Sommaire
Limites des fonctions de référence
La fonction carré
f(x)=x^2 définie sur \mathbf{R}.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de -\infty, on peut voir dans le tableur de gauche en le lisant du bas vers le haut ou sur la partie de la courbe située à gauche que les valeurs de f(x) se rapprochent de +\infty.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de +\infty, on peut voir dans le tableur de droite en le lisant du haut vers le bas ou sur la partie de la courbe située à droite que les valeurs de f(x) se rapprochent de +\infty.
A savoir :
lim_{x\to-\infty}\hspace{0.3cm}x^2=+\infty et lim_{x\to+\infty}\hspace{0.3cm}x^2=+\infty
La fonction identité
f(x)=x définie sur \mathbf{R}.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de -\infty, on peut voir dans le tableur de gauche en le lisant du bas vers le haut ou sur la partie de la courbe située à gauche que les valeurs de f(x) se rapprochent de -\infty.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de +\infty, on peut voir dans le tableur de droite en le lisant du haut vers le bas ou sur la partie de la courbe située à droite que les valeurs de f(x) se rapprochent de +\infty.
A savoir :
lim_{x\to-\infty}\hspace{0.3cm}x=-\infty et lim_{x\to+\infty}\hspace{0.3cm}x=+\infty
La fonction constante
f(x)=k définie sur \mathbf{R}. Pour la manip avec la calculatrice, prenons par exemple k=3
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de -\infty, on peut voir dans le tableur de gauche en le lisant du bas vers le haut ou sur la partie de la courbe située à gauche que les valeurs de f(x) se rapprochent de 3.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de +\infty, on peut voir dans le tableur de droite en le lisant du haut vers le bas ou sur la partie de la courbe située à droite que les valeurs de f(x) se rapprochent de 3.
Revenons au cas général
A savoir :
lim_{x\to-\infty}\hspace{0.3cm}k=k et lim_{x\to+\infty}\hspace{0.3cm}k=k
Remarque : ce n’est pas surprenant car constante signifie qui ne varie pas avec x.
La fonction inverse
f(x)=\frac{1}{x} définie sur \mathbf{R}^{*}( c’est-à-dire l’ensemble des réels non nuls).
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de -\infty, on peut voir dans le tableur de gauche en le lisant du bas vers le haut ou sur la partie de la courbe située à gauche que les valeurs de f(x) se rapprochent de 0.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de 0 par valeurs négatives, on peut voir dans le tableur de droite ou sur la partie de la courbe située à droite que les valeurs de f(x) se rapprochent de -\infty.
A savoir :
lim_{x\to-\infty}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x}=0 et lim_{x\to 0^{-}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x}=-\infty
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de 0 par valeurs positives, on peut voir dans le tableur de gauche en le lisant du bas vers le haut ou sur la partie de la courbe située à gauche que les valeurs de f(x) se rapprochent de +\infty.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de +\infty, on peut voir dans le tableur de droite ou sur la partie de la courbe située à droite que les valeurs de f(x) se rapprochent de 0.
A savoir :
lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x}=+\infty et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x}=0
La fonction racine carrée
f(x)=\sqrt{x} définie sur [0;+\infty( c’est-à-dire l’ensemble des réels positifs ou nuls).
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de +\infty, on peut voir dans le tableur ou sur la partie de la courbe située à droite que les valeurs de f(x) se rapprochent de +\infty.
A savoir :
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}\sqrt{x}=+\infty
La fonction exponentielle
f(x)=e^x définie sur \mathbf{R}.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de -\infty, on peut voir dans le tableur de gauche en le lisant du bas vers le haut ou sur la partie de la courbe située à gauche que les valeurs de f(x) se rapprochent de 0.
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de +\infty, on peut voir dans le tableur de droite ou sur la partie de la courbe située à droite que les valeurs de f(x) se rapprochent de +\infty.
