Existence et unicité d’une décomposition
Propriété
Tout entier naturel n\geq 2 est premier ou produit de nombres premiers.
Méthode n°1 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers par le calcul.
On se propose de décomposer 3150 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 3150 par 2 puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
3150
1575
525
175
35
7
1
2
3
3
5
5
7
On obtient alors la décomposition suivante : 3150=2\times3^2\times5^2\times7
Méthode n°2 : pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers avec Géogébra.
Saisir 3150 sur la ligne n°1.
Cliquer sur le quatrième onglet en haut à gauche, s’affiche alors Factoriser : 2.3^2.5^2.7.
Utiliser cette page active Géogébra pour vérifier les décompositions obtenues dans cet article.
Propriété
La décomposition en produit de facteurs premiers de tout entier naturel n\geq 2 est unique.
Exercice n°1
Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.
153
230
352
840
1089
2457
Exercice n°2
- Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.
375
165
2.a. En déduire une simplification de \frac{375}{165}
2.b. En déduire une factorisation de 375a+165b.
2.c. En déduire le PGCD de 375 et 165 .
Exercice n°3
- Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers. Utiliser la page Géogébra au-dessus pour conjecturer le résultat.
1764
504
2.a. En déduire une simplification de \frac{1764}{504}
2.b. En déduire une factorisation de 1764a+504b.
2.c. En déduire le PGCD de 1764 et 504.
Diviseurs d’un entier naturel non premier
Propriété
Soit un entier n\geq 2 tel que n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}…p_r^{\alpha_r} est premier ou produit de nombres premiers.
Les diviseurs positifs de n sont de la forme n=p_1^{{\alpha_1}'}p_2^{{\alpha_2}'}p_3^{{\alpha_3}'}…p_r^{\alpha_r'} avec 0\leq {\alpha_1}'\leq{\alpha_1} , 0\leq {\alpha_2}'\leq{\alpha_2} , 0\leq {\alpha_3}'\leq{\alpha_3} , … , 0\leq {\alpha_r}'\leq{\alpha_r}.
Méthode : pour déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier naturel.
On se propose de déterminer tous les diviseurs de 98.
Etape n°1 : Décomposer 98 en produit de facteurs premiers
98
49
7
1
2
7
7
98=2\times 7^2
Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.
D’après la propriété, les diviseurs de 98=2\times 7^2 s’écrivent 2^{\alpha}\times 7^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 et 0\leq {\beta}\leq 2.
2^{0}\times 7^{0}=1\times1=1\\2^{0}\times 7^{1}=1\times7=7\\2^{0}\times 7^{2}=1\times 49=49\\2^{1}\times 7^{0}=2\times1=2\\2^{1}\times 7^{1}=2\times7=14
et 2^{1}\times 7^{2}=2\times 49=98
Les diviseurs de 98 sont : 1,2,7,14,49,98.
On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE
Pour ceux qui ne l’ont pas dans leur TI 83 Python, cliquer sur le bouton ci-dessous et écrire le programme.
Exercice n°4
Déterminer tous les diviseurs des nombres suivants
75
441
117
1573
105
231
Exercice n°5
Utiliser la page Géogébra ci-dessus pour obtenir la décomposition en produit de facteurs premiers et déterminer le nombre de diviseurs positifs des nombres suivants sans les calculer.
42300
2376
94864
On se propose de décomposer 153 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 153 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
153
51
17
1
3
3
17
La décomposition de 153 en produit de facteurs premiers est : 153=3^2\times 17.
On se propose de décomposer 230 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 230 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
230
115
23
1
2
5
23
La décomposition de 230 en produit de facteurs premiers est : 230=2\times 5\times 23.
On se propose de décomposer 352 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 352 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
352
176
88
44
22
11
1
2
2
2
2
2
11
La décomposition de 352 en produit de facteurs premiers est : 352=2^5\times 11.
On se propose de décomposer 840 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 840 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
840
420
210
105
35
7
1
2
2
2
3
5
7
La décomposition de 840 en produit de facteurs premiers est : 840=2^3\times 3\times 5\times 7.
On se propose de décomposer 1089 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 1089 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
1089
363
121
11
1
3
3
11
11
La décomposition de 1089 en produit de facteurs premiers est : 1089=3^2\times 11^2.
On se propose de décomposer 2457 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 2457 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
2457
819
273
91
13
1
3
3
3
7
13
La décomposition de 2457 en produit de facteurs premiers est : 2457=3^3\times 7\times 13.
On se propose de décomposer 375 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 375 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
375
125
25
5
1
3
5
5
5
La décomposition de 375 en produit de facteurs premiers est : 375=3\times 5^3.
On se propose de décomposer 165 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 165 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
165
55
11
1
3
5
11
La décomposition de 165 en produit de facteurs premiers est : 165=3\times 5\times 11.
On remplace 375 par 3\times 5^3 et 165 par 3\times 5\times 11 dans \frac{375}{165}. Puis on simplifie.
