On considère la fonction f définie sur ]-1.5;+\infty[ par f(x)=ln(2x+3)-1.
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite (u_n) définie par :
u_0=0 et u_{n+1}=f(u_n) pour tout entier naturel n.
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie sur ]-1.5;+\infty[ par g(x)=f(x)-x
1. Déterminer la limite de la fonction g en -1.5.
On admet que la limite de la fonction g en +\infty est -\infty.
2. Étudier les variations de la fonction g sur ]-1.5;+\infty[.
3. a. Démontrer que, dans l’intervalle ]-1.5;+\infty[, l’équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha.
b. Déterminer un encadrement de \alpha d’amplitude 10^{-2}.
Partie B : Étude de la suite (u_n)
On admet que la fonction f est strictement croissante sur ]-1.5;+\infty[.
1. Soit x un nombre réel. Montrer que si x\in\left[-1;\alpha\right] alors f(x)\in]-1;\alpha].
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
-1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \alpha.
b. En déduire que la suite (u_n) converge.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.
En général le mode fonction est activé par défaut.
Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode.
Ici la fonction est définie sur un intervalle.
On appuie sur la touche math et on sélectionne la ligne B: parmorceaux.
On fait appuie sur la touche entrer.
Dans la case Morceaux, on écrit 1 puis on fait OK
Compléter les cadres.
Pour saisir le symbole >, appuyer sur les touches 2nde et math . Sélectionner la 3ème ligne.
Pour afficher la table de valeurs, taper sur la touche 2nde et sur la touche graphe, le tableur apparaît. On peut modifier les paramètres du tableur, pour cela faire 2nde puis fenêtre et effectuer les modifications souhaitées.
Compte-tenu du tableau obtenu précédemment, on modifie l’affichage du graphique en tapant sur la touche fenêtre et en modifiant les valeurs déjà présentes.
Voici par exemple, un paramétrage possible.
Taper sur la touche graphe, la représentation graphique de la fonction apparaît.
On veut calculer lim_{x\to -1.5^{+}}\hspace{0.2cm}ln(2x+3)-1-x.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de -1.5 .
Il est difficile de faire une conjecture.
g(x) est la somme de ln(2x+3) et de -1-x.
x\to ln(2x+3) est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée, gof.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to -1.5^{+}}\hspace{0.2cm}2x+3=0^{+}
lim_{X\to 0^{+}}\hspace{0.3cm}ln(X)=-\infty
Par fonction composée, lim_{x\to -1.5^{+}}\hspace{0.2cm}ln(2x+3)=-\infty.
De plus lim_{x\to -1.5^{+}}\hspace{0.2cm}-1-x=0.5.
Par somme lim_{x\to -1.5^{+}}\hspace{0.2cm}ln(2x+3)-1-x=-\infty.
Donc lim_{x\to -1.5^{+}}\hspace{0.2cm}g(x)=-\infty.
La fonction g semble croissante de -1.5 à environ -0.5 puis décroissante à partir de -0.5.
La fonction g est définie sur ]-1.5;+\infty[ par g(x)=ln(2x+3)-1-x.
1.On veut calculer g'(x).
On répond à la question suivante : g(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux fonctions u.v avec u(x)=ln(2x+3) et v(x)=-1-x.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u'(x)=(ln(2x+3))'
u'(x)=\frac{(2x+3)'}{2x+3}
u'(x)=\frac{2}{2x+3}
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v'(x)=(-1-x)'
v'(x)=(-1)'-(x)'
v'(x)=0-1
v'(x)=-1
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée g'(x)
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
g'(x)= (ln(2x+3)-1-x)'\\f'(x)= (ln(2x+3))'+(-1-x)'\\g'(x)= \frac{2}{2x+3}+(0-1)\\g'(x)=\frac{2}{2x+3}-1
Partie 2 : étude du signe de g'(x)
On va modifier l’écriture de g'(x), en mettant au même dénominateur.
g'(x)=\frac{2}{2x+3}-1\times \frac{2x+3}{2x+3}\\g'(x)=\frac{2}{2x+3}- \frac{2x+3}{2x+3}\\g'(x)=\frac{2-2x-3}{2x+3}\\g'(x)=\frac{-2x-1}{2x+3}
Comme 2x+3 est positif, g'(x) est du signe de -2x-1 qui est de la forme ax+b avec a=-2 et b=-1. On utilise le résultat du cours vu en seconde.