A savoir :
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}e^x=0 et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^x=+\infty
La fonction puissance
f(x)=x^n définie sur \mathbf{R} avec n\in \mathbf{N}^{*}
Si n est pair ( pour la figure, on a pris n=2)
Si n est impair ( pour la figure, on a pris n=3)
A savoir :
Si n est pair,
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^n=+\infty et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x^n=+\infty
Si n est impair,
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^n=-\infty et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x^n=+\infty
La fonction inverse d’une puissance
f(x)=\frac{1}{x^n} définie sur \mathbf{R}^{*} avec n\in \mathbf{N}^{*}
Si n est pair ( pour la figure, on a pris n=2)
Si n est impair ( pour la figure, on a pris n=1)
A savoir :
Si n est pair,
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x^n}=0 , lim_{x\to 0^{-}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x^n}=+\infty , lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x^n}=+\infty et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x^n}=0.
Si n est impair,
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x^n}=0 , lim_{x\to 0^{-}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x^n}=-\infty , lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x^n}=+\infty et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x^n}=0.
Opérations sur les limites
Tableaux
Dans ces quatre tableaux, f et g représentent deux fonctions et l et l' représentent deux nombres réels.
Les propriétés suivantes sont valables quand on calcule une limite en -\infty, en +\infty et en en a où a désigne un nombre réel.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
Exercice n°1 : limite d’une somme.
Calculer les limites suivantes.
- lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x^2-x
2. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}+\sqrt{x}
3. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}2x^2+x+1
4. lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x}+x
5. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^x+x
6. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}-2x^2+x+1
7. lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}e^x+\sqrt{x}
8. lim_{x\to 2}\hspace{0.3cm}x^3-2x^2+x-2
9. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^3+2x^2+2
Exercice n°2 : limite d’un produit.
Calculer les limites suivantes.
- lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x(e^x+1)
2. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x\sqrt{x}
3. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}(x-1)
4. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}\sqrt{x}(2-x)
5. lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}e^x(1-\frac{1}{x^2})
6. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}(x^3-2x+1)(1-\frac{1}{x^2})
7. lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}e^x(1+\frac{1}{x})
8. lim_{x\to 2}\hspace{0.3cm}(x^2-1)(2x+1)
9. lim_{x\to 1}\hspace{0.3cm}(\sqrt{x}+4)(2x-1)
Exercice n°3 : limite d’un quotient.
Calculer les limites suivantes.
- lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{5x-1}{x^2-3}
2. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}\frac{3}{x^2-3}
3. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{2x+1}{3x-2}
4. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}\frac{e^x}{3x-2}
5. lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{x^2}{x-1}
6. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x}{\sqrt{x}}
7. lim_{x\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{x^2}{x+1}
8. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}\frac{x-1}{x^2-x+2}
9. lim_{x\to 1^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{2x+2}{x-1}
Exercice n°4 : limite de fonction composée.
Calculer les limites suivantes.
- lim_{x\to 2}\hspace{0.2cm}e^{2x-4}
2. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}(2x-1)^2
3. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{3x^2+x+1}
4. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}e^{6-x}
5. lim_{x\to 2^{-}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{2-x}
6. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{\frac{4x}{x+1}}
Théorèmes de comparaison et croissances comparées
Théorèmes de comparaison
On écrit les théorèmes quand x tend vers +\infty, ils sont aussi valables quand x tend vers -\infty.
f,g,h sont des fonctions définies sur un intervalle I.
- Si pour tout réel x de I, f(x)\geq g(x) et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}g(x)=+\infty alors lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty
- Si pour tout réel x de I, f(x)\leq g(x) et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}g(x)=-\infty alors lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=-\infty
- Théorème des gendarmes
Si pour tout réel x de I, f(x)\leq g(x)\leq h(x)
et si lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=lim_{x\to+\infty}\hspace{0.3cm}h(x)=L
alors lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}g(x)=L
Exercice n°5 : théorèmes de comparaison.
f est la fonction définie par f(x)=x^2-2sinx
- Démontrer que f(x)\geq x^2-2
2. En déduire la limite de f en +\infty et -\infty
Exercice n°6 : théorèmes de comparaison.
f est la fonction définie par f(x)=-x-cos(x)
- Démontrer que f(x)\leq -x+1
2. En déduire la limite de f en +\infty.
Exercice n°7 : théorème des gendarmes.
f est la fonction définie par f(x)=\frac{3x+3}{cos(x)+2}
- Démontrer que x+1\leq f(x)\leq 3x+3 pour x>-1.
