Sommaire
Fonctions affines
Variations
Exemple n°1 : \textbf{a>0}
f(x)=0.5x+2
représentation graphique
Sur l’intervalle [-4;6], la courbe monte.
représentation tableur
Il semble que les nombres et leurs images varient dans le même sens.
représentation algébrique
f(x)=0.5x+2 définie sur \mathbb{R}
Lorsque a est positif, la fonction affine définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax+b est croissante.
si x_{1}< x_{2}
alors ax_{1}+b<ax_{2}+b
Voici le tableau de variation de la fonction affine définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax+b lorsque a est positif.
Exemple n°2 : \textbf{a<0}
f(x)=-2x+4
représentation graphique
Sur l’intervalle [-1;3], la courbe descend.
représentation tableur
Il semble que les nombres et leurs images varient en sens contraire.
représentation algébrique
f(x)=-2x+4 définie sur \mathbb{R}
Lorsque a est négatif, la fonction affine définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax+b est décroissante.
si x_{1}<x_{2}
alors ax_{1}+b> ax_{2}+b
Voici le tableau de variation de la fonction affine définie sur \mathbb{R} par f(x)=ax+b lorsque a est négatif.
Exercice n°1
Sans calcul, comparer les réels suivants
a) {-0.5}\times{5.4}+7 et {-0.5}\times{4.6}+7
b) {2}\times{0.5}-4 et {2}\times{1.5}-4
c) {0.25}\times{a}-4 et {0.25}\times{b}-4 en sachant que a<b.
la fonction carré
variations
représentation graphique
Sur ]-2.8;0], la courbe descend.
Sur [0;2.8[, la courbe monte.
représentation tableur
Les nombres négatifs et leurs carrés semblent varier en sens contraire.
Les nombres positifs et leurs carrés semblent varier dans le même sens.
représentation algébrique
f(x)=x^{2} définie sur \mathbb{R}
Sur \rbrack-\infty;0\rbrack, la fonction est décroissante.
si x_{1}<x_{2}\leq 0 alors x_{1}^{2}> x_{2}^{2}
Sur [0;+\infty[, la fonction est croissante.
si 0\leq x_{1}< x_{2} alors x_{1}^{2}< x_{2}^{2}
Voici le tableau de variation de la fonction carré sur \mathbb{R}
a) Démontrer que la fonction carré est décroissante sur \rbrack-\infty;0\rbrack
b) Démontrer que la fonction carré est croissante sur [0;+\infty[
Exercice n°2
Sans calcul, comparer les réels suivants
a) (-0.6)^{2} et {(-0.5)}^{2} .
b) (0.4)^{2} et {(0.5)}^{2} .
c) a^{2} et b^{2} avec a<b<0 .
la fonction cube
variations
représentation graphique
Sur [-1.6;1.8], la courbe monte.
représentation tableur
Les nombres et leurs cubes semblent varier dans le même sens.
représentation algébrique
f(x)=x^{3} définie sur \mathbb{R}
Sur ]-\infty;+\infty[, la fonction est croissante.
si x_{1}< x_{2} alors x_{1}^{3}< x_{2}^{3}
La démonstration des variations de la fonction cube n’est pas au programme, donc le résultat est admis.
Exercice n°3
Sans calcul, comparer les réels suivants
a) (-1.6)^{3} et {(-1.4)}^{3} .
b) (0.5)^{3} et {(0.7)}^{3} .
c) a^{3} et b^{3} avec a<b
la fonction inverse
variations
représentation graphique
Sur [-4.4;0[, puis sur ]0;3.4]la courbe descend.
représentation tableur
Les nombres négatifs et leurs inverses semblent varier en sens contraire.
Les nombres positifs et leurs inverses semblent varier en sens contraire.
représentation algébrique
f(x)=\frac{1}{x} définie sur \mathbb{R} privé de 0 .