-\frac{b}{a}=-\frac{(-1)}{(-2)}=-\frac{1}{2} et le signe de a est négatif, donc :
On en déduit le signe de g'(x) sur ]-1.5;+\infty[ :
Donc g'(x) est positive sur ]-1.5;-0.5[ et négative sur ]-0.5;+\infty[.
Donc g est croissante sur ]-1.5;-0.5[ et décroissante sur ]-0.5;+\infty[.
On va démontrer que, dans l’intervalle ]-0.5;+\infty[, l’équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha.
On peut conjecturer la réponse avec la courbe de la calculatrice.
Sur l’intervalle ]-0.5;+\infty[,La courbe coupe l’axe des abscisses une fois entre -0.5 et 0.
On visualise ensuite le phénomène sur le tableau de variations.
Sur l’intervalle [-0.5;+\infty[ la fonction g est continue et strictement décroissante.
Comme 0\in]-\infty;0.19[ alors l’équation g(x)=0 admet une unique solution notée \alpha sur l’intervalle [-0.5;+\infty[.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.
En général le mode fonction est activé par défaut.
Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode
Ici la fonction est définie sur un intervalle.
On appuie sur la touche math et on sélectionne la ligne B: parmorceaux. On saisit fonction et intervalle.
Taper sur la touche graphe
Taper sur la touche 2nde et la touche trace puis sélectionner 2:racine dans le menu. Appuyer sur entrer.
On voit que la courbe Y1 et l’axe des abscisses se coupent pour une valeur de x non nulle comprise entre 0 et 1. Donc on choisit pour borne gauche 0 et pour borne droite 1.
On fait entrer et on peut lire en bas de l’écran la valeur de \alpha.
Il ne reste plus qu’à encadrer \alpha à 10^{-2} près.
0.25\leq \alpha \leq 0.26.
On admet que la fonction f est strictement croissante sur ]-1.5;+\infty[.
On veut montrer que si x\in[-1;\alpha] alors f(x)\in[-1;\alpha].
On calcule f(-1) et f(\alpha).
f (−1) = ln (2×(−1)+3)−1 = ln(1)−1 = −1
Comme g(\alpha)=0 alors f(\alpha)-\alpha=0 et donc f(\alpha)=\alpha.
x\in[-1;\alpha]\\-1\leq x \leq \alpha\\f(-1)\leq f(x) \leq f(\alpha)\\-1\leq f(x) \leq \alpha\\f(x)\in[-1;\alpha].
étape 1 : J’écris l’hypothèse
étape 3 : Je traduis l’hypothèse avec une double inégalité
étape 5 : J’utilise la croissance de la fonction f, nombres et images varient dans le même sens. Du coup comme f(-1)=-1 et f(\alpha)=\alpha, on obtient l’étape 4 direct.
étape 4 : Je traduis la conclusion avec une double inégalité
étape 2 : J’écris la conclusion
Donc : si x\in[-1;\alpha] alors f(x)\in[-1;\alpha].
On veut montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
-1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \alpha.
Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.
-1\leq u_0\leq u_{1}\leq \alpha vraie car u_0=0
et u_1= f (u_0) = f (0) = ln(3)−1(\approx 0.099)
Transmission ou hérédité : .
-1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \alpha\\f(-1)\leq f(u_n)\leq f(u_{n+1})\leq f(\alpha)\\-1\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq \alpha
étape n°1 : j’écris la propriété au rang n en haut.
étape n°3 : J’utilise le fait que f est croissante donc les images et les antécédents varient dans le même sens.
étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.
Conclusion : J’écris la propriété au rang n et je rajoute pour tout n.
-1\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \alpha. pour n \in \mathbf{N}
On veut en déduire que la suite (u_n) converge.
On a montré par récurrence que -1\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \alpha pour n \in \mathbf{N}.
La suite (u_n) est croissante car u_n \leq u_{n+1} pour n \in \mathbf{N}.
La suite (u_n) est majorée car u_n \leq \alpha pour n \in \mathbf{N}.
La suite (u_n) est croissante et majorée par \alpha donc la suite (u_n) converge.