2. En déduire la limite de f en +\infty.
Croissances comparées
n un entier naturel non nul.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}\frac{e^x}{x}=+\infty , lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}xe^x=0\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}\frac{e^x}{x^n}=+\infty , lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^ne^x=0
Exercice n°8 : croissances comparées.
Calculer les limites suivantes.
- lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^{x}}{x^5}
2. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x^3-2}{e^{x}}
3. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}xe^{1-x^2}
On pourra montrer que xe^{1-x^2}=\frac{e}{x}\times \frac{x^2}{e^{x^2}}.
4. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^{x}-2x
5. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x+e^{-x}
On pourra montrer que x+e^{-x}=x(1+\frac{1}{xe^{x}}).
6. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}xe^{1-x}
On pourra montrer que xe^{1-x}=e\times \frac{x}{e^{x}}.
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x^2-x.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}-x=+\infty
Par somme, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x^2-x=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}+\sqrt{x}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\sqrt{x}=+\infty
Par somme , lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}+\sqrt{x}=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}2x^2+x+1.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la somme de 3 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}2x^2=+\infty.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x=-\infty
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}1=1 car 1 ne dépend pas de x
Le théorème sur la somme ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, (+\infty)+(-\infty).
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On va utiliser un autre théorème. Pour cela on change la forme de 2x^2+x+1. Pour un polynôme en -\infty ou +\infty, on met en facteur la plus grande puissance de x, ici x^2 et on applique ensuite le théorème sur le produit.
2x^2+x+1=x^2\times2+x^2\times \frac{x}{x^2}+x^2\times \frac{1}{x^2}
\hspace{1.85cm}=x^2(2+\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2})
\hspace{1.85cm}=x^2(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}2=2\\lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0\\lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x^2}=0
Par somme, lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=2
Par produit, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x^2(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=+\infty
Donc lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}2x^2+x+1=+\infty.
lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x}+x.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0 par valeurs plus grandes.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{0^{+}}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=+\infty.
lim_{x\to{0^{+}}}\hspace{0.2cm}x=0
Par somme, lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{x}+x=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^x+x.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les f(x) se rapprochent de -\infty.
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}e^x=0.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x=-\infty
Par somme, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^x+x=-\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}-2x^2+x+1.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de -\infty.
La fonction est la somme de 3 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-2x^2=-\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}1=1 car 1 ne dépend pas de x
Le théorème sur la somme ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, (-\infty)+(+\infty).
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On va utiliser un autre théorème. Pour cela on change la forme de -2x^2+x+1. Pour un polynôme en -\infty ou +\infty, on met en facteur la plus grande puissance de x, ici x^2 et on applique ensuite le théorème sur le produit.
-2x^2+x+1=x^2\times(-2)+x^2\times \frac{x}{x^2}+x^2\times \frac{1}{x^2}
\hspace{2.15cm}=x^2(-2+\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2})
\hspace{2.15cm}=x^2(-2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-2=-2\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x^2}=0
Par somme, lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=-2
Par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x^2(-2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=-\infty.
Ou lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}-2x^2+x+1=-\infty.
Calculons lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}e^x+\sqrt{x}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0 par valeurs plus grandes.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 1.
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}e^x=e^0=1.
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}\sqrt{x}=\sqrt{0}=0
Par somme, lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}e^x+\sqrt{x}=1.
Calculons lim_{x\to 2}\hspace{0.2cm}x^3-2x^2+x-2.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 2.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.
