Sommaire
Pour s’y retrouver dans les tirages
On tire k objets parmi les n objets d’un ensemble E.
Tirage successif (l’ordre compte)
Tirage simultané (l’ordre ne compte pas)
Avec remise
Les résultats sont des k-uplets, c’est-à-dire des listes ordonnées de k éléments de E (distincts ou non). Il y en a en tout
n^k
Il n’y a pas de tirage simultané avec remise.
Sans remise
Les résultats sont des k-uplets d’éléments distincts, c’est-à-dire des listes ordonnées de k éléments distincts de E ( dans des exercices anciens, on utilise le mot arrangement).
Il y en a en tout
n\times(n-1)\times…\times(n-k+1)
ou
\frac{n!}{(n-k)!}
Cas particulier : quand k=n, il s’agit de permutations de n objets et il y en a
n!
Les résultats sont des combinaisons de k d’éléments de E, c’est-à-dire des parties de k éléments de E. Il y en a
\binom{n}{k}
Combinaisons.
Exercice n°1
On tire simultanément deux boules dans une urne qui contient cinq boules numérotées de 1 à 5.
Combien y’a-t-il de tirages possibles ?
Exercice n°2
Un jeu de dominos contient 28 pièces. On tire sept dominos en début de partie.
Combien y’a-t-il de tirages de sept dominos possibles ?
Exercice n°3
Pour jouer à LOTO®, il vous suffit de cocher 6 numéros : 5 numéros sur une grille de 49 numéros et 1 numéro chance sur une grille de 10 numéros.
- Combien y’a-t-il de façons de cocher 5 numéros sur une grille de 49 numéros ?
2. Combien y’a-t-il de façons de cocher 1 numéro sur une grille de 10 numéros ?
3. En déduire le nombre de toutes les grilles qu’on peut former au loto.
Exercice n°4
Pour jouer au poker, on utilise un jeu de 52 cartes. Une main est un ensemble de 5 cartes différentes.
- Combien y’a-t-il de mains différentes?
2. Une quinte flush est une main de cinq cartes de la même famille qui se suivent.
par exemple : \{as\heartsuit,roi\heartsuit,dame\heartsuit,valet\heartsuit,10\heartsuit \}
Combien y’a-t-il de quintes flush à coeur ?
3. Une couleur est une main de 5 cartes de la même famille qui ne se suivent pas, si elles se suivent c’est une quinte flush.
Combien y’a-t-il de couleurs à coeur ?
Exercice n°5
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac.
1. Combien y’a-t-il de tirages différents au total ?
2. Combien y’a-t-il de tirages comportant 3 jetons verts ?
3. Combien y’a-t-il de tirages comportant au moins un jeton rouge ?
4. Combien y’a-t-il de tirages comportant exactement un jeton vert ?
Exercice n°6
On sélectionne 5 personnes parmi 20 femmes et 30 hommes pour former une équipe.
1) De combien de façons peut-on constituer cette équipe de 5 personnes ?
2) Dans chacun des cas suivants, de combien de façons peut-on former cette équipe :
a) En ne sélectionnant que des femmes.
b) En ne sélectionnant que des personnes de même sexe.
c) En sélectionnant au moins une femme et au moins un homme.
Exercice n°7
Dans un lycée, on compte 22 célibataires parmi les 70 professeurs. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de cinq personnes parmi les professeurs du lycée.
1) Quel est le nombre d’échantillons différents possibles ?
2) Quel est le nombre d’échantillons ne contenant aucun célibataire ?
3) Quel est le nombre d’échantillons contenant au moins un célibataire ?
Exercice n°8
Louis et Pierre sont membres d’un club de pétanque qui compte 15 personnes. Parmi ces 15 personnes, 3 doivent représenter le club au forum des associations.
1) Combien de groupes de 3 personnes peut-on constituer ?
2) Dans combien de ces groupes peut figurer Louis ?
3) Combien de groupes peut-on former de telle sorte que Louis et Pierre ne s’y retrouvent pas ensemble ?
Exemple : On tire successivement sans remise 4 objets parmi 6.
Il s’agit de 4-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 6 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 4 éléments dans un ensemble à 6 éléments.)
On remplace n par 6 et k par 4 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a 6\times(6-1)\times…\times(6-4+1)=6\times 5\times4\times3=360
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 2:Arrangement.
Valider par entrer.
Complèter les cadres puis valider par entrer.
Exemple : On tire successivement sans remise 4 objets parmi 4.
Il s’agit de 4-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 4 éléments, on dit aussi permutations de 4 éléments.
On remplace n par 4dans n!.
Il y en a 4!=4\times3\times2\times1=24
Au clavier
A l’écran
Taper 4 au clavier.
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 4:!
Valider par entrer.
Exemple : On tire simultanément 4 objets parmi 6.
Il s’agit de combinaisons de 4 éléments dans un ensemble à 6 éléments.
On remplace n par 6 et k par 4 dans \binom{n}{p}.
Il y en a \binom{6}{4}=15
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
On tire simultanément deux boules dans une urne qui contient cinq boules numérotées de 1 à 5.
