2.Equations cartésiennes d’une droite.

Méthodes pour déterminer une équation cartésienne d’une droite.

Sommaire

1. Méthodes pour déterminer une équation cartésienne d’une droite.
2. Exercice
3. une page géogébra pour valider les réponses de l’exercice

Exemple n°1 :

Cas où la droite est définie par deux points $A (5;3)$ et $B(-1;6)$

METHODE N°1:

Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite $(AB)$ où $A(5;3)$ et $B(-1;6)$ .

Il s’agit de déterminer une relation du type $ax+by+c=0$ vérifiée par les coordonnées $(x;y)$ d’un point quelconque de la droite $(AB)$ que l’on va nommer $M$ . La figure géométrique suivante traduit la situation qui nous intéresse.

Pour caractériser la situation géométrique ci-dessus, nous allons utiliser trois langages différents : le langage des points et des droites, le langage des vecteurs et celui des coordonnées.

Langage des points et des droites

Langage des vecteurs

Langage des coordonnées

Les trois points $A, B , M$ sont alignés.

Les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AM}$ sont colinéaires.

Les vecteurs $\overrightarrow {BA}$ et $\overrightarrow {BM}$ sont colinéaires.

Les vecteurs $\overrightarrow {MA}$ et $\overrightarrow {MB}$ sont colinéaires.

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AM}$ sont proportionnelles c’est-à-dire que $det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =0$

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow {BA}$ et $\overrightarrow {BM}$ sont proportionnelles c’est-à-dire que $det(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BM}) =0$

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow {MA}$ et $\overrightarrow {MB}$ sont proportionnelles c’est-à-dire que $det(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}) =0$ .

1)On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points $A$ et $B$ ainsi

$\hspace{0.6cm} x_{A}$ $y_{A}$ $\hspace{0.6cm} x_{B}$ $y_{B}$

$\hspace{0.2cm} A(5;3)$ $\hspace{0.4cm} B(-1;6)$

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

$\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-1)-5;6-3)$

$\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-6;3)$

2) On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points $A$ et $M$ ainsi

$\hspace{0.6cm} x_{A}$ $y_{A}$ $\hspace{0.6cm} x_{M}$ $y_{M}$

$\hspace{0.2cm} A(5;3)$ $\hspace{0.4cm} M(x;y)$

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})$

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

$\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-5;y-3)$

3) Je calcule le déterminant des deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$

J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.

$det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =-6y+18-3x+15$

Je réduis la somme en ajoutant 18 et 15

$det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}) =-6y-3x+33$

4) J’écris une équation cartésienne de la droite $(AB)$

Comme le déterminant des deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ est nul alors $-6y-3x+33=0$ . On prend soin de réécrire l’égalité en placant les x avant les y.

la droite $(AB)$ admet $-3x-6y+33=0$ pour équation cartésienne.

METHODE N°2 :

Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par $A (5;3)$ et $B (-1;6)$ .

Il s’agit de déterminer une relation du type $ax+by+c=0$ .

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points $A$ et $B$ ainsi

$\hspace{0.6cm} x_{A}$ $y_{A}$ $\hspace{0.6cm} x_{B}$ $y_{B}$

$\hspace{0.2cm} A(5;3)$ $\hspace{0.4cm} B(-1;6)$

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB} (x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

$\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} ((-1)-5;6-3)$

$\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AB} (-6;3)$

le vecteur $\overrightarrow{AB} (-6;3)$ est un vecteur directeur de $D$ .

On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées $(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite $D$ d’équation $ax+by+c=0$ .

Donc ici $-b=-6$ et $a=3$ .

Ou encore $b=6$ et $a=3$ .

Donc une équation cartésienne de $D$ est de la forme $3x+6y+c=0$ .

Pour déterminer $c$ , il suffit de remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point $A$ c’est-à-dire $5$ et $3$ .

${3}\times{5}+{6}\times{3}+c=0$

On résout l’équation dont l’inconnue est $c$ .

$15+18+c=0\\33+c=0\\c=-33$

Une équation de la droite $D$ est $3x+6y-33=0$ .