La fonction est la somme de 4 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{2}}\hspace{0.2cm}x^3=2^3=8
lim_{x\to{2}}\hspace{0.2cm}-2x^2=-2\times 2^2\\lim_{x\to{2}}\hspace{0.2cm}-2x^2=-8
lim_{x\to{2}}\hspace{0.2cm}x=2
lim_{x\to{2}}\hspace{0.2cm}-2=-2
Par somme, lim_{x\to 2}\hspace{0.2cm}x^3-2x^2+x-2=0.
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^3+2x^2+2
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les f(x) se rapprochent de -\infty.
La fonction est la somme de 3 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x^3=-\infty.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}2x^2=+\infty
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}2=2 car 2 ne dépend pas de x
Le théorème sur la somme ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, (-\infty)+(+\infty).
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On va utiliser un autre théorème. Pour cela on change la forme de x^3+2x^2+2. Pour un polynôme en -\infty ou +\infty, on met en facteur la plus grande puissance de x, ici x^3 et on applique ensuite le théorème sur le produit.
x^3+2x^2+2=x^3\times 1+x^3\times \frac{2x^2}{x^3}+x^3\times \frac{2}{x^3}
\hspace{2.15cm}=x^3(1+\frac{2x^2}{x^3}+\frac{2}{x^3})
\hspace{2.15cm}=x^3(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^3})
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x^3=-\infty.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}1=1\\lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{2}{x}=0\\lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{2}{x^3}=0
Par somme, lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}1+\frac{2}{x}+\frac{12}{x^3}=1
Par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x^3(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^3})=-\infty.
Ou lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^3+2x^2+2=-\infty.
On veut calculer
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x(e^x+1)
.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les f(x) se rapprochent de -\infty.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}x=-\infty.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}e^x=0\\lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}e^x+1=1
Par produit , lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x(e^x+1)=-\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x\sqrt{x}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\sqrt{x}=+\infty
Par produit , lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x\sqrt{x}=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}(x-1).
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 1.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty
Le théorème sur le produit ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, 0\times (+\infty).
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On va utiliser un autre théorème. Pour cela on change la forme de \frac{1}{x}(x-1). On développe et on applique ensuite le théorème sur la somme.
\frac{1}{x}(x-1)=\frac{1}{x}\times x-\frac{1}{x}\times 1
\hspace{1.85cm}=1-\frac{1}{x}
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}1=1.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-\frac{1}{x}=0
Par somme, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}1-\frac{1}{x}=1.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}(x-1)=1
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}\sqrt{x}(2-x).
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de -\infty.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\sqrt{x}=+\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-x=-\infty\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}2-x=-\infty
Par produit , lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{x}(2-x)=-\infty.
On veut calculer lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}e^x(1-\frac{1}{x^2}).
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0 par valeurs supérieures.
Il semble que les f(x) se rapprochent de -\infty.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}e^x=1.
lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}{x^2}=0^{+}\\lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x^2}=+\infty\\lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}-\frac{1}{x^2}=-\infty\\lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}1-\frac{1}{x^2}=-\infty
Par produit , lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}e^x(1-\frac{1}{x^2})=-\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}(x^3-2x+1)(1-\frac{1}{x^2}).
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x^3-2x+1
C’est une forme indéterminée +\infty-\infty, on met en facteur le terme de plus haut degré x^3.
x^3-2x+1=x^3(1-\frac{2x}{x^3}+\frac{1}{x^3}).
x^3-2x+1=x^3(1-2\times \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}).
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x^3=+\infty et lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}1-2\times \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=1
Par produit, lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x^3(1-2\times \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3})=+\infty
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x^3-2x+1=+\infty.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x^2}=0
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}1-\frac{1}{x^2}=1
Par produit , lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}(x^3-2x+1)(1-\frac{1}{x^2})=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}e^x(1+\frac{1}{x}).
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0 par valeurs supérieures.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}e^x=1
lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=+\infty\\lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}1+\frac{1}{x}=+\infty
Par produit , lim_{x\to 0^{+}}\hspace{0.2cm}e^x(1+\frac{1}{x})=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to 2}\hspace{0.3cm}(x^2-1)(2x+1).