Sur ]-\infty;0[, la fonction est décroissante.
si x_{1}<x_{2}< 0 alors \frac{1}{x_{1}}> \frac{1}{x_{2}}
Sur ]0;+\infty[, la fonction est décroissante.
si 0\leq x_{1}< x_{2} alors \frac{1}{x_{1}}< \frac{1}{x_{2}}
a) Démontrer que la fonction inverse est décroissante sur ]-\infty;0[
b) Démontrer que la fonction inverse est décroissante sur ]0;+\infty[
Exercice n°4
Sans calcul, comparer les réels suivants
a) \frac{1}{3} et \frac{1}{5} .
b) \frac{1}{a} et \frac{1}{b} avec a<b<0 .
la fonction racine carrée
variations
représentation graphique
Sur [0;7], la courbe monte.
représentation tableur
Les nombres positifs et leurs racines carré semblent varier dans le même sens.
représentation algébrique
f(x)=\sqrt{x} définie sur [0;+\infty[
Sur [0;+\infty[, la fonction est croissante.
si 0\leq x_{1}< x_{2} alors \sqrt{x_{1}}< \sqrt{x_{2}}
Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0;+\infty[
Exercice n°5
Sans calcul, comparer les réels suivants
a) \sqrt{3} et \sqrt{5}
b) \sqrt{a} et \sqrt{b} avec 0 \leq a<b
Méthode : signe de la différence.
En général, x_{1}<x_{2}.
Pour montrer que f est croissante, il faut montrer que les nombres x_{1};x_{2} et les images f(x_{1});f(x_{2}) varient dans le même sens.
Donc que f(x_{1})<f(x_{2})
C’est-à-dire que f(x_{1})-f(x_{2}) est négatif.
Méthode : décomposition ( s’il n’y a qu’une fois x à droite du signe égal dans f(x)= )
On décompose la séquence de calcul avec des opérateurs : additionner, soustraire, multiplier et diviser ou avec des fonctions de référence : fonction carré, fonction cube, fonction inverse et fonction racine carrée.
Lorsque a>0 il semble que la fonction f soit croissante sur \mathbf{R}
Il faut maintenant le démontrer. Comme la lettre x n’apparaît qu’une fois à droite du signe = dans l’écriture f(x)=ax+b, nous allons décomposer la séquence de calcul en utilisant des opérateurs : ajouter, soustraire, multiplier et diviser ou des fonctions de référence : carré, inverse, cube et racine carrée.
Montrons que la fonction f est croissante sur \mathbf{R}
On écrit en haut l’hypothèse . Puis on utilise la décomposition
x_{1}< x_{2}
On mutiplie par a qui est positif, le sens de l’inégalité ne change pas.
ax_{1}<ax_{2}.
On ajoute b, le sens de l’inégalité ne change pas.
ax_{1}+b< ax_{2}+b.
On écrit la conclusion.
f(x_{1})< f(x_{2})
Comme les nombres et les images varient dans le même sens, la fonction f est croissante sur \mathbf{R}
On suppose que x_{1}<x_{2}.
Calculons
f(x_{1})-f(x_{2})=(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)\\\hspace{2.1cm}=ax_{1}+b-ax_{2}-b\\\hspace{2.1cm}=ax_{1}-ax_{2}
Il est plus facile d’étudier le signe d’un produit que d’une somme. Donc on factorise.
\hspace{2.1cm}=a(x_{1}-x_{2})\\a est positif
x_{1}-x_{2} est négatif car x_{1}<x_{2}
Donc le produit a(x_{1}-x_{2}) est négatif
Donc f(x_{1})-f(x_{2})<0
Donc f(x_{1})<f(x_{2})
On a donc montré que les nombres x_{1};x_{2} et les images f(x_{1});f(x_{2}) varient dans le même sens.
Donc f est croissante sur \mathbf{R}
Méthode : signe de la différence.
En général x_{1}<x_{2} .
Pour montrer que f est décroissante, il faut montrer que les nombres x_{1}; x_{2} et f(x_{1}); f(x_{2}) varient en sens contraire.
Il faut donc montrer que f(x_{1})>f(x_{2}) .
C’est à dire que f(x_{1})-f(x_{2}) est positif.
