Théorème de Gauss
Soient a , b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise bc et c et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c
Exemple n°1
On veut résoudre l’équation suivante 23x=7y.
Comme PGCD(23;7)=1 , les nombres 23 et 7 sont premiers entre eux.
Et comme 23 divise 7y
D’après le théorème de Gauss, 23 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=23k.
On remplace y par 23k dans 23x=7y.
23x=7\times 23k\\x=7k
Les couples solutions sont de la forme (7k;23k) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 23x=7y.
L’égalité 23\times 7k=7\times 23k est bien vérifiée.
Exemple n°2
On veut résoudre l’équation suivante 12x=15y.
Comme PGCD(12;15)=3 , on divise l’équation par 3 .
\frac{12x}{3}=\frac{15y}{3}\\4x=5y
Les nombres 4 et 5 sont premiers entre eux.
De plus 4 divise 5y
D’après le théorème de Gauss, 4 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=4k.
On remplace y par 4k dans 4x=5y.
4x=5\times 4k\\x=5k
Les couples solutions de l’équation 4x=5y sont de la forme (5k;4k) avec k\in \mathbf{Z}.
Donc les couples solutions de l’équation 12x=15y sont de la forme (5k;4k) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 12x=15y.
L’égalité 12\times 5k=15\times 4k est bien vérifiée.
Exercice n°1
Résoudre les équations suivantes où x et y sont des entiers relatifs.
23x=19y
5(x-1)=3y
65x=91y
Exercice n°2
- Déterminer les couples d’entiers relatifs tels que 33x-45y=0
2. En déduire les couples d’entiers relatifs tels que 33x+45y=12.
Exercice n°3
Déterminer les couples d’entiers naturels tels que
Exercice n°4
- Déterminer le PGCD(65;91) à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
2. Déterminer les couples d’entiers naturels tels que
Corollaire
Soient a , b et c trois entiers relatifs non nuls.
Si a divise c et si b divise c et si a et b sont premiers entre eux alors ab divise c.
Exercice n°5
Soit n un entier naturel.
- Justifier que, parmi les nombres n,n+1,n+2 l’un est divisible par 3 et au moins un est divisible par 2.
2. En déduire que n(n+1)(n+2) est divisible par 6.
Exercice n°6
Soit n un entier naturel. Soit A=n(n^4-1)
- Montrer que A=n(n^4-1) est divisible par 2
2. Montrer que A=n(n^4-1) est divisible par 5
3. En déduire que A=n(n^4-1) est divisible par 10
On considère l’équation suivante 23x=19y.
Comme PGCD(23;19)=1 , les nombres 23 et 19 sont premiers entre eux.
Et comme 23 divise 19y
D’après le théorème de Gauss, 23 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=23k.
On remplace y par 23k dans 23x=19y.
23x=19\times 23k\\x=19k
Les couples solutions sont de la forme (19k;23k) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 23x=19y.
L’égalité 23\times 19k=19\times23k est bien vérifiée.
On considère l’équation suivante 5(x-1)=3y.
Comme PGCD(5;3)=1 , les nombres 5 et 3 sont premiers entre eux.
De plus 5 divise 3y
D’après le théorème de Gauss, 5 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=5k.
On remplace y par 5k dans 5(x-1)=3y.
5(x-1)=3\times 5k\\x-1=3k\\x=3k+1
Les couples solutions sont de la forme (3k+1;5k) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 5(x-1)=3y.
L’égalité 5\times (3k+1-1)=3\times 5k est bien vérifiée.
On considère l’équation suivante 65x=91y.
On détermine le PGCD(65;91) avec la calculatrice :
Comme PGCD(65;91)=13 , on divise l’équation par 13 .
\frac{65x}{13}=\frac{91y}{13}\\5x=7y
Les nombres 5 et 7 sont premiers entre eux.
De plus 5 divise 7y
D’après le théorème de Gauss, 5 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=5k.
On remplace y par 5k dans 5x=7y.
5x=7\times 5k\\x=7k\\x=7k
Les couples solutions sont de la forme (7k;5k) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 65x=91y.
L’égalité 65\times 7k=91\times 5k équivaut à 455k=455k qui est bien vérifiée.
On considère l’équation suivante 33x-45y=0 qui s’écrit aussi 33x=45y.
On détermine le PGCD(33;45) avec la calculatrice :
Comme PGCD(33;45)=3 , on divise l’équation par 3 .
\frac{33x}{3}=\frac{45y}{3}\\11x=15y
Les nombres 11 et 15 sont premiers entre eux.
De plus 11 divise 15y
D’après le théorème de Gauss, 11 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=11k.
On remplace y par 11k dans 11x=15y.
11x=15\times 11k\\x=15k
Les couples solutions de l’équation 11x=15y sont de la forme (15k;11k) avec k\in \mathbf{Z}.
Donc les couples solutions de l’équation 33x=45y sont de la forme (15k;11k) avec k\in \mathbf{Z}
On s’assure que les solutions trouvées vérifient bien l’équation 33x=45y:
33\times 15k=45\times 11k
On veut déduire de la question précédente, la résolution de l’équation 33x+45y=12.
On détermine un couple d’entiers solution de 33x+45y=12.
On a par exemple le couple (-1;1) car 33\times (-1)+45\times 1=-33+45=12.