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 2.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 15.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to 2}\hspace{0.3cm}x^2-1=2^2-1=4-1=3
lim_{x\to 2}\hspace{0.3cm}2x+1=2\times 2+1=4+1=5
Par produit , lim_{x\to 2}\hspace{0.3cm}(x^2-1)(2x+1)=3\times 5=15.
On veut calculer lim_{x\to 1}\hspace{0.3cm}(\sqrt{x}+4)(2x-1).
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 1 .
Il semble que les f(x) se rapprochent de 5.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to 1}\hspace{0.3cm}\sqrt{x}+4=\sqrt{1}+4=1+4=5
lim_{x\to 1}\hspace{0.3cm}2x-1=2\times 1-1=2-1=1
Par produit , lim_{x\to 1}\hspace{0.3cm}(\sqrt{x}+4)(2x-1)=5\times 1=5.
On veut calculer lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{5x-1}{x^2-3}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0 .
Il semble que les f(x) se rapprochent de \frac{1}{3}.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}5x-1=5\times 0-1=-1
lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}x^2-3=0^2-3=-3
Par quotient , lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{5x-1}{x^2-3}=\frac{1}{3}.
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}\frac{3}{x^2-3}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de -\infty.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}3=3
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty\\lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x^2-3=+\infty
Par quotient , lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}\frac{3}{x^2-3}=0.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{2x+1}{3x-2}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.67.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}2x+1=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}3x-2=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, +\infty /+\infty.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On change la forme de \frac{2x+1}{3x-2}. On est en \infty et c’est le quotient de deux polynômes, il faut mettre en facteur les puissances de x de plus haut degré. x au numérateur et x au dénominateur.
\frac{2x+1}{3x-2}=\frac {x(2+\frac{1}{x})}{x(3-\frac{2}{x})}
On simplifie par x
\hspace{0.8cm}=\frac {2+\frac{1}{x}}{3-\frac{2}{x}}
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}2+\frac{1}{x}=2
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}-\frac{2}{x}=0\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}3-\frac{2}{x}=3
Par quotient, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac {2+\frac{1}{x}}{3-\frac{2}{x}}=\frac{2}{3}.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{2x+1}{3x-2}=\frac{2}{3}
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}\frac{e^x}{3x-2}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de -\infty.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}e^x=0
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x=-\infty\\lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}3x=-\infty\\lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}3x-2=-\infty
Par quotient , lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}\frac{e^x}{3x-2}=0.
On veut calculer lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{x^2}{x-1}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 0 .
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}x^2=0^2=0
lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}x-1=0-1=-1
Par quotient , lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{x^2}{x-1}=0.
6. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x}{\sqrt{x}}
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x}{\sqrt{x}}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{x}=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, +\infty /+\infty.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On change la forme de \frac{x}{\sqrt{x}}. On remplace x par \sqrt{x}^2.
\frac{x}{\sqrt{x}}=\frac {\sqrt{x}^2}{\sqrt{x}}
On simplifie par \sqrt{x}
\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{x}=+\infty.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x}{\sqrt{x}}=+\infty
On veut calculer lim_{x\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{x^2}{x+1}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x^2=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x+1=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, +\infty /+\infty.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On change la forme de \frac{x^2}{x+1}. On est en \infty et c’est le quotient de deux polynômes, il faut mettre en facteur les puissances de x de plus haut degré. x^2 au numérateur et x au dénominateur.
\frac{x^2}{x+1}=\frac {x^2 \times 1}{x(1+\frac{1}{x})}
On simplifie par x
\hspace{0.8cm}=\frac {x}{1+\frac{1}{x}}
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}{x}=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}1+\frac{1}{x}=1
Par quotient, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac {x}{1+\frac{1}{x}}=+\infty.
lim_{x\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{x^2}{x+1}=+\infty
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}\frac{x-1}{x^2-x+2}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x-1=-\infty
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^2-x+2=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, -\infty /+\infty.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On change la forme de \frac{x-1}{x^2-x+2}. On est en \infty et c’est le quotient de deux polynômes, il faut mettre en facteur les puissances de x de plus haut degré. x au numérateur et x^2 au dénominateur.