\frac{375}{165}=\frac{3\times 5^3}{3\times 5\times 11}
On simplifie en haut et en bas par 3\times 5
\hspace{0.5cm}=\frac{ 5^2}{ 11}
\hspace{0.5cm}=\frac{ 25}{ 11}
On remplace 375 par 3\times 5^3 et 165 par 3\times 5\times 11 dans 375a+165b. Puis on factorise.
375a+165b=3\times 5^3a+3\times 5\times 11b\\\hspace{1.9cm}=3\times 5(5^2a+11b)\\\hspace{1.9cm}=15(25a+11b)
375=3\times 5^3 et 165=3\times 5\times 11.
375 et 165 sont divisibles par 3 et par 5 donc PGCD(375;163)=15.
On se propose de décomposer 1764 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 1764 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
1764
884
441
147
49
7
1
2
2
3
3
7
7
La décomposition de 1764 en produit de facteurs premiers est : 1764=2^2\times 3^2\times 7^2.
On se propose de décomposer 504 en produit de facteurs premiers. Encore faut-il connaître les nombres premiers.
Voici les premiers 2,3,5,7,11,13,17,19,23,… .
Le plus simple est de diviser 504 par 2 si c’est possible puis continuer à diviser par 2 si c’est possible, on passe ensuite à 3 et on continue jusqu’à temps de tomber sur 1.
Voici comment procéder :
504
252
126
63
21
7
1
2
2
2
3
3
7
La décomposition de 504 en produit de facteurs premiers est : 504=2^3\times 3^2\times 7.
On remplace 1764 par 2^2\times 3^2\times 7^2 et 504 par 2^3\times 3^2\times 7 dans \frac{1764}{504}. Puis on simplifie.
\frac{1764}{504}=\frac{2^2\times 3^2\times 7^2}{2^3\times 3^2\times 7}
On simplifie en haut et en bas par 2^2\times 3^2\times 7
\hspace{0.5cm}=\frac{ 7}{ 2}
On remplace 1764 par 2^2\times 3^2\times 7^2 et 504 par 2^3\times 3^2\times 7 dans 375a+165b. Puis on factorise.
1764a+504b=2^2\times 3^2\times 7^2a+2^3\times 3^2\times 7b\\\hspace{2.1cm}=2^2\times 3^2\times 7(7a+2b)\\\hspace{2.1cm}=252(7a+2b)
1764=2^2\times 3^2\times 7^2 et 504=2^3\times 3^2\times 7.
1764 et 504 sont divisibles par 2^2, 3^2 et par 7 donc PGCD(375;163)=2^2\times 3^2\times 7=252.
On se propose de déterminer tous les diviseurs de 75.
Etape n°1 : Décomposer 75 en produit de facteurs premiers
75
25
5
1
3
5
5
75=3\times 5^2
Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.
D’après la propriété, les diviseurs de 75=3\times 5^2 s’écrivent 3^{\alpha}\times 5^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 et 0\leq {\beta}\leq 2.
3^{0}\times 5^{0}=1\times1=1\\3^{0}\times 5^{1}=1\times5=5\\3^{0}\times 5^{2}=1\times 25=25\\3^{1}\times 5^{0}=3\times1=3\\3^{1}\times 5^{1}=3\times5=15\\3^{1}\times 5^{2}=3\times 25=75
Les diviseurs de 75 sont : 1,3,5,15,25,75.
On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE
On se propose de déterminer tous les diviseurs de 441.
Etape n°1 : Décomposer 441 en produit de facteurs premiers
441
147
49
7
1
3
3
7
7
441=3^2\times 7^2
Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.
D’après le cours, les diviseurs de 441=3^2\times 7^2 s’écrivent 3^{\alpha}\times 7^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 2 et 0\leq {\beta}\leq 2.
3^{0}\times 7^{0}=1\times1=1\\3^{0}\times 7^{1}=1\times7=7\\3^{0}\times 7^{2}=1\times 49=49\\3^{1}\times 7^{0}=3\times1=3\\3^{1}\times 7^{1}=3\times7=21\\3^{1}\times 7^{2}=3\times 49=147\\3^{2}\times 7^{0}=9\times1=9\\3^{2}\times 7^{1}=9\times7=63\\3^{2}\times 7^{2}=9\times 49=441
Les diviseurs de 441 sont : 1,3,7,9,21,49,63,147,441.
On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE
On se propose de déterminer tous les diviseurs de 117.
Etape n°1 : Décomposer 117 en produit de facteurs premiers
117
39
13
1
3
3
13
117=3^2\times 13
Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.
D’après le cours, les diviseurs de 117=3^2\times 13 s’écrivent 3^{\alpha}\times 13^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 2 et 0\leq {\beta}\leq1.
3^{0}\times 13^{0}=1\times1=1\\3^{0}\times 13^{1}=1\times13=13\\3^{1}\times 13^{0}=3\times1=3\\3^{1}\times 13^{1}=3\times13=39\\3^{2}\times 13^{0}=9\times1=9\\3^{2}\times 13^{1}=9\times13=117
Les diviseurs de 441 sont : 1,3,9,13,39,117.
On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE
On se propose de déterminer tous les diviseurs de 1573.
