Sommaire
Caractérisation d’un plan de l’espace par un point et une direction
Vocabulaire
Pour définir un plan, il faut un point et deux vecteurs non colinéaires.
On note (A;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}) le plan contenant le point A et dont le couple (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) est un couple de vecteurs non colinéaires
Propriété
P est le plan (A;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}).
Un point M appartient au plan P si, et seulement si, il existe des réels x et y tels que \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}.
Vecteurs coplanaires
Propriété
Dire que \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires signifie que pour un point O quelconque de l’espace les points O, A, B, C où \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u} , \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v} et \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{w} appartiennent à un même plan.
Un point M appartient au plan P si, et seulement si, il existe des réels x et y tels que \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}.
Propriété
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont des vecteurs de l’espace tels que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne soient pas colinéaires.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires si, et seulement si, il existe des réels x et y tels que \overrightarrow{w}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}.
Exercice n°1
ABCD est un tétraèdre.
Les points I , J , K et L sont les milieux respectifs des arêtes [AB] , [AC] , [AD] et [CD] .
1.a. Justifier que \overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} et que \overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
1.b. En déduire que \overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.
2. Justifier que \overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.
3. En déduire que les \overrightarrow{IJ} ,\overrightarrow{KL} et \overrightarrow{AB} sont coplanaires.
Positions relatives de droites et de plans dans l’espace.
P est un plan de direction \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} et d est une droite de direction \overrightarrow{w}.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont coplanaires donc d et P sont parallèles.
\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont pas coplanaires.
d est strictement parallèle à P.
d est contenue dans P.
d et P sont sécants en M.
P et P' sont deux plans.
P et P' sont parallèles.
P et P' n’ont pas la même direction.
P est strictement parallèle à P'.
P et P' sont confondus.
P et P' sont sécants suivant une droite d.
Exercice n°2
ABCDEFGH est un cube.
Les points I et J sont les milieux de [AD] et [BC].
Préciser la position des plans ci-dessous.
Pour tracer, par exemple, le plan (AIE) avec géogébra : cliquer sur le huitième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Plan passant par trois points dans le menu déroulant. Ensuite dans le repère, cliquer sur les trois points A,I,E.
a. (AIE) et (DIC).
b. (AIB) et (DJC).
c. (AIB) et (HGF).
Exercice n°3
ABCDEFGH est un cube.
Les points I\in[HG], J\in[EF]et K\in[GC].
L’objectif est de tracer la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK).
1. tracer la droite d’intersection de la face EFGH par le plan (IJK) en justifiant.
2. tracer la droite d’intersection de la face CDHG par le plan (IJK) en justifiant.
3. tracer la droite d’intersection de la face ABFE par le plan (IJK) en justifiant.
4. tracer la droite d’intersection de la face BCGF par le plan (IJK) en justifiant.
5. répondre à la question posée dans l’exercice.
Exercice n°4
ABCDEFGH est un cube.
Les points I\in[HG], J\in[DC]et K\in[DA].
L’objectif est de tracer la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK).
1. tracer la droite d’intersection de la face ABCD par le plan (IJK) en justifiant.
2. tracer la droite d’intersection de la face DCGH par le plan (IJK) en justifiant.
3. tracer la droite d’intersection de la face EFGH par le plan (IJK) en justifiant.
4. tracer la droite d’intersection de la face AEHD par le plan (IJK) en justifiant.
5. répondre à la question posée dans l’exercice.
Exercice n°5
ABCDEFGH est un cube.
Les points I\in[HG], J\in[EF]et K\in[GC].
L’objectif est de tracer la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK).
1. a.tracer la droite d’intersection du plan (ABC) par le plan (IJK) en justifiant.
b. placer L le point d’intersection des droites (BC) et (KJ).
2.a. tracer la droite d’intersection du plan (BCF) et du plan (IJK) en justifiant.
2.b. En déduire l’intersection de la face BCFG et du plan (IJK) en justifiant.
3. tracer la droite d’intersection de la face DCGH par le plan (IJK) en justifiant.
4. tracer la droite d’intersection de la face EFGH par le plan (IJK) en justifiant.
5. tracer la droite d’intersection de la face ABFE par le plan (IJK) en justifiant.
6. répondre à la question posée dans l’exercice.
I est le milieu de [AB] donc
\overrightarrow{IA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\\\hspace{0.6cm}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\J est le milieu de [AC] donc
\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
On veut déduire des questions précédentes que \overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
On veut exprimer le vecteur \overrightarrow{IJ} en fonction des vecteurs ne comportant que les points A,B,C. Il faut faire disparaître les points I et J .On a montré précédemment que \overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} et que \overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} on va utiliser la relation de Chasles avec le point A.
\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}
De cette façon, on peut remplacer \overrightarrow{IA} par -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AJ} par \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{IJ}= -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+ \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
On veut montrer que \overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.