\frac{x-1}{x^2-x+2}=\frac {x(1-\frac{1}{x})}{x^2(1-\frac{x}{x^2}+\frac{2}{x^2})}
On simplifie par x
\frac{x-1}{x^2-x+2}=\frac {1-\frac{1}{x}}{x(1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})}
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}1-\frac{1}{x}=1
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x=+\infty et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}=1
Par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x(1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})=+\infty
Par quotient, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac {1-\frac{1}{x}}{x(1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2})}=0.
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}\frac{x-1}{x^2-x+2}=0
On veut calculer lim_{x\to 1^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{2x+2}{x-1}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 1 par valeurs supérieures.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to 1^{+}}\hspace{0.3cm}2x+2=2\times 1+2=4
lim_{x\to 1^{+}}\hspace{0.3cm}x-1=0^{+}, comme x>1 alors x-1>0 donc positif.
Par quotient , lim_{x\to 1^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{2x+2}{x-1}=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to 2}\hspace{0.2cm}e^{2x-4}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 2 .
Il semble que les f(x) se rapprochent de 1.
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée, gof.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to 2}\hspace{0.2cm}2x-4=2\times 2-4=4-4=0
lim_{X\to 0}\hspace{0.3cm}e^X=1
Par fonction composée, lim_{x\to 2}\hspace{0.2cm}e^{2x-4}=1.
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}(2x-1)^2.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de -\infty .
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée, gof.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}2x-1=-\infty
lim_{X\to -\infty}\hspace{0.3cm}X^2=+\infty
Par fonction composée, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}(2x-1)^2=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{3x^2+x+1}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de +\infty .
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée, gof.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}3x^2+x+1=+\infty
lim_{X\to +\infty}\hspace{0.3cm}\sqrt{X}=+\infty
Par fonction composée, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{3x^2+x+1}=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}e^{6-x}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de -\infty .
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée, gof.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}6-x=+\infty
lim_{X\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^X=+\infty
Par fonction composée, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}e^{6-x}=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to 2^{-}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{2-x} qui peut aussi s’écrire lim_{\substack{x\to 2\\x<2}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{2-x}
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de 2 par valeurs inférieures.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée, gof.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{\substack{x\to 2\\x<2}}\hspace{0.2cm}2-x=0^{+}
Ici, la notation {\substack{x\to 2\\x<2}} est plus adaptée car
comme x<2
0<2-x
et donc 2-x est positif
lim_{X\to 0^{+}}\hspace{0.3cm}\frac{1}{X}=+\infty
Ici, la notation x\to 0^{+} est mieux adaptée pour conclure.
Par fonction composée, lim_{x\to 2^{-}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{2-x}=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{\frac{4x}{x+1}}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x se rapprochent de +\infty .
Il semble que les f(x) se rapprochent de 2.
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée, gof.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{4x}{x+1}, c’est une forme indéterminée.
Pour un quotient de polynômes en \infty, on met en facteur au numérateur et au dénominateur les plus grandes puissances de x, ici x en haut et en bas.
\frac{4x}{x+1}=\frac{x\times 4}{x(1+\frac{1}{x})}
On simplifie par x
\frac{4x}{x+1}=\frac{ 4}{1+\frac{1}{x}}\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}4=4 et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}{1+\frac{1}{x}}=1
Par quotient lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ 4}{1+\frac{1}{x}}=4\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{4x}{x+1}=4
lim_{X\to 4}\hspace{0.3cm}\sqrt{X}=\sqrt{4}=2
Par fonction composée, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\sqrt{\frac{4x}{x+1}}=2.