Etape n°1 : Décomposer 1573 en produit de facteurs premiers
1573
143
13
1
11
11
13
1573=11^2\times 13
Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.
D’après le cours, les diviseurs de 1573=11^2\times 13 s’écrivent 11^{\alpha}\times 13^{\beta} avec 0\leq {\alpha}\leq 2 et 0\leq {\beta}\leq 1.
11^{0}\times 13^{0}=1\times1=1\\11^{0}\times 13^{1}=1\times13=13\\11^{1}\times 13^{0}=11\times1=11\\11^{1}\times 13^{1}=11\times13=143\\11^{2}\times 13^{0}=121\times1=121\\11^{2}\times 13^{1}=121\times13=1573
Les diviseurs de 1573 sont : 1,11,13,121,143,1573.
On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE
On se propose de déterminer tous les diviseurs de 105.
Etape n°1 : Décomposer 105 en produit de facteurs premiers
105
35
7
1
3
5
7
105=3\times 5\times 7
Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.
D’après le cours, les diviseurs de 105=3\times 5\times 7 s’écrivent 3^{\alpha}\times 5^{\beta}\times 7^{\gamma} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 , 0\leq {\beta}\leq1 et 0\leq {\gamma}\leq1.
3^{0}\times 5^{0}\times 7^{0}=1\times1\times 1=1\\3^{0}\times 5^{0}\times 7^{1}=1\times1\times 7=7\\3^{0}\times 5^{1}\times 7^{0}=1\times5\times 1=5\\3^{0}\times 5^{1}\times 7^{1}=1\times5\times 7=35\\3^{1}\times 5^{0}\times 7^{0}=3\times1\times 1=3\\3^{1}\times 5^{0}\times 7^{1}=3\times1\times 7=21\\3^{1}\times 5^{1}\times 7^{0}=3\times5\times 1=15\\3^{1}\times 5^{1}\times 7^{1}=3\times5\times 7=105
Les diviseurs de 105 sont : 1,3,5,7,15,21,35,105.
On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE
On se propose de déterminer tous les diviseurs de 231.
Etape n°1 : Décomposer 231 en produit de facteurs premiers
231
77
11
1
3
7
11
231=3\times 7\times 11
Etape n°2 : Représenter les diviseurs comme des chemins dans un arbre.
D’après le cours, les diviseurs de 231=3\times 7\times 11 s’écrivent 3^{\alpha}\times 7^{\beta}\times 11^{\gamma} avec 0\leq {\alpha}\leq 1 , 0\leq {\beta}\leq1 et 0\leq {\gamma}\leq1.
3^{0}\times 7^{0}\times 11^{0}=1\times1\times 1=1\\3^{0}\times 7^{0}\times 11^{1}=1\times1\times 11=11\\3^{0}\times 7^{1}\times 11^{0}=1\times7\times 1=7\\3^{0}\times 7^{1}\times 11^{1}=1\times7\times 11=77\\3^{1}\times 7^{0}\times 11^{0}=3\times1\times 1=3\\3^{1}\times 7^{0}\times 11^{1}=3\times1\times 11=33\\3^{1}\times 7^{1}\times 11^{0}=3\times7\times 1=21\\3^{1}\times 7^{1}\times 11^{1}=3\times7\times 11=231
Les diviseurs de 231 sont : 1,3,7,11,21,33,77,231.
On peut vérifier le résultat en utilisant le programme DIVISEUR écrit en langage Python dans le niveau seconde du site MATH’O KARE
D’après la propriété, les diviseurs de 42300=2^2\times 3^2\times 5^2\times 47 s’écrivent 2^{\alpha}\times 3^{\beta}\times 5^{\gamma}\times 47^{\omega} avec 0\leq {\alpha}\leq 2 , 0\leq {\beta}\leq 2 , 0\leq {\gamma}\leq 2 et 0\leq {\omega}\leq 1.
On obtient donc 3 valeurs pour \alpha, 3 valeurs pour \beta, 3 valeurs pour \gamma, 2 valeurs pour \omega.
Il y a donc 3\times 3\times 3\times 2=54 diviseurs positifs de 42300.
D’après la propriété, les diviseurs de 2376=2^3\times 3^3\times 11 s’écrivent 2^{\alpha}\times 3^{\beta}\times 11^{\gamma} avec 0\leq {\alpha}\leq 3 , 0\leq {\beta}\leq 3 et 0\leq {\gamma}\leq 1.
On obtient donc 4 valeurs pour \alpha, 4 valeurs pour \beta, 2 valeurs pour \gamma.
Il y a donc 4\times 4\times 2=32 diviseurs positifs de 2376.
D’après la propriété, les diviseurs de 94864=2^4\times 7^2\times 11^2 s’écrivent 2^{\alpha}\times 7^{\beta}\times 11^{\gamma} avec
0\leq {\alpha}\leq 4 , 0\leq {\beta}\leq 2 et 0\leq {\gamma}\leq 2.
On obtient donc 5 valeurs pour \alpha, 3 valeurs pour \beta, 3 valeurs pour \gamma.
Il y a donc 5\times 3\times 3=45 diviseurs positifs de 94864.