Méthode : décomposition ( s’il n’y a qu’une fois x à droite du signe égal dans f(x)= )
On décompose la séquence de calcul avec des opérateurs : additionner, soustraire, multiplier et diviser ou avec des fonctions de référence : fonction carré, fonction cube, fonction inverse et fonction racine carrée.
Lorsque a<0 il semble que la fonction f soit décroissante sur \mathbf{R}
Il faut maintenant le démontrer. Comme la lettre x n’apparaît qu’une fois à droite du signe = dans l’écriture f(x)=ax+b, nous allons décomposer la séquence de calcul en utilisant des opérateurs : ajouter, soustraire, multiplier et diviser ou des fonctions de référence : carré, inverse, cube et racine carrée.
Montrons que la fonction f est décroissante sur \mathbf{R}
On écrit en haut l’hypothèse . Puis on utilise la décomposition
x_{1}< x_{2}
On mutiplie par a qui est négatif le sens de l’inégalité change .
ax_{1}> ax_{2}.
On ajoute b, le sens de l’inégalité ne change pas.
ax_{1}+b>ax_{2}+b.
On écrit la conclusion.
f(x_{1})> f(x_{2})
Comme les nombres et les images varient en sens contraire, la fonction f est décroissante sur \mathbf{R}
On suppose que x_{1}<x_{2}.
Calculons
f(x_{1})-f(x_{2})=(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)\\\hspace{2.1cm}=ax_{1}+b-ax_{2}-b\\\hspace{2.1cm}=ax_{1}-ax_{2}
Il est plus facile d’étudier le signe d’un produit que d’une somme. Donc on factorise.
\hspace{2.1cm}=a(x_{1}-x_{2})\\a est négatif
x_{1}-x_{2} est négatif car x_{1}<x_{2}
Donc le produit a(x_{1}-x_{2}) est positif
Donc f(x_{1})-f(x_{2})>0
Donc f(x_{1})>f(x_{2})
On a donc montré que les nombres x_{1};x_{2} et les images f(x_{1});f(x_{2}) varient en sens contraire.
Donc f est décroissante sur \mathbf{R}
{-0.5}\times{5.4}+7 et {-0.5}\times{4.6}+7 sont les images de 5.4 et de 4.6 par la fonction affine définie par
f(x)=-0.5x+7.
On peut conjecturer le résultat par lecture graphique.
En construisant graphiquement les images de 4.6 et 5.4 , on constate que l’image de 4.6 est située au-dessus de l’image de 5.4.
{-0.5}\times{4.6}+7>{-0.5}\times{5.4}+7
{-0.5}\times{5.4}+7 et {-0.5}\times{4.6}+7 sont les images de 5.4 et de 4.6 par la fonction affine définie par
latex]f(x)=-0.5x+7[/latex].
On utilise le tableau de variation ci-dessous :
On peut en déduire l’inégalité :
{-0.5}\times{4.6}+7>{-0.5}\times{5.4}+7
Pour comparer {-0.5}\times{5.4}+7 et {-0.5}\times{4.6}+7 , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=-0.5x+7 , x_{1}=4.6 et x_{2}=5.4.
{-0.5}\times{5.4}+7 et {-0.5}\times{4.6}+7 sont les images de 5.4 et de 4.6 par la fonction affine définie par f(x)=-0.5x+7.
Pour la fonction affine a=-0.5 donc f est décroissante.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})>f(x_{2})
Comme 4.6<5.4 et commef est décroissante.On peut conclure que :
{-0.5}\times{4.6}+7>{-0.5}\times{5.4}+7
{2}\times{0.5}-4 et {2}\times{1.5}-4 sont les images de 0.5 et de 1.5 par la fonction affine définie par f(x)=2x-4.
On utilise la courbe de la fonction affine f définie par f(x)=2x-4.
On constate que l’image de 0.5 est située en dessous de l’image de 1.5 .
Donc {2}\times{0.5}-4<{2}\times{1.5}-4
{2}\times{0.5}-4 et {2}\times{1.5}-4 sont les images de 0.5 et de 1.5 par la fonction affine définie par f(x)=2x-4.