Il s’agit de combinaisons de 2 éléments dans un ensemble à 5 éléments.
On remplace n par 5 et k par 2 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{5}{2}=10
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Un jeu de dominos contient 28 pièces. On tire sept dominos en début de partie. L’ordre ne compte pas, c’est comme si on les choisissait simultanément.
Il s’agit de combinaisons de 7 éléments dans un ensemble à 28 éléments.
On remplace n par 28 et k par 7 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{28}{7}=1184040
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Combien y’a-t-il de façons de cocher 5 numéros sur une grille de 49 numéros ?
L’ordre ne compte pas, c’est comme si on les choisissait simultanément.
Il s’agit de combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 49 éléments.
On remplace n par 49 et k par 5 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{49}{5}=19066884
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Combien y’a-t-il de façons de cocher 1 numéro sur une grille de 10 numéros ?
On détermine le nombre de combinaisons de 1 élément dans un ensemble à 10 éléments.
On rappelle le résultat du cours suivant : \binom{n}{1}=n.
Il y en a \binom{10}{1}=10.
On veut déduire des questions précédentes le nombre de toutes les grilles qu’on peut former au loto.
On va utiliser l’ensemble E\times F où E est l’ensemble des combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 49 éléments et F est l’ensemble des combinaisons de 1 élément dans un ensemble à 10 éléments .
D’après le cours, le nombre d’éléments de E\times F est 1906884\times 10=19068840.
Où 1906884 est le résultat obtenu à la question 1 et où 10 est le résultat obtenu à la question 2.
Donc le nombre de toutes les grilles qu’on peut former au loto est 19068840.
Pour jouer au poker, on utilise un jeu de 52 cartes. Une main est un ensemble de 5 cartes différentes.Combien y’a-t-il de mains différentes?
L’ordre ne compte pas, c’est comme si on les choisissait simultanément.
Il s’agit de combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 52 éléments.
On remplace n par 52 et k par 5 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{52}{5}=2598960
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Une quinte flush est une main de cinq cartes de la même famille qui se suivent.
Voici les quintes flush à coeur :
\{as\heartsuit,roi\heartsuit,dame\heartsuit,valet\heartsuit,10\heartsuit \}\\\{roi\heartsuit,dame\heartsuit,valet\heartsuit,10\heartsuit ,9\heartsuit\}\\\{dame\heartsuit,valet\heartsuit,10\heartsuit ,9\heartsuit,8\heartsuit\}
…
\{5\heartsuit,4\heartsuit,3\heartsuit ,2\heartsuit,as\heartsuit\}
En réalité, il suffit de compter les différentes possibilités pour la première carte, il y en a 10.
Il y a donc 10 quintes flush à coeur.
Une couleur est une main de 5 cartes de la même famille qui ne se suivent pas. Combien y’a-t-il de couleurs à coeur ?
L’ordre ne compte pas, c’est comme si on les choisissait simultanément.
On commence par calculer le nombre de combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 13 éléments ( les 13 cartes coeur).
On remplace n par 13 et k par 5 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{13}{5}=1287
Puis on enlève les 10 quintes flush.
1287-10=1277.
Il y a donc 1277 couleurs différentes à coeur.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac.
On veut déterminer le nombre de tirages différents au total.
On tire simultanément 3 objets parmi 9.
Il s’agit de combinaisons de 3 éléments dans un ensemble à 9 éléments.
On remplace n par 9 et k par 3 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{9}{3}=84
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac.
On veut déterminer le nombre de façons différentes de tirer 3 jetons verts..
On tire simultanément 3 objets parmi 5.
Il s’agit de combinaisons de 3 éléments dans un ensemble à 5 éléments.
On remplace n par 5 et k par 3 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{5}{3}=10
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac.
On veut déterminer le nombre de tirages comportant au moins un jeton rouge.
Le contraire de tirer au moins un jeton rouge est de ne tirer aucun jeton rouge, c’est-à-dire de tirer 3 jetons verts.
Comme il y a 10 façons différentes de tirer 3 jetons verts et qu’il y a au total 84 façons de tirer 3 jetons.
Le nombre de tirages comportant au moins un jeton rouge est 84-10=74.
On sélectionne 5 personnes parmi 20 femmes et 30 hommes pour former une équipe.
On cherche de combien de façons on peut constituer cette équipe de 5 personnes ?
On veut déterminer le nombre d’échantillons différents possibles.
On tire simultanément 5 objets parmi 50.
Il s’agit de combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 50 éléments.
On remplace n par 50 et k par 5 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{50}{5}=2118760.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
On sélectionne 5 personnes parmi 20 femmes et 30 hommes pour former une équipe.
De combien de façons peut-on former cette équipe en ne sélectionnant que des femmes.
On tire simultanément 5 objets parmi 20.
Il s’agit de combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 20 éléments.
On remplace n par 20 et k par 5 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{20}{5}=15504.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
On sélectionne 5 personnes parmi 20 femmes et 30 hommes pour former une équipe.