K est le milieu de [DA] et L est le milieu de [DC] donc, d’après le théorème des milieux dans le triangle ADC,
\overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
Pour montrer que \overrightarrow{IJ} ,\overrightarrow{KL} et \overrightarrow{AB} sont coplanaires, on va montrer que l’un est combinaison linéaire des deux autres.
On a montré précédemment que
\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} et que \overrightarrow{KL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
Il suffit de remplacer \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} par \overrightarrow{KL} dans \overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} et le tour est joué.
\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{KL}
Donc \overrightarrow{IJ} est une combinaison linéaire des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{KL}.
Ainsi \overrightarrow{IJ} ,\overrightarrow{KL} et \overrightarrow{AB} sont coplanaires,
En construisant les deux plans (AIE) et (DIC) avec Géogébra, on constate qu’ils sont sécants. La droite d’intersection est la droite (AD).
Pour déterminer l’intersection de deux plans, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour le plan (AIE) , une colonne pour le plan (DIC). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites contenus dans chaque plan en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs aux deux plans pour déterminer l’intersection éventuelle des deux plans.
(AIE)
(DIC)
Les trois points du plan : A, I, E
Les trois droites du plan : (AI), (AE) et (IE)
D’autres points situés sur les droites précédentes :
D \in (AI)
Les trois points du plan : D, I, C
Les trois droites du plan (DI), (DC) et (IC).
D’autres points situés sur les droites précédentes :
A \in (DI)
On a trouvé trois points communs qui sont alignés.
Les points A , I , D appartiennent à la fois aux plans (AIE) et (DIC).
Donc les deux plans (AIE) et (DIC) sont sécants suivant la droite (AD).
En construisant les deux plans (AIB) et (DJC) avec Géogébra, on constate qu’ils sont confondus.
Pour déterminer l’intersection de deux plans, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour le plan (AIB) , une colonne pour le plan (DJC). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites contenus dans chaque plan en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs aux deux plans pour déterminer l’intersection éventuelle des deux plans.
(AIB)
(DJC)
Les trois points du plan : A, I,B
Les trois droites du plan : (AI), (AB) et (IB)
D’autres points situés sur les droites précédentes :
D \in (AI)
Les trois points du plan : D, J, C
Les trois droites du plan (DJ), (DC) et (JC).
D’autres points situés sur les droites précédentes :
B \in (JC)\\(DA)\parallel (JC) donc A \in (DJC)
On a trouvé trois points communs non alignés.
Les points A , B D appartiennent à la fois aux plans (AIB) et (DJC).
Donc les deux plans (AIE) et (DIC) sont confondus.
En construisant les deux plans (AIB) et (HGF) avec Géogébra, on constate qu’ils sont parallèles.
Pour déterminer l’intersection de deux plans, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour le plan (AIB) , une colonne pour le plan (HGF). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites contenus dans chaque plan en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs aux deux plans pour déterminer l’intersection éventuelle des deux plans.
(AIB)
(HGF)
Les trois points du plan : A, I,B
Les trois droites du plan : (AI), (AB) et (IB)
Les trois points du plan : H, G, F
Les trois droites du plan (HG), (HF) et (GF).
Il n’y a pas de point commun.
Les deux plans (AIB) et (HGF) sont strictement parallèles.
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face EFGH , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
EFGH
(IJK)
Les quatre points de la face : E, F, G et H
Les segments [EF], [EG], [EH], [FG],[FH] et [GH].
D’autres points situés sur les segments précédents :
I \in [GH] et J \in [EF]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé deux points communs.
Les points I et J appartiennent à la fois à la face EFGH et au plan (IJK).
Donc le plan (IJK) coupe la face EFGH suivant le segment [IJ].
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face CDHG , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
CDHG
(IJK)
Les quatre points de la face : C, D, H et G
Les segments [CD], [CH], [CG], [DH],[DG] et [HG].
D’autres points situés sur les segments précédents :
I \in [HG] et K \in [CG]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé deux points communs.
Les points I et K appartiennent à la fois à la face CDHG et au plan (IJK).
Donc le plan (IJK) coupe la face CDHG suivant le segment [IK].
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face ABFE , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
ABFE
(IJK)
Les quatre points de la face : A, B, F et E
Les segments [AB], [AF], [AE], [BF],[BE] et [FE].
D’autres points situés sur les segments précédents :
J \in [FE]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé un point commun J.
La face ABFE est parallèle à la face DCGH.
Donc le plan (IJK) coupe ces deux faces suivants deux segments parallèles.
On note L le point situé sur la droite parallèle à (IK) passant par J et sur le segment [FB].
Donc le plan (IJK) coupe la face ABFE suivant le segment [JL].
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face BCGF , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
BCGF
(IJK)
Les quatre points de la face : B, C, G et F
Les segments [BC], [BG], [BF], [CG],[CF] et [GF].