On peut utiliser le tableau de variation ci-dessous:
On en déduit l’inégalité suivante :
{2}\times{0.5}-4<{2}\times{1.5}-4
Pour comparer {2}\times{0.5}-4 et {2}\times{1.5}-4 , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=2x-4 , x_{1}=0.5 et x_{2}=1.5.
{2}\times{0.5}-4 et {2}\times{1.5}-4 sont les images de 0.5 et de 1.5 par la fonction affine définie par f(x)=2x-4.
Pour la fonction affine a=2 donc f est croissante.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})<f(x_{2})
Comme 0.5<1.5 et commef est croissante.On peut conclure que :
{2}\times{0.5}-4<{2}\times{1.5}-4
{0.25}\times{a}-4 et {0.25}\times{b}-4 sont les images de a et de b par la fonction affine définie par f(x)=0.25x-4.
De plus a<b, on place a et b n’importe où sur l’axe des abscisses tels que a soit le plus à gauche.
On utilise la représentation graphique de f(x)=0.25x-4.
L’image de a est située sous l’image de b donc
{0.25}\times{a}-4<{0.25}\times{b}-4
{0.25}\times{a}-4 et {0.25}\times{b}-4 sont les images de a et de b par la fonction affine définie par f(x)=0.25x-4.
On utilise le tableau de variations ci-dessous.
De plus a<b, on place a et b n’importe où sur la première ligne du tableau de variations tels que a soit le plus à gauche.
D’après le tableau de variations, on peut écrire :
{0.25}\times{a}-4<{0.25}\times{b}-4
Pour comparer {0.25}\times{a}-4 et {0.25}\times{b}-4 , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=0.25x-4 , x_{1}=a et x_{2}=b.
{0.25}\times{a}-4 et {0.25}\times{b}-4 sont les images de a et de b par la fonction affine définie par f(x)=0.25x-4.
Pour la fonction affine, a=0.25 donc f est croissante.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})<f(x_{2})
Comme a<b et commef est croissante.On peut conclure que :
{0.25}\times{a}-4<{0.25}\times{b}-4
On suppose que x_{1}<x_{2}.
Calculons
f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}
Il est plus facile d’étudier le signe d’un produit que d’une somme. Donc on factorise. On utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)
\hspace{2.1cm}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})\\x_{1}-x_{2} est négatif car x_{1}<x_{2}\\x_{1}+x_{2} est négatif car x_{1} et x_{2} sont négatifs car ils appartiennent à ]-\infty;0]
Donc le produit (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}) est positif
Donc f(x_{1})-f(x_{2})>0
Donc f(x_{1})>f(x_{2})
On a donc montré que les nombres x_{1};x_{2} et les images f(x_{1});f(x_{2}) varient en sens contraire.
Donc f est décroissante sur ]-\infty;0]
On suppose que x_{1}<x_{2}.
Calculons
f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}
Il est plus facile d’étudier le signe d’un produit que d’une somme. Donc on factorise. On utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)
\hspace{2.1cm}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})\\x_{1}-x_{2} est négatif car x_{1}<x_{2}\\x_{1}+x_{2} est positif car x_{1} et x_{2} sont positifs car ils appartiennent à [0;+\infty[
Donc le produit (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}) est négatif
Donc f(x_{1})-f(x_{2})<0
Donc f(x_{1})<f(x_{2})
On a donc montré que les nombres x_{1};x_{2} et les images f(x_{1});f(x_{2}) varient dans le même sens.
Donc f est croissante sur [0;+\infty[
(-0.6)^{2} et (-0.5)^{2} sont les images de -0.6 et de -0.5 par la fonction définie par f(x)=x^{2}.
Voici la courbe de f(x)=x^{2}.
L’image de -0.6 est au-dessus de l’image de -0.5 donc :
(-0.6)^{2}>(-0.5)^{2}
(-0.6)^{2} et (-0.5)^{2} sont les images de -0.6 et de -0.5 par la fonction affine définie par f(x)=x^{2}.
On utilise le tableau de variations suivant :
D’après le tableau de variations, on peut déduire :(-0.6)^{2}>(-0.5)^{2}
Pour comparer (-0.6)^{2} et (-0.5)^{2} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=x^{2} , x_{1}=-0.6 et x_{2}=-0.5.