Remarque avec la méthode n°1, on obtient $-3x-6y+33=0$ . Il s’agit bien sûr de la même droite $D$ qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici $-1$ .

Vérification à l’aide de Géogébra.

Placer le point $A$

Cliquer sur le deuxième onglet en haut à droite et sélectionner Point dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur le point de coordonnées $(5;3)$ .

Placer le point $B$

Cliquer sur le deuxième onglet en haut à droite et sélectionner Point dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur le point de coordonnées $(-1;6)$ .

Tracer la droite $(AB)$

Cliquer sur le troisième onglet en haut à droite et sélectionner Droite dans le menu déroulant. Cliquer dans le repère sur les points $A$ et $B$ . Une équation de la droite $(AB)$ apparaît dans la colonne de gauche, cliquer droit sur l’équation et choisir l’équation $ax+by+c=0$ .

Exemple n°2:

Cas où la droite D passe par un point $A (3;1)$ et admet $\overrightarrow{u}(2;1)$ pour vecteur directeur.

METHODE N°1:

Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D passant par un point $A (3;1)$ et admettant $\overrightarrow{u}(2;1)$ pour vecteur directeur.

Il s’agit de déterminer une relation du type $ax+by+c=0$ vérifiée par les coordonnées $(x;y)$ d’un point quelconque de la droite $D$ que l’on va nommer $M$ . La figure géométrique suivante traduit la situation qui nous intéresse.

Langage des points et des droites

Langage des vecteurs

Langage des coordonnées

M est situé sur la droite D

Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.

$det(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AM}) = 0$

1) On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points $A$ et $M$ ainsi

$\hspace{0.6cm} x_{A}$ $y_{A}$ $\hspace{0.6cm} x_{M}$ $y_{M}$

$\hspace{0.2cm} A(3;1)$ $\hspace{0.4cm} M(x;y)$

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})$

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

$\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-3;y-1)$

2) Je calcule le déterminant des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$

J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.

$det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =2y-2-x+3$

Je réduis la somme en ajoutant -2 et 3

$det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =2y-x+1$

3) J’écris une équation cartésienne de la droite $D$

Comme le déterminant des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ est nul alors $2y-x+1=0$ . On prend soin de réécrire l’égalité en placant les $x$ avant les $y$ .

la droite $D$ admet $-x+2y+1=0$ pour équation cartésienne.

METHODE N°2:

Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point $A (3;1)$ et qui admet $\overrightarrow{u}(2;1)$ pour vecteur directeur.

Il s’agit de déterminer une relation du type $ax+by+c=0$ .

Comme $\overrightarrow{u}(2;1)$ est un vecteur directeur de $D$ ,l’équation de $D$ est de la forme

On sait , d’après le cours , que le vecteur de coordonnées $(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite $D$ d’équation $ax+by+c=0$ .

Donc ici $-b=2$ et $a=1$ .

Ou encore $b=-2$ et $a=1$ .

L’équation de $D$ est de la forme : $x-2y+c=0$ .

Pour déterminer $c$ , il suffit de remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point $A$ c’est-à-dire $3$ et $1$ .

$3-{2}\times{1}+c=0$

On résout l’équation dont l’inconnue est $c$ .

$3-2+c=0\\1+c=0\\c=-1$

Une équation de la droite $D$ est $x-2y-1=0$ .

Remarque avec la méthode n°1, on obtient $-x+2y+1=0$ . Il s’agit bien sûr de la même droite $D$ qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici $-1$ .

Exemple n°3:

Cas où la droite D passe par $A (3;5)$ et est parallèle à la droite $d'$ d’équation $2x-4y+1=0$ .

METHODE N°1 :

Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D passe par un point $A (3;5)$ et est parallèle à la droite $d'$ d’équation $2x-4y+1=0$ .

Langage des points et des droites

Langage des vecteurs

Langage des coordonnées

M est situé sur la droite D

Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ de $d'$ sont colinéaires.

$det(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AM}) = 0$

1) On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$

On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points $A$ et $M$ ainsi

$\hspace{0.6cm} x_{A}$ $y_{A}$ $\hspace{0.6cm} x_{M}$ $y_{M}$

$\hspace{0.2cm} A(3;5)$ $\hspace{0.4cm} M(x;y)$

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM} (x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})$

Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.