D’autres points situés sur les segments précédents :
L \in [BF] et K \in [GC]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
L le point obtenu à la question précédente.
On a trouvé deux points communs.
Les points L et K appartiennent à la fois à la face BCGF et au plan (IJK).
Donc le plan (IJK) coupe la face BCGF suivant le segment [LK].
Sur la figure ci-contre, on voit clairement que le plan (IJK) coupe le cube suivant le polygone IJLK.
De plus dans les questions précédentes, on a justifié les intersections avec les faces.
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face ABCD , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
ABCD
(IJK)
Les quatre points de la face : A, B, C et D
Les segments [AB], [AC], [AD], [BC],[BD] et [CD].
D’autres points situés sur les segments précédents :
K \in [AD] et J \in [DC]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé deux points communs.
Les points K et J appartiennent à la fois à la face ABCD et au plan (IJK).
Donc le plan (IJK) coupe la face ABCD suivant le segment [JK].
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face DCGH , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
DCGH
(IJK)
Les quatre points de la face : D, C, G et H
Les segments [DC], [DG], [DH], [CG],[CH] et [GH].
D’autres points situés sur les segments précédents
I \in [HG] et J \in [DC]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé deux points communs.
Les points I et J appartiennent à la fois à la face DCGH et au plan (IJK).
Donc le plan (IJK) coupe la face DCGH suivant le segment [IJ].
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face EFGH , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
EFGH
(IJK)
Les quatre points de la face : E, F, G et H
Les segments [EF], [EG], [EH], [FG],[FH] et [GH].
D’autres points situés sur les segments précédents :
I \in [GH]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé un point commun I.
La face EFGH est parallèle à la face ABCD.
Donc le plan (IJK) coupe ces deux faces suivants deux segments parallèles.
On note L le point situé sur la droite parallèle à (JK) passant par I et sur le segment [EH].
Donc le plan (IJK) coupe la face EFGH suivant le segment [IL].
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face ABFE , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
ABFE
(IJK)
Les quatre points de la face : A, B, F et E
Les segments [AB], [AF], [AE], [BF],[BE] et [FE].
D’autres points situés sur les segments précédents :
J \in [FE]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé un point commun J.
La face ABFE est parallèle à la face DCGH.
Donc le plan (IJK) coupe ces deux faces suivants deux segments parallèles.
On note L le point situé sur la droite parallèle à (IK) passant par J et sur le segment [FB].
Donc le plan (IJK) coupe la face ABFE suivant le segment [JL].
Sur la figure ci-contre, on voit clairement que le plan (IJK) coupe le cube suivant le polygone IJLK.
De plus dans les questions précédentes, on a justifié les intersections avec les faces.
Pour déterminer l’intersection de deux plans, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour le plan (ABC) , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites contenues dans chaque plan en observant la figure. On cherchera ensuite les points communs aux deux plans pour déterminer l’intersection éventuelle des deux plans.
(ABC)
(IJK)
Les quatre points de la face : A, B, C et D
Les droites (AB), (AC), (AD), (BC),(BD) et (CD).
D’autres points situés sur les droites précédentes :
K \in (AB) et J \in (DC)
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé deux points communs.
Les points K et J appartiennent à la fois au plan (ABC) et au plan (IJK).
Donc le plan (IJK) coupe le plan (ABC) suivant la droite (JK).
Pour déterminer l’intersection de deux plans, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour le plan (BCF) , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites contenus dans chaque plan en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs aux deux plans pour déterminer l’intersection éventuelle des deux plans.
(BCF)
(IJK)
Les quatre points de la face BCGF : B, C, G et F
Les droites du plan : (BC), (BG), (BF), (CG), (CF), (GF)
D’autres points situés sur les droites précédentes :
L \in (BC) et I \in (GC)
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
D’autres points situés sur les droites précédentes :
L \in (JK)
On a trouvé deux points communs.
Les points I et L appartiennent à la fois aux plans (BCF) et (IJK).
Donc les deux plans (BCF) et (IJK) sont sécants suivant la droite (IL).
On note M le point d’intersection de la droite (IL) avec le segment [FG].
L’ intersection du plan (IJK) et de la face BCGF sera le segment [MI].
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face DCGH , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
DCGH
(IJK)
Les quatre points de la face : D, C, G et H
Les segments [DC], [DG], [DH], [CG],[CH] et [GH].
D’autres points situés sur les segments précédents
I \in [CG] et J \in [DC]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
On a trouvé deux points communs.
Les points I et J appartiennent à la fois à la face DCGH et au plan (IJK).
Donc le plan (IJK) coupe la face DCGH suivant le segment [JI].
Pour déterminer l’intersection d’une face et d’un plan, on détermine leurs points d’intersection éventuels. Pour cela, on prépare un tableau