(-0.6)^{2} et (-0.5)^{2} sont les images de -0.6 et de -0.5 par la fonction définie par f(x)=x^{2}.
La fonction carré est décroissante sur ]-\infty;0].
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})>f(x_{2})
Comme -0.6<-0.5 et commef est décroissante.On peut conclure que :
(-0.6)^{2}>(-0.5)^{2}
0.4^{2} et 0.5^{2} sont les images de 0.4 et de 0.5 par la fonction définie par f(x)=x^{2}.
On utilise la représentation graphique de f(x)=x^{2}.
L’image de 0.4 est située en-dessous de l’image de 0.5 , donc
0.4^{2}<0.5^{2}
0.4^{2} et 0.5^{2} sont les images de 0.4 et de 0.5 par la fonction définie par f(x)=x^{2}.
On va utiliser le tableau de variations ci-dessous
On peut déduire du tableau de variation, l’inégalité suivante :
0.4^{2}<0.5^{2}
Pour comparer 0.4^{2} et 0.5^{2} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=x^{2} , x_{1}=0.4 et x_{2}=0.5.
0.4^{2} et 0.5^{2} sont les images de 0.4 et de 0.5 par la fonction définie par f(x)=x^{2}.
La fonction carré est croissante sur [0;+\infty[.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})<f(x_{2})
Comme 0.4<0.5 et commef est croissante.On peut conclure que :
0.4^{2}<0.5^{2}
a^{2} et b^{2} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=x^{2}.
a et b sont négatifs et a<b. Je place a et b sur l’axe des abscisses à gauche de l’origine du repère avec a situé à gauche de b
On va utiliser la courbe de f(x)=x^{2}.
L’image de a est située au dessus de celle de b, donc
a^{2}>b^{2}
a^{2} et b^{2} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=x^{2}.
a et b sont négatifs et a<b. Je place a et b sur la première ligne du tableau de variations à gauche de zéro avec a situé à gauche de b.
On utilise le tableau de variations ci-dessous:
On peut déduire du tableau de variations, l’inégalité suivante :
a^{2}>b^{2}
Pour comparer a^{2} et b^{2} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=x^{2} , x_{1}=a et x_{2}=b.
a^{2} et b^{2} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=x^{2}.
a et b sont négatifs.
La fonction carré est décroissante sur ]-\infty;0].
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})>f(x_{2})
Comme a<b et commef est décroissante.On peut conclure que :
a^{2}>b^{2}
(-1.6)^{3} et (-1.4)^{3} sont les images de -1.6 et de -1.4 par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
On utilise la représentation graphique de f(x)=x^{3}.
L’image de -1.6 est en-dessous de l’image de -1.4 donc (-1.6)^{3}<(-1.4)^{3}
(-1.6)^{3} et (-1.4)^{3} sont les images de -1.6 et de -1.4 par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
On utilise le tableau de variations ci-dessous:
D’après le tableau de variations, on peut écrire l’inégalité suivante : (-1.6)^{3}<(-1.4)^{3}
Pour comparer (-1.6)^{3} et (-1.4)^{3} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=x^{3} , x_{1}=-1.6 et x_{2}=-1.4.
(-1.6)^{3} et (-1.4)^{3} sont les images de -1.6 et de -1.4 par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
La fonction cube est croissante sur \mathbf{R}.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})<f(x_{2})
Comme -1.6<-1.4 et commef est croissante.On peut conclure que :
(-1.6)^{3}<(-1.4)^{3}
0.5^{3} et 0.7^{3} sont les images de 0.5 et de 0.7 par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
On utilise la représentation graphique de f(x)=x^{3}.
L’image de 0.5 est en-dessous de l’image de 0.7 donc
0.5^{3}<0.7^{3}
0.5^{3} et 0.7^{3} sont les images de 0.5 et de 0.7 par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
On utilise le tableau de variation ci-dessous :
D’après le tableau de variation, on en déduit l’inégalité suivante 0.5^{3}<0.7^{3}
Pour comparer 0.5^{3} et 0.7^{3} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=x^{3} , x_{1}=0.5 et x_{2}=0.7.
