite parallèle à (AB) passant par C.
Cliquer sur le quatrième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Parallèle dans le menu déroulant. Puis cliquer sur la droite (AB) et sur le point C.
La longueur ( ou norme) du vecteurs \overrightarrow{CC' } est 2 fois celle du vecteur \overrightarrow{AB } . Avec Géogébra, tracer le cercle de centre C et de rayon 2AB.
Cliquer sur le sixième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Cercle (centre-rayon) dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point C et dans la case Rayon écrire 2AB.
Remarque : la droite et le cercle ont deux points communs.
Les vecteurs \overrightarrow{CC' } et 2 \overrightarrow{AB } ont même sens car le vecteur \overrightarrow{AB } est multiplié par 2 qui est un nombre positif. Donc parmi les deux points d’intersection obtenus précédemment , on ne garde que celui où on va de C vers C’ comme on va de A vers B.
On l’appelle C’.
Avec Géogébra, cliquer sur le deuxième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Point dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point d’intersection que l’on a choisi. Eventuellement le renommer en C’ en cliquant gauche sur C’ et en sélectionnant Renommer dans le menu déroulant.
On trace le vecteur \overrightarrow{CC' }.
Pour cela avec Géogébra, cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur les points C et C’ dans cet ordre.
2. Placer D’ tel que \overrightarrow{DD' }= -2 \overrightarrow{AB }.
3. Placer E’ tel que \overrightarrow{EE' }= \frac{1}{2} \overrightarrow{AB }.
4. Placer F’ tel que \overrightarrow{FF' }= 3 \overrightarrow{AB }.
5. Placer G’ tel que \overrightarrow{GG' }= \frac{3}{2} \overrightarrow{AB }.
6. Placer H’ tel que \overrightarrow{HH' }= \frac{7}{4} \overrightarrow{AB }.
7. Placer I’ tel que \overrightarrow{II' }= \overrightarrow{AB }.
2. Synthèse : donner une définition du vecteur k\vec{u} ( k fois le vecteur \vec{u} ) en fonction du vecteur \vec{u} .
Déterminant de deux vecteurs
Définition
On considère deux vecteurs \vec{u}(x;y) et \vec{v}(x';y') .
Le déterminant de \vec{u} et \vec{v} noté det(\vec{u}; \vec{v}) est le nombre
Exemple :
On considère deux vecteurs \vec{u}(3;-2) et \vec{v}(1;1) .
On calcule le déterminant ainsi :
vecteurs colinéaires
Définition
deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires s’il existe un réel k tel que\vec{u} =k\vec{v}.
Critère de colinéarité
Deux vecteurs \vec{u}(x;y) et \vec{v}(x';y') sont colinéaires si et seulement si le déterminant de \vec{u} et \vec{v} est nul c’est-à-dire det(\vec{u}; \vec{v})=0
propriétés
k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}\\(k+k')\vec{u})=k\vec{u}+k'\vec{u}\\(kk')\vec{u}=k(k'\vec{u})
Exercice n°1
Soient A(-1;1) et B(3;2). On note I le milieu de [AB]
Partie A : Dans cette partie, M(1;-2)
- Déterminer par le calcul les coordonnées de I .
Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le deuxième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Milieu ou centre dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point A et sur le point B. Géogébra le nomme C , on peut le renommer en I en cliquant gauche sur le et en sélectionnant Renommer dans le menu déroulant.
2. a. Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MA }, puis celles du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }.
Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point M et sur le point A. Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MA } apparaissent.
2. b. Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MB }, puis celles du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MB }.
2.c. En déduire les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }.
3. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MI }. Que constatez-vous ?
Partie B : Dans cette partie, M(a;b)
1. a. Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MA }, puis celles du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }.
1. b. Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MB }, puis celles du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MB }.
1.c. En déduire les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }.
2. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MI }. Que constatez-vous ?
Points alignés. Droites parallèles.
Propriété
Langage des points et des droites
A, B , C sont alignés
Langage des vecteurs
\overrightarrow{AB } et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Langage des coordonnées
les coordonnées de \overrightarrow{AB } et \overrightarrow{AC} sont proportionnelles.
Ou le déterminant de \overrightarrow{AB } et \overrightarrow{AC} est nul
Langage des points et des droites
(AB) et (CD)sont parallèles
Langage des vecteurs
\overrightarrow{AB } et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Langage des coordonnées
les coordonnées de \overrightarrow{AB } et \overrightarrow{CD} sont proportionnelles.
Ou le déterminant de \overrightarrow{AB } et \overrightarrow{CD} est nul
Exercice n°2
Soient A(-5;0) , B(-1;-2) et C(-3;-1) .
- Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB } .
Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point A et sur le point B. Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB } apparaissent.
2. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC } .
Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point A et sur le point C. Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC } apparaissent.
3. Calculer le déterminant des vecteurs \overrightarrow{AB } et \overrightarrow{AC } . Que peut-on en déduire ?
Exercice n°3
Soient A(-4;0) , B(0;-2) et C(-2;1) dans un repère (O;\vec{i};\vec{j}).
- Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB } .
Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point A et sur le point B. Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB } apparaissent.
2. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OC } .
Avant de se lancer dans le calcul, on peut conjecturer le résultat avec Géogébra. Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche en haut et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Puis cliquer sur le point O et sur le point C. Dans la colonne Algèbre à gauche les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OC} apparaissent.
3. Calculer le déterminant des vecteurs \overrightarrow{AB } et \overrightarrow{OC } . Que peut-on en déduire ?
Exercice n°4
Soient A(1;2) , B(3;3) et C(4;1) dans un repère (O;\vec{i};\vec{j}).
1.a. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point D défini par l’égalité vectorielle suivante \overrightarrow{AD}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} .
Avant de se lancer dans les calculs, s’inspirer de la méthode développée dans l’activité d’approche pour placer D dans la fenêtre Géogébra ci-dessus et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre.
1.b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point E défini par l’égalité vectorielle suivante \overrightarrow{DE}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CB} .
Avant de se lancer dans les calculs, s’inspirer de la méthode développée dans l’activité d’approche pour placer E dans la fenêtre Géogébra ci-dessus et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre.
2. Montrer que \overrightarrow{AE}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}. Qu’en déduit-on pour les points A,E,C.
définition du vecteur k\vec{u} ( k fois le vecteur \vec{u} ) en fonction du vecteur \vec{u}
– La direction du vecteur k\vec{u} est la même que la direction du vecteur \vec{u}
– Si k est positif le sens du vecteur k\vec{u} est la même que le sens du vecteur \vec{u}
Si k est négatif le sens du vecteur k\vec{u} est le sens contraire du sens du vecteur \vec{u}
– Si kest positif la norme du vecteur k\vec{u} est k fois la norme du vecteur \vec{u}
Si k est négatif la norme du vecteur k\vec{u} est –k fois la norme du vecteur \vec{u}
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(-1;1) \hspace{0.4cm} B(3;2)
On écrit la formule du cours :
x_I=\frac {x_A+x_B}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {y_A+y_B}{2}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
x_I=\frac {(-1)+3}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {1+2}{2}
x_I=\frac {2}{2}\hspace {2cm}y_I=\frac {3}{2}
x_I=1\hspace {2cm}y_I=\frac {3}{2}
Donc I(1;\frac {3}{2})
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MA}.
Je repère les coordonnées des points M et A.
\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.2cm}y_{M}\hspace{2cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}
\hspace{1.8cm}M(1;-2)\hspace{2cm}A(-1;1)
J’écris la formule : \overrightarrow{MA}(x_{A}-x_{M};y_{A}-y_{M})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{MA}((-1)-1;1-(-2))
\overrightarrow{MA}(-2;1+2)
\overrightarrow{MA}(-2;3)
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA} . On multiplie les coordonnées de \overrightarrow{MA} par \frac{1}{2}.
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}({\frac{1}{2}}\times{(-2)};{\frac{1}{2}}\times{(3)})
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}(-1;\frac{3}{2})
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MB}.
Je repère les coordonnées des points M et B.
\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.2cm}y_{M}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}M(1;-2)\hspace{2cm}B(3;2)
J’écris la formule : \overrightarrow{MB}(x_{B}-x_{M};y_{B}-y_{M})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{MB}(3-1;2-(-2))
\overrightarrow{MB}(2;2+2)
\overrightarrow{MB}(2;4)
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MB} . On multiplie les coordonnées de \overrightarrow{MB} par \frac{1}{2}.
\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}({\frac{1}{2}}\times{2};{\frac{1}{2}}\times{4})
\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}(1;2)
Pour calculer les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB },on ajoute les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA } et celles de \frac{1}{2}\overrightarrow{MB }.
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA }(-1;\frac{3}{2})
\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(1;2)
Donc \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(-1+1;\frac{3}{2}+2)
Donc \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(0;\frac{3}{2}+{2}\times{\frac{2}{2}})
Donc \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(0;\frac{3}{2}+\frac{4}{2})
Donc \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(0;\frac{7}{2})
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MI}.
Je repère les coordonnées des points M et I.
