Sommaire
Suites de matrices colonnes
Définition
Une suite de matrices colonnes de taille k\times 1 est une fonction qui à tout entier naturel n, associe une matrice colonne de taille k\times 1
Exemples
La suite (U_n) définie pour tout entier naturel n par :
est une suite de matrices colonnes de taille 2\times 1. On a, par exemple :
Définition
On dit qu’une suite de matrices (U_n) converge si et seulement si tous ses coefficients convergent. La limite de la suite (U_n) est la matrice dont les coefficients sont les limites des coefficients de la matrice (U_n) .
Exemples
- La suite (U_n) définie pour tout entier naturel n par :
est divergente car lim_{n\to {+\infty}}\hspace{0.25cm}2n=+\infty et lim_{n\to {+\infty}}\hspace{0.25cm}2n+1=+\infty
2. La suite (U_n) définie pour tout entier naturel n non nul par :
est convergente car lim_{n\to {+\infty}}\hspace{0.25cm}2=2 et lim_{n\to {+\infty}}\hspace{0.25cm}\frac{1}{n}=0.
Sa limite est la matrice
Sa limite est la matrice
Suites de matrices définies par récurrence
Propriété
Soient A une matrice carrée d’ordre p (p est un entier naturel) et (U_n) une suite de matrices colonnes à p lignes telles que pour tout entier naturel n : U_{n+1}=AU_n. Alors pour tout entier naturel n, on a : U_{n}=A^nU_0.
Exemples
- Les suites (a_n) et (b_n) sont deux suites définies par a_0=1 et b_0=0 et pour n\in \mathbf{N}
On veut calculer U_5.
2. La suite (a_n) et (b_n) sont deux suites définies par a_2=1 et b_2=23 et pour n\in \mathbf{N}
On veut calculer a_0 et b_0.
Donc a_0=1 et b_0=-1.
Exercice n°1
Soit la matrice carrée d’ordre 2 suivante
Soit (U_n) la suite de matrices colonnes définie par
et pour tout n\in \mathbf{N} , U_{n+1}=AU_n
- Calculer U_1.
2. Exprimer pour tout n\in \mathbf{N} , U_{n} en fonction de A et de n.
3. A l’aide de la calculatrice, calculer U_{10}.
Exercice n°2
Soit la matrice carrée d’ordre 2 suivante
Soit (U_n) la suite de matrices colonnes définie par
et pour tout n\in \mathbf{N} , U_{n+1}=AU_n
- Calculer U_1.
2. Exprimer pour tout n\in \mathbf{N} , U_{n} en fonction de A et de n.
3. A l’aide de la calculatrice, calculer U_{5}.
Propriété
Soient A une matrice carrée d’ordre p (p est un entier naturel) et B une matrice colonne à p lignes et (U_n) une suite de matrices colonnes à p lignes telles que pour tout entier naturel n : U_{n+1}=AU_n+B.
Si la suite (U_n) converge, alors la limite U est une matrice colonne vérifiant U=AU+B.
La matrice U est appelée état stable de la suite (U_n).
Exemple
Soit la suite de matrices colonnes (U_n) définie par U_{n+1}=AU_n+B pour n\in \mathbf{N} avec
- Déterminer une matrice colonne U telle que U=AU+B.
U=AU+B \iff U-AU=B\iff (I_2-A)U=B
det(I_2-A)=0.5\times 0.5-0.5\times 0=0.25 donc I_2-A est inversible.
Donc U=(I_2-A)^{-1}B
On calcule (I_2-A)^{-1}B à l’aide de la calculatrice.
2. On pose V_n=U_n-U. Montrer que, pout tout entier naturel n , V_{n+1}=AV_n. En déduire l’expression de V_n en fonction de n.
V_{n+1}=U_{n+1}-U\\V_{n+1}=AU_n+B-U\\V_{n+1}=AU_n+B-(AU+B)\\V_{n+1}=AU_n-AU\\V_{n+1}=A(U_n-U)\\V_{n+1}=AV_{n}
4. on exprime V_{n+1} en fonction de U_{n+1}
5. on remplace U_{n+1} par AU_n+B
6. on remplace U par AU+B
3. on développe A(U_{n}-U)
2. on remplace V_{n} par U_{n}-U
1. on écrit la conclusion en bas.
On a montré que V_{n+1}=AV_n donc V_{n}=A^nV_0
3. On admet que pour n\geq 1
Déduire de ce qui précède l’expression de U_n en fonction de n et étudier sa limite.
V_n=U_n-U
On écrit l’égalité dans l’autre sens.