0.5^{3} et 0.7^{3} sont les images de 0.5 et de 0.7 par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
La fonction cube est croissante sur \mathbf{R}.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})<f(x_{2})
Comme 0.5<0.7 et commef est croissante.On peut conclure que :
0.5^{3}<0.7^{3}
a^{3} et b^{3} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
On utilise la représentation graphique de f(x)=x^{3}.
L’image de a est située en-dessous de l’image de b, donc a^{3}<b^{3}
a^{3} et b^{3} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
On utilise le tableau de variation suivant :
On peut déduire du tableau de variation, l’inégalité suivante :a^{3}<b^{3}
Pour comparer a^{3} et b^{3} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=x^{3} , x_{1}=a et x_{2}=b.
a^{3} et b^{3} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=x^{3}.
La fonction cube est croissante sur \mathbf{R}.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})<f(x_{2})
Comme a<b et commef est croissante.On peut conclure que :
a^{3}<b^{3}
On suppose que x_{1}<x_{2}.
Calculons
f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}
Il est plus facile d’étudier le signe d’un quotient que d’une somme. Donc on met au même dénominateur, icix_{1}.x_{2} .
\hspace{2.1cm}={\frac{1}{x_{1}}}\times{\frac{x_{2}}{x_{2}}}-{\frac{1}{x_{2}}}\times{\frac{x_{1}}{x_{1}}}\\\hspace{2.1cm}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\\x_{2}-x_{1} est positif car x_{1}<x_{2} donc x_{2}>x_{1}\\x_{1}x_{2} est positif car c’est le produit de x_{1} et x_{2} qui sont négatifs car ils appartiennent à ]-\infty;0[
Donc le quotient \frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}} est positif
Donc f(x_{1})-f(x_{2})>0
Donc f(x_{1})>f(x_{2})
On a donc montré que les nombres x_{1};x_{2} et les images f(x_{1});f(x_{2}) varient en sens contraire.
Donc f est décroissante sur ]-\infty;0[
On suppose que x_{1}<x_{2}.
Calculons
f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}
Il est plus facile d’étudier le signe d’un quotient que d’une somme. Donc on met au même dénominateur, icix_{1}.x_{2} .
\hspace{2.1cm}={\frac{1}{x_{1}}}\times{\frac{x_{2}}{x_{2}}}-{\frac{1}{x_{2}}}\times{\frac{x_{1}}{x_{1}}}\\\hspace{2.1cm}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\\x_{2}-x_{1} est positif car x_{1}<x_{2} donc x_{2}>x_{1}\\x_{1}x_{2} est positif car c’est le produit de x_{1} et x_{2} qui sont positifs car ils appartiennent à ]0;+\infty[
Donc le quotient \frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}} est positif
Donc f(x_{1})-f(x_{2})>0
Donc f(x_{1})>f(x_{2})
On a donc montré que les nombres x_{1};x_{2} et les images f(x_{1});f(x_{2}) varient en sens contraire.
Donc f est décroissante sur ]-\infty;0[
\frac{1}{3} et \frac{1}{5} sont les images de 3 et de 5 par la fonction définie par f(x)=\frac{1}{x}.
On utilise la représentation graphique de f(x)=\frac{1}{x}.
L’image de 3 est située au-dessus de l’image de 5 donc:
\frac{1}{3}>\frac{1}{5}
\frac{1}{3} et \frac{1}{5} sont les images de 3 et de 5 par la fonction définie par f(x)=\frac{1}{x}.
On utilise le tableau de variations ci-dessous :
On peut déduire du tableau de variation l’inégalité suivante :
\frac{1}{3}>\frac{1}{5}
Pour comparer \frac{1}{3} et \frac{1}{5} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=\frac{1}{x} , x_{1}=3 et x_{2}=5.
\frac{1}{3} et \frac{1}{5} sont les images de 3 et de 5 par la fonction définie par f(x)=\frac{1}{x}.
3 et 5 sont positifs.