\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.2cm}y_{M}\hspace{2cm}x_{I}\hspace{0.2cm}y_{I}
\hspace{1.8cm}M(1;-2)\hspace{2cm}I(1;\frac{3}{2})
J’écris la formule : \overrightarrow{MI}(x_{I}-x_{M};y_{I}-y_{M})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{MI}(1-1;\frac{3}{2}-(-2))
\overrightarrow{MI}(0;\frac{3}{2}+{2}\times{\frac{2}{2}})
\overrightarrow{MI}(0;\frac{3}{2}+\frac{4}{2})
\overrightarrow{MI}(0;\frac{7}{2})
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB} et \overrightarrow{MI} ont les mêmes coordonnées , donc
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MA}.
Je repère les coordonnées des points M et A.
\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.2cm}y_{M}\hspace{2cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}
\hspace{1.8cm}M(a;b)\hspace{2cm}A(-1;1)
J’écris la formule : \overrightarrow{MA}(x_{A}-x_{M};y_{A}-y_{M})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{MA}(-1-a;1-b)
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA} . On multiplie les coordonnées de \overrightarrow{MA} par \frac{1}{2}.
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}({\frac{1}{2}}\times{(-1-a)};{\frac{1}{2}}\times{(1-b)})
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}(\frac{-1-a}{2};\frac{1-b}{2})
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MB}.
Je repère les coordonnées des points M et B.
\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.2cm}y_{M}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}M(a;b)\hspace{2cm}B(3;2)
J’écris la formule : \overrightarrow{MB}(x_{B}-x_{M};y_{B}-y_{M})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{MB}(3-a;2-b)
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MB} . On multiplie les coordonnées de \overrightarrow{MB} par \frac{1}{2}.
\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}({\frac{1}{2}}\times{(3-a)};{\frac{1}{2}}\times{(2-b)})
\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}(\frac{3-a}{2};\frac{2-b}{2})
Pour calculer les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB },on ajoute les coordonnées du vecteur \frac{1}{2}\overrightarrow{MA } et celles de \frac{1}{2}\overrightarrow{MB }.
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA }(\frac{-1-a}{2};\frac{1-b}{2})
\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(\frac{3-a}{2};\frac{2-b}{2})
Donc \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(\frac{-1-a}{2}+\frac{3-a}{2};\frac{1-b}{2}+\frac{2-b}{2})
Donc \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(\frac{-1-a+3-a}{2};\frac{1-b+2-b}{2})
Donc \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(\frac{2-2a}{2};\frac{3-2b}{2})
Donc \frac{1}{2}\overrightarrow{MA }+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB }(1-a;\frac{3}{2}-b)
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{MI}.
Je repère les coordonnées des points M et I.
\hspace{2.1cm}x_{M}\hspace{0.2cm}y_{M}\hspace{2cm}x_{I}\hspace{0.2cm}y_{I}
\hspace{1.8cm}M(a;b)\hspace{2cm}I(1;\frac{3}{2})
J’écris la formule : \overrightarrow{MI}(x_{I}-x_{M};y_{I}-y_{M})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{MI}(1-a;\frac{3}{2}-b)
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB} et \overrightarrow{MI} ont les mêmes coordonnées , donc
\frac{1}{2}\overrightarrow{MA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.
Je repère les coordonnées des points A et B.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}A(-5;0)\hspace{2cm}B(-1;-2)
J’écris la formule : \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AB}((-1)-(-5);(-2)-0)
\overrightarrow{AB}(-1+5;-2)
\overrightarrow{AB}(4;-2)
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC}.
Je repère les coordonnées des points A et C.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}
\hspace{1.8cm}A(-5;0)\hspace{2cm}C(-3;-1)
J’écris la formule : \overrightarrow{AC}(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AC}((-3)-(-5);(-1)-0)
\overrightarrow{AC}(-3+5;-1)
\overrightarrow{AC}(2;-1)
On applique la formule suivante :
det (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})=-4-(-4)\\det (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})=-4+4\\det (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})=0
Donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.
Donc les pointsA, B , C sont alignés.
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.
Je repère les coordonnées des points A et B.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}A(-4;0)\hspace{2cm}B(0;-2)
J’écris la formule : \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AB}(0-(-4);(-2)-0)
\overrightarrow{AB}(0+4;-2)
\overrightarrow{AB}(4;-2)
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{OC}.
Je repère les coordonnées des points O et C.