U_n-U=V_n\\U_n=V_n+U
On remplace V_{n} par A^nV_0
U_n=A^nV_0+U
On calcule V_{0}=U_0-U
Exercice n°3
Soit (U_n) la suite de matrices colonnes définie par
et pour tout n\in \mathbf{N}, U_{n+1}=AU_n+B
- Calculer U_1.
2.a. Justifier que A-I_2 est inversible.
2.b. Déterminer (A-I_2)^{-1}.
2.c. Calculer C=-(A-I_2)^{-1}B.
3. Montrer que la suite (V_n) définie par pour tout n\in \mathbf{N} , V_{n}=U_n-C vérifie V_{n+1}=AV_n.
4. En déduire (V_n) puis U_n en fonction de n.
5. En déduire U_5.
Exercice n°4
Soit (U_n) la suite de matrices colonnes définie par
et pour tout n\in \mathbf{N} , U_{n+1}=AU_n+B
- Calculer U_1.
2.a. Justifier que A-I_2 est inversible. Puis déterminer (A-I_2)^{-1}.
2.b. Calculer C=-(A-I_2)^{-1}B.
3. Montrer que la suite (V_n) définie par pour tout n\in \mathbf{N} , V_{n}=U_n-C vérifie V_{n+1}=AV_n.
4. En déduire le terme général de la suite (V_n) en fonction de n. Puis exprimer U_n en fonction de n.
5. En déduire U_{6}.
Pour calculer U_1 je remplace n par l’entier précédent 0 dans l’expression U_{n+1}=AU_n car la suite (U_{n}) est définie par récurrence.
U_{0+1}=AU_0\\U_{1}=AU_0
On veut exprimer pour tout n\in \mathbf{N} , U_{n} en fonction de A et de n.
Comme U_{n+1}=AU_n pour n\in \mathbf{N} alors U_{n}=A^nU_0 ou encore :
Pour calculer U_{10} je remplace n par l’entier 10 dans l’expression U_{n}=A^nU_0 car la suite (U_{n}) est définie par formule explicite.
U_{10}=A^{10}U_0
On utilise la calculatrice pour calculer :
Pour calculer U_1 je remplace n par l’entier précédent 0 dans l’expression U_{n+1}=AU_n car la suite (U_{n}) est définie par récurrence.
U_{0+1}=AU_0\\U_{1}=AU_0
On veut exprimer pour tout n\in \mathbf{N} , U_{n} en fonction de A et de n.
Comme U_{n+1}=AU_n pour n\in \mathbf{N} alors U_{n}=A^nU_0 ou encore :
Pour calculer U_{5} je remplace n par l’entier 5 dans l’expression U_{n}=A^nU_0 car la suite (U_{n}) est définie par formule explicite.
U_{5}=A^{5}U_0
On utilise la calculatrice pour calculer :
Pour calculer U_1 je remplace n par l’entier précédent 0 dans l’expression U_{n+1}=AU_n+B car la suite (U_{n}) est définie par récurrence.
U_{0+1}=AU_0+B\\U_{1}=AU_0+B
Pour montrer que A-I_2 est inversible, on montre que det(A-I_2)\ne 0.
On veut montrer que la suite (V_n) définie par pour tout n\in \mathbf{N} , V_{n}=U_n-C vérifie V_{n+1}=AV_n.
V_{n+1}=U_{n+1}-C\\V_{n+1}=AU_n+B-C\\V_{n+1}=A(V_n+C)+B-C\\V_{n+1}=AV_n+AC+B-C\\V_{n+1}=AV_n+(A-I_2)C+B\\V_{n+1}=AV_n-(A-I_2)(A-I_2)^{-1}B+B\\V_{n+1}=AV_{n}-B+B\\V_{n+1}=AV_{n}
On a montré que V_{n+1}=AV_n donc V_{n}=A^nV_0.
calculons d’abord V_{0} :
V_{n}=U_n-C\\U_n-C=V_n\\U_n=V_n+C\\U_n=A^nV_0+C
On veut calculer U_{5} en remplaçant n par 5 dans
On utilise ensuite la calculatrice
Pour calculer U_1 je remplace n par l’entier précédent 0 dans l’expression U_{n+1}=AU_n+B car la suite (U_{n}) est définie par récurrence.
U_{0+1}=AU_0+B\\U_{1}=AU_0+B
Pour montrer que A-I_2 est inversible, on montre que det(A-I_2)\ne 0.
On calcule d’abord (A-I_2)^{-1} :
On calcule ensuite C=-(A-I_2)^{-1}B :
On a montré que V_{n+1}=AV_n donc V_{n}=A^nV_0.
calculons d’abord V_{0} :
V_{n}=U_n-C\\U_n-C=V_n\\U_n=V_n+C\\U_n=A^nV_0+C
On veut calculer U_{6} en remplaçant n par 6 dans
On utilise ensuite la calculatrice