De combien de façons peut-on former cette équipe en ne sélectionnant que des personnes de même sexe. C’est-à-dire en ne sélectionnant que des femmes ou que des hommes.
Comme il y a la conjonction ou, on utilisera le principe additif.
Dans la question précédente, on a trouvé 15504 façons de former une équipe en ne sélectionnant que des femmes.
De combien de façons peut-on former cette équipe en ne sélectionnant que des hommes.
On tire simultanément 5 objets parmi 30.
Il s’agit de combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 30 éléments.
On remplace n par 30 et k par 5 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{30}{5}=142506.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Donc le nombre de façons pour former une équipe en ne sélectionnant que des personnes de même sexe est 15041+142506=158010
On sélectionne 5 personnes parmi 20 femmes et 30 hommes pour former une équipe.
On veut déterminer le nombre d’équipes qu’on peut former en sélectionnant au moins une femme et au moins un homme.
Le contraire de sélectionner au moins une femme et au moins un homme est de sélectionner que des hommes ou que des femmes c’est-à-dire sélectionner des personnes de même sexe.
Comme il y a 158010 façons différentes de sélectionner des personnes de même sexe et qu’il y a au total 2118760 façons différentes de sélectionner une équipe de 5 personnes parmi les 50 personnes.
Le nombre d’équipes qu’on peut former en sélectionnant au moins une femme et au moins un homme est 2118760-158010=1960750.
Dans un lycée, on compte 22 célibataires parmi les 70 professeurs. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de cinq personnes parmi les professeurs du lycée.
On veut déterminer le nombre d’échantillons différents possibles.
On tire simultanément 5 objets parmi 70.
Il s’agit de combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 70 éléments.
On remplace n par 70 et k par 5 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{70}{5}=12103014.
Au clavier
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Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Dans un lycée, on compte 22 célibataires parmi les 70 professeurs. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de cinq personnes parmi les professeurs du lycée.
On veut déterminer le nombre d’échantillons ne contenant aucun célibataire.
On tire simultanément 5 objets parmi 70-22=48.
Il s’agit de combinaisons de 5 éléments dans un ensemble à 48 éléments.
On remplace n par 48 et k par 5 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{48}{5}=1712304.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Dans un lycée, on compte 22 célibataires parmi les 70 professeurs. On désire faire un sondage : pour cela on choisit un échantillon de cinq personnes parmi les professeurs du lycée.
On veut déterminer le nombre d’échantillons contenant au moins un célibataire.
Le contraire de contenir au moins un célibataire est de ne contenir aucun célibataire.
On a montré précédemment qu’il y a 1712304 échantillons sans célibataire et qu’il y a au total 12103014 échantillons.
Le nombre d’échantillons contenant au moins un célibataire est 12103014-1712304=10390710.
Louis et Pierre sont membres d’un club de pétanque qui compte 15 personnes. Parmi ces 15 personnes, 3 doivent représenter le club au forum des associations.
On cherche combien de groupes de 3 personnes différents on peut constituer.
On tire simultanément 3 objets parmi 15.
Il s’agit de combinaisons de 3 éléments dans un ensemble à 15 éléments.
On remplace n par 15 et k par 3 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{15}{3}=455.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Louis et Pierre sont membres d’un club de pétanque qui compte 15 personnes. Parmi ces 15 personnes, 3 doivent représenter le club au forum des associations.
On cherche dans combien de ces groupes peut figurer Louis.
Louis fait partie du groupe donc il reste donc à choisir 2 personnes parmi 14.
On tire simultanément 2 objets parmi 14.
Il s’agit de combinaisons de 2 éléments dans un ensemble à 14 éléments.
On remplace n par 14 et k par 2 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{14}{2}=91.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Louis et Pierre sont membres d’un club de pétanque qui compte 15 personnes. Parmi ces 15 personnes, 3 doivent représenter le club au forum des associations.
On cherche combien de groupes on peut former de telle sorte que Louis et Pierre ne s’y retrouvent pas ensemble.
1er cas : Louis fait partie du groupe mais pas Pierre donc il reste donc à choisir 2 personnes parmi 13.
On tire simultanément 2 objets parmi 13.
Il s’agit de combinaisons de 2 éléments dans un ensemble à 13 éléments.
On remplace n par 13 et k par 2 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{13}{2}=78.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
2ème cas : Pierre fait partie du groupe mais pas Louis donc il reste donc à choisir 2 personnes parmi 13.
On obtient le même résultat que plus haut, il y en a \binom{13}{2}=78.
3ème cas : Pierre et Louis ne font pas partie du groupe donc il reste donc à choisir 3 personnes parmi 13.
On tire simultanément 3 objets parmi 13.
Il s’agit de combinaisons de 3 éléments dans un ensemble à 13 éléments.
On remplace n par 13 et k par 3 dans \binom{n}{k}.
Il y en a \binom{13}{3}=286.
On ajoute les trois résultats obtenus.
Le nombre de groupes qu’on peut former de telle sorte que Louis et Pierre ne s’y retrouvent pas ensemble est 78+78+286=442.