Pour démontrer cette inégalité, on l’écrit en bas et on remonte comme c’est indiqué ci-dessous ( bien respecter l’ordre des étapes écrites dans la colonne de droite en bleu).
sin(x)\leq 1
-2sin(x)\geq -2\\x^2-2sin(x)\geq x^2-2\\f(x)\geq x^2-2
étape n°4 : Je divise par -2 les deux membres de l’inégalité en-dessous.Le sens de l’inégalité change et on tombe sur une inégalité qui est toujours vraie.
étape n°3 : J’enlève x^2 de chaque côté de l’inégalité en-dessous.
étape n°2 : je remplace f(x) par x^2-2sin(x).
étape n°1 : j’écris la conclusion en bas.
On a montré précédemment : f(x)\geq x^2-2.
On applique le théorème suivant :
Si pour tout réel x de I, f(x)\geq g(x) et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}g(x)=+\infty alors lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty
f(x)\geq x^2-2 et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x^2-2=+\infty alors lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty
On a montré précédemment : f(x)\geq x^2-2.
On applique le théorème suivant :
Si pour tout réel x de I, f(x)\geq g(x) et lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}g(x)=+\infty alors lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty
f(x)\geq x^2-2 et lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}x^2-2=+\infty alors lim_{x\to -\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty
On veut montrer que f(x)\leq -x+1
Pour démontrer cette inégalité, on l’écrit en bas et on remonte comme c’est indiqué ci-dessous ( bien respecter l’ordre des étapes écrites dans la colonne de droite en bleu).
cos(x)\leq 1
-x+cos(x)\leq -x+1\\f(x)\leq -x+1
étape n°3 : on ajoute x de chaque côté de l’inégalité en-dessous et on tombe sur un résultat du cours.
étape n°2 : je remplace f(x) par -x+cos(x).
étape n°1 : j’écris la conclusion en bas.
On a montré précédemment : f(x)\leq -x+2.
On applique le théorème suivant :
Si pour tout réel x de I, f(x)\leq g(x) et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}g(x)=-\infty alors lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=-\infty
f(x)\leq -x+2 et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}-x+2=-\infty
alors lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=-\infty
On veut démontrer que x+1\leq f(x)\leq 3x+3 pour x>-1.
Pour démontrer cette inégalité, on l’écrit en bas et on remonte comme c’est indiqué ci-dessous ( bien respecter l’ordre des étapes écrites dans la colonne de droite en bleu).
-1\leq cos(x)\leq 1\\-1+2\leq cos(x)+2\leq1+2\\1\leq cos(x)+2\leq3\\\frac{1}{1}\geq \frac{1}{cos(x)+2} \geq \frac{1}{3}
\frac{3x+3}{1}\geq \frac{3x+3}{cos(x)+2} \geq \frac{3x+3}{3}
x+1\leq \frac{3x+3}{cos(x)+2}\leq 3x+3\\x+1\leq f(x)\leq 3x+3
étape n°3 : J’écris le résultat du cours que je connais sur cos(x)
étape n°4 : J’ajoute 2 de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas.
étape n°5 : Je réduis.
étape n°6 : La fonction inverse est décroissante : nombres et images varient en sens inverse.
étape n°7 : Je multiplie par 3x+3 de chaque côté, le sens de l’inégalité ne change pas car comme x>-1 , 3x+3 est positif. En écrivant l’inégalité dans le sens croissant, on retombe sur l’étape n°2.
étape n°2 : je remplace f(x) par \frac{3x+3}{cos(x)+2}.
étape n°1 : j’écris la conclusion en bas.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x).
Pour cela, on va appliquer le théorème des gendarmes :
Si pour tout réel x de I, f(x)\leq g(x)\leq h(x)
et si lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=lim_{x\to+\infty}\hspace{0.3cm}h(x)=L
alors lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}g(x)=L
On a montré que x+1\leq f(x)\leq 3x+3 pour x>-1.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x=+\infty\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x+1=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}x=+\infty\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}3x=+\infty\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}3x+3=+\infty
D’après le théorème des gendarmes, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}f(x)=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^{x}}{x^5}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e^x=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x^5=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, +\infty /+\infty.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On reconnaît une croissance comparée du cours lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x^n}=+\infty
Par croissance comparée, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^{x}}{x^5}=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x^3-2}{e^{x}}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x^3-2=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e^x=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, +\infty /+\infty.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On peut changer l’écriture de la fonction :
\frac{x^3-2}{e^{x}}=\frac{x^3}{e^{x}}-\frac{2}{e^{x}}
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f/g.