$\hspace{4.5cm}\overrightarrow{AM} (x-3;y-5)$

2) Je détermine les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ qui est un vecteur directeur de la droite $d'$ en utilisant la propriété suivante :

Si $D$ admet pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors elle admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées $(-b;a)$

$d'$ a pour équation cartésienne $2x-4y+1=0$ donc son vecteur directeur a pour coordonnées $(4;2)$ .

Comme les droites $D$ et $d'$ sont parallèles, elles ont même vecteur directeur, donc $\overrightarrow{u}(4;2)$ est un vecteur directeur de $D$

3) je calcule le déterminant des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$

J’utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour développer les deux produits.

$det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =4y-20-2x+6$

Je réduis la somme en ajoutant -20 et 6

$det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AM}) =4y-2x-14$

3) J’écris une équation cartésienne de la droite $D$

Comme le déterminant des deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ est nul alors $4y-2x+14=0$ . On prend soin de réécrire l’égalité en placant les $x$ avant les $y$ .

la droite $D$ admet $-2x+4y+14=0$ pour équation cartésienne.

METHODE N°2 :

Déterminer par le calcul une équation cartésienne de la droite D qui passe par un point $A (3;5)$ et qui est parallèle à la droite $d'$ d’équation $2x-4y+1 =0$ .

Il s’agit de déterminer une relation du type $ax+by+c=0$ .

Comme $D$ et $d'$ sont parallèles , elles ont même vecteur directeur. Ainsi l’équation de $D$ débute comme celle de $d'$ .

L’équation de $D$ est de la forme : $2x-4y+c=0$ .

Pour déterminer $c$ , il suffit de remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point $A$ c’est-à-dire $3$ et $5$ .

${2}\times{3}-{4}\times{5}+c=0$

On résout l’équation dont l’inconnue est $c$ .

$6-20+c=0\\-14+c=0\\c=14$

Une équation de la droite $D$ est $2x-4y+14=0$ .

Remarque avec la méthode n°1, on obtient $-2x+4y-14=0$ . Il s’agit bien sûr de la même droite $D$ qui possède plusieurs équations cartésiennes qui se déduisent toutes les unes des autres en multipliant par un nombre ici $-1$ .

Exercice

Déterminer une équation cartésienne de la droite D dans chaque cas. Vous pourrez conjecturer ou vérifier vos résultats à l’aide de la page Géogébra située après l’exercice.

1) La droite D passe par $A (2;0)$ et par $B (-3;1)$

Aide

correction méthode 1

correction méthode 2

2) La droite D passe par $A (-1;0)$ et par $C (-2;2)$

Aide

correction méthode 1

correction méthode 2

3) La droite D passe par $B (2;5)$ et par $C (2;3)$

Aide

correction méthode 1

correction méthode 2

4) La droite D passe par $A (0;4)$ et par $B (-1;4)$

Aide

correction méthode 1

correction méthode 2

5) La droite D passe par un point $A (2;-1)$ et admet $\overrightarrow{u}(1;1)$ pour vecteur directeur.

Aide

correction méthode 1

correction méthode 2

6) La droite D passe par un point $A (\frac{2}{5};1)$ et admet $\overrightarrow{u}(\frac{1}{2};3)$ pour vecteur directeur.

Aide

correction méthode1

correction méthode2

7) La droite D passe par un point $B(-1;3)$ et admet $\overrightarrow{u}(3;-2)$ pour vecteur directeur.

Aide

correction méthode1

correction méthode2

8) D passe par un point $A (-2;5)$ et est parallèle à la droite $d'$ d’équation $3x-2y+1=0$ .

Aide

correction méthode1

correction méthode2

9) D passe par un point $A (4;\frac{2}{3})$ et est parallèle à la droite $d'$ d’équation $4x+y-2=0$

Aide

correction méthode1

correction méthode2

une page géogébra pour valider les réponses de l’exercice

Remarque : quand vous avez tracé la droite, cliquez droit sur droite(B,A) dans la colonne de gauche et sélectionner dans le menu déroulant Equation ax+by +c=0