Ensuite on soustrait membre à membre les deux égalités suivantes :
33x+45y=12\\33\times (-1)+45\times 1=12
On obtient
33x-33\times (-1)+45y-45\times 1=12-12
On réduit
33x-33\times (-1)+45y-45\times 1=0
On factorise
33(x+1)+45(y-1)=0
On a vu dans la question précédente que les couples solutions de 33x-45y=0 de la forme (15k;11k) avec k\in \mathbf{Z}.
Donc x+1=15k et -(y-1)=11k
Ou x=15k-1 et -y+1=11k
Ou x=15k-1 et y=-11k+1
Donc les couples solutions de 33x+45y=12 sont de la forme (15k-1;-11k+1) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 33x+45y=12.
33\times (15k-1)+45\times (-11k+1)=33\times 15k-33\times 1-45\times 11k+45\times 1\\\hspace{5.2cm}=-33+45\\\hspace{5.2cm}=12
- on résout l’équation suivante 7x=19y.
Comme PGCD(7;19)=1 , les nombres 7 et 19 sont premiers entre eux.
Et comme 7 divise 19y
D’après le théorème de Gauss, 7 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=7k.
On remplace y par 7k dans 7x=19y.
7x=19\times 7k\\x=19k
Les couples solutions sont de la forme (19k;7k) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 7x=19y.
L’égalité 7\times 19k=19\times7k est bien vérifiée.
2. Comme x\leq 100, 19k\leq 100 donc k\leq 5.
On écrit tous les couples solutions (19k;7k) avec k\leq 5 dans un tableur exel
Ou on écrit tous les couples solutions (19k;7k) avec k\leq 5 en utilisant la calculatrice TI 83 Premium CE
Après avoir utilisé l’Algorithme d’Euclide, le dernier reste non nul trouvé est 13 donc
PGCD(61;91)=13
- on résout l’équation suivante 65x=91y.
On a vu que PGCD(65;91)=13, on divise l’équation par 13.
\frac{65x}{13}=\frac{91y}{13}\\5x=7y
les nombres 5 et 7 sont premiers entre eux.
Et comme 5 divise 7y
D’après le théorème de Gauss, 5 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=5k.
On remplace y par 5k dans 5x=7y.
5x=7\times 5k\\x=7k
Les couples solutions de 7x=19y sont de la forme (7k;5k) avec k\in \mathbf{Z}.
Donc les couples solutions de 65x=91y sont de la forme (7k;5k) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 65x=91y.
L’égalité 65\times 7k=91\times5k est bien vérifiée.
2. Comme x\leq 70, 7k\leq 70 donc k\leq 10.
On écrit tous les couples solutions (7k;5k) avec k\leq 10 dans un tableur exel
Ou on écrit tous les couples solutions (19k;7k) avec k\leq 5 en utilisant la calculatrice TI 83 Premium CE
On a montré précédemment que parmi les nombres n,n+1,n+2 l’un est divisible par 3 donc le produit n(n+1)(n+2) est divisible par 3.
On a montré précédemment que parmi les nombres n,n+1,n+2 , au moins un est divisible par 2 donc le produit n(n+1)(n+2) est divisible par 2.
2 et 3 sont premiers entre eux et divisent tous les deux le produit n(n+1)(n+2) donc, d’après le corollaire du théorème de Gauss, n(n+1)(n+2) est divisible par 2\times 3 c’est-à-dire 6.
On veut montrer que A=n(n^4-1) est divisible par 2
Cas n°1 : n\equiv 0[2]
alors n est divisible par 2 et le produit n(n^4-1) est donc divisible par 2.
Cas n°2 : n\equiv 1[2]
Alors n^4\equiv 1^4[2]\\n^4\equiv 1[2]\\n^4-1\equiv 1-1[2]\\n^4-1\equiv 0[2]
On multiplie membre à membre n\equiv 1[2] et n^4-1\equiv 0[2]
n(n^4-1)\equiv 1\times 0[2]\\n(n^4-1)\equiv 0[2]
Donc le produit n(n^4-1) est divisible par 2.
Donc A=n(n^4-1) est divisible par 2 pout tout entier naturel n.
On veut montrer que A=n(n^4-1) est divisible par 5.
On utilise un tableau de congruences :
| n\equiv 0[5] | n\equiv 1[5] | n\equiv 2[5] | n\equiv 3[5] | n\equiv 4[5] |
| n^4\equiv 0[5] | n^4\equiv 1[5] | n^4\equiv 16[5] | n^4\equiv 81[5] | n^4\equiv 256[5] |
| n^4-1\equiv -1[5] | n^4-1\equiv 0[5] | n^4-1\equiv 15[5] | n^4-1\equiv 80[5] | n^4-1\equiv 255[5] |
| n(n^4-1)\equiv 0[5] | n(n^4-1)\equiv 0[5] | n(n^4-1)\equiv 30[5]\\n(n^4-1)\equiv 0[5] | n(n^4-1)\equiv 240[5]\\n(n^4-1)\equiv 0[5] | n(n^4-1)\equiv 1020[5]\\n(n^4-1)\equiv 0[5] |
Donc A=n(n^4-1) est divisible par 5 pour tout entier n .
On a montré précédemment que n(n^4-1) est divisible par 2 et que n(n^4-1) est divisible par 5.
2 et 5 sont premiers entre eux et divisent tous les deux le produit n(n^4-1) donc, d’après le corollaire du théorème de Gauss, n(n^4-1) est divisible par 2\times 5 c’est-à-dire 10.