Par croissance comparée, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^{x}}{x^3}=+\infty
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{\frac{e^{x}}{x^3}}=0
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x^3}{e^{x}}=0
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e^x=+\infty\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}-\frac{2}{e^{x}}=0
Par somme, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x^3}{e^{x}}-\frac{2}{e^{x}}=0.
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x^3-2}{e^{x}}=0
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}xe^{1-x^2}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}1-x^2=-\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e^{1-x^2}=0
Le théorème sur le produit ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, +\infty \times 0.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On peut changer l’écriture de la fonction comme c’est conseillé dans l’énoncé.
xe^{1-x^2}=x\times \frac{e^1}{e^{x^2}}\\\hspace{1.05cm}=e\times \frac{x}{e^{x^2}}\\\hspace{1.05cm}=e\times \frac{x}{e^{x^2}}\times \frac{x}{x}\\\hspace{1.05cm}=\frac{e}{x}\times \frac{x^2}{e^{x^2}}
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x=+\infty\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{x}=0\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e}{x}=0
Par croissance comparée, lim_{X\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^{X}}{X}=+\infty\\lim_{X\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{X}{e^{X}}=0
Donc
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x^2}{e^{x^2}}=0
Par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e}{x}\times \frac{x^2}{e^{x^2}}=0.
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}xe^{1-x^2}=0
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^{x}-2x.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est une somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e^x=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}-2x=-\infty
Le théorème sur la somme ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, +\infty -\infty.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On peut changer l’écriture de la fonction en mettant x en facteur pour faire apparaître \frac{e^x}{x} qui tend vers +\infty quand x tend vers +\infty .
e^x-2x=x(\frac{e^x}{x}-2)
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x=+\infty
Par croissance comparée, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^{x}}{x}=+\infty
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^{x}}{x^3}-2=+\infty
Par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x(\frac{e^x}{x}-2)=+\infty
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.3cm}e^{x}-2x=+\infty
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x+e^{-x}.
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les f(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est une somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x=-\infty
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}-x=+\infty
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^{-x}=+\infty
Le théorème sur la somme ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, -\infty +\infty.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On peut changer l’écriture de la fonction en utilisant l’énoncé.
x+e^{-x}=x+\frac{1}{e^{x}}\\\hspace{1cm}=x(1+\frac{1}{xe^{x}})
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x=-\infty
Par croissance comparée, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}xe^{x}=0
En réalité il faut savoir si c’est 0^{+} ou 0^{-} pour poursuivre.
Comme x tend vers -\infty, il est négatif. De plus e^x est toujours positif donc :
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}xe^{x}=0^{-}
Donc lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{xe^x}=-\infty
Et lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}1+\frac{1}{xe^x}=-\infty
Par produit, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x(1+\frac{1}{xe^{x}})=+\infty
Donc lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x+e^{-x}=+\infty
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}xe^{1-x}
Regardons d’abord avec le tableur et la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les f(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les f(x) se rapprochent de 0.
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x=+\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}1-x=-\infty
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e^{1-x}=0
Le théorème sur le produit ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, +\infty \times 0.
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On peut changer l’écriture de la fonction comme c’est conseillé dans l’énoncé.
xe^{1-x}=x\times \frac{e^1}{e^{x}}\\\hspace{1.05cm}=e\times \frac{x}{e^{x}}
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e=e
Par croissance comparée, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{e^{x}}{x}=+\infty\\lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{\frac{e^{x}}{x}}=0
Donc
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{x}{e^{x}}=0
Par produit, lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e\times \frac{x}{e^{x}}=0.
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}xe^{1-x}=0