La fonction inverse est décroissante sur ]0;+\infty[.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})>f(x_{2})
Comme 3<5 et commef est décroissante.On peut conclure que :
\frac{1}{3}>\frac{1}{5}
\frac{1}{a} et \frac{1}{b} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=\frac{1}{x}.
On utilise la représentation graphique de la fonction définie par f(x)=\frac{1}{x}.
L’image de a est située au-dessus de l’image de b , donc
\frac{1}{a}>\frac{1}{b}
\frac{1}{a} et \frac{1}{b} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=\frac{1}{x}.
On va utiliser le tableau de variation suivant:
On peut déduire du tableau de variation l’inégalité suivante :
\frac{1}{a}>\frac{1}{b}
Pour comparer \frac{1}{a} et \frac{1}{b} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=\frac{1}{x} , x_{1}=a et x_{2}=b.
\frac{1}{a} et \frac{1}{b} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=\frac{1}{x}.
a et b sont négatifs.
La fonction inverse est décroissante sur ]-\infty;0[.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})>f(x_{2})
Comme a<b et commef est décroissante.On peut conclure que :
\frac{1}{a}>\frac{1}{b}
On suppose que x_{1}<x_{2}.
Calculons
f(x_{1})-f(x_{2})=\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}}
On va multiplier \sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}} par \frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}.Puis on utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
\hspace{2.1cm}=(\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}})\frac{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}\\\hspace{2.1cm}=\frac{(\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}})(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}})}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}\\\hspace{2.1cm}=\frac{\sqrt{x_{1}}^{2}-\sqrt{x_{2}}^{2}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}\\\hspace{2.1cm}=\frac{x_{1}-x_{2}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}}\\x_{1}-x_{2} est négatif car x_{1}<x_{2}\\\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}} est positif car la somme de deux racines carrées qui sont positives , est positive.
Donc \frac{x_{1}-x_{2}}{\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}} est négatif.
Donc f(x_{1})-f(x_{2})<0
Donc f(x_{1})<f(x_{2})
On a donc montré que les nombres x_{1};x_{2} et les images f(x_{1});f(x_{2}) varient dans le même sens.
Donc f est croissante sur [0;+\infty[
\sqrt{3} et \sqrt{5} sont les images de 3 et de 5 par la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}.
On utilise la représentation graphique de la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}.
L’image de 3 est située en-dessous de l’image de 5 donc \sqrt{3}<\sqrt{5}
\sqrt{3} et \sqrt{5} sont les images de 3 et de 5 par la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}.
On utilise le tableau de variation suivant :
D’après le tableau de variations , on peut en déduire l’inégalité suivante :
\sqrt{3}<\sqrt{5}
Pour comparer \sqrt{3} et \sqrt{5} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=\sqrt{x} , x_{1}=3 et x_{2}=5.
\sqrt{3} et \sqrt{5} sont les images de 3 et de 5 par la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}.
La fonction racine carrée est croissante sur [0;+\infty[.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})<f(x_{2})
Comme 3<5 et commef est croissante.On peut conclure que :
\sqrt{3}<\sqrt{5}
\sqrt{a} et \sqrt{b} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}.
On utilise la courbe représentative de la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}.
L’image de a est située en-dessous de l’image de b donc
\sqrt{a}<\sqrt{b}
\sqrt{a} et \sqrt{b} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}.
On utilise le tableau de variations ci-dessous:
D’après le tableau de variations, on peut en déduire l’inégalité suivante
\sqrt{a}<\sqrt{b}
Pour comparer \sqrt{a} et \sqrt{b} , on identifie la fonction f, les deux nombres x_{1} et x_{2}.
Ici f(x)=\sqrt{x} , x_{1}=a et x_{2}=b.
\sqrt{a} et \sqrt{b} sont les images de a et de b par la fonction définie par f(x)=\sqrt{x}.
La fonction racine carrée est croissante sur [0;+\infty[.
On utilise si x_{1}<x_{2} alors f(x_{1})<f(x_{2})
Comme a<b et commef est croissante.On peut conclure que :
\sqrt{a}<\sqrt{b}