\hspace{2.1cm}x_{O}\hspace{0.2cm}y_{O}\hspace{2cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}
\hspace{1.8cm}O(0;0)\hspace{2cm}C(-2;1)
J’écris la formule : \overrightarrow{OC}(x_{C}-x_{O};y_{C}-y_{O})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{OC}((-2)-0;1-0)
\overrightarrow{OC}(-2;1)
Remarque le vecteur \overrightarrow{OC} et le point C ont mêmes coordonnées, ce qui est normal car O est l’origine du repère et a pour coordonnées (0;0)
On applique la formule suivante :
det (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{OC})=4-4\\det (\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{OC})=0
Donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{OC} sont colinéaires.
Donc les droites (AB) et (OC) sont parallèles.
On veut déterminer les coordonnées du point D tel que \overrightarrow{AD}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}.
Comme on le les connaît pas, on les appelle x et y.
On pose D(x;y).
Les vecteurs \overrightarrow{AD} et -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} sont égaux donc leurs coordonnées sont égales.
Tâche n°1 : Je calcule les coordonnées de \overrightarrow{AD} . Puis je calcule les coordonnées de \overrightarrow{AB}et ensuite de -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}.
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AD}.
Je repère les coordonnées des points A et D.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{D}\hspace{0.2cm}y_{D}
\hspace{1.8cm}A(1;2)\hspace{2cm}D(x;y)
J’écris la formule : \overrightarrow{AD}(x_{D}-x_{A};y_{D}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AD}(x-1;y-2)
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.
Je repère les coordonnées des points A et B.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}A(1;2)\hspace{2cm}B(3;3)
J’écris la formule : \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AB}(3-1;3-2)
\overrightarrow{AB}(2;1)
Pour obtenir les coordonnées du vecteur -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}, je dois multiplier le coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}par -\frac{3}{2}
-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}({-\frac{3}{2}}\times{2};{-\frac{3}{2}}\times{1})\\-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}(-3;-\frac{3}{2})
Tâche n°2 : J’écris que les coordonnées de \overrightarrow{AD}et de -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}sont égales pour obtenir deux équations du premier degré.
L’abscisse de \overrightarrow{AD}=l’abscisse de -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}
x-1=-3
-1 n’est pas à sa place à gauche, j’ajoute 1 de chaque côté.
x=-3+1\\x=-2
L’ordonnée de \overrightarrow{AD}=l’ordonnée de -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}
y-2=-\frac{3}{2}
-2 n’est pas à sa place à gauche, j’ajoute 2 de chaque côté.
y=-\frac{3}{2}+2
Je mets au même dénominateur, ici 2.
y=-\frac{3}{2}+{2}\times{\frac{2}{2}}\\y=-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}\\y=\frac{1}{2}
Donc D(-2;\frac{1}{2})
On veut montrer que les vecteurs \overrightarrow{AE} et -\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}sont égaux en montrant que leurs coordonnées sont égales.
Je calcule les coordonnées de \overrightarrow{AE} . Puis je calcule les coordonnées de \overrightarrow{AC}et ensuite de -\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}.
Les coordonnées doivent être les mêmes pour le deux vecteurs.
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AE}.
Je repère les coordonnées des points A et E.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{E}\hspace{0.2cm}y_{E}
\hspace{1.8cm}A(1;2)\hspace{2cm}E(-\frac{7}{2};\frac{7}{2})
J’écris la formule : \overrightarrow{AE}(x_{E}-x_{A};y_{E}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AE}(-\frac{7}{2}-1;\frac{7}{2}-2)
Je mets au même dénominateur, ici 2.
\overrightarrow{AE}(-\frac{7}{2}-{1}\times{\frac{2}{2}};\frac{7}{2}-{2}\times{\frac{2}{2}})
\overrightarrow{AE}(-\frac{7}{2}-\frac{2}{2};\frac{7}{2}-\frac{4}{2})
\overrightarrow{AE}(-\frac{9}{2};\frac{3}{2})
Pour déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC}.
Je repère les coordonnées des points A et C.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}
\hspace{1.8cm}A(1;2)\hspace{2cm}C(4;1)
J’écris la formule : \overrightarrow{AC}(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AC}(4-1;1-2)
\overrightarrow{AC}(3;-1)
Pour obtenir les coordonnées du vecteur -\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}, je dois multiplier le coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC}par -\frac{3}{2}
-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}({-\frac{3}{2}}\times{3};{-\frac{3}{2}}\times{-1})\\-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}(-\frac{9}{2};\frac{3}{2})
Les coordonnées de \overrightarrow{AE} et de -\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}sont égales donc les vecteurs \overrightarrow{AE} et de -\frac{3}{2}\overrightarrow{AC} sont égaux.
Les vecteurs \overrightarrow{AE} et de \overrightarrow{AC} sont colinéaires donc les points A,E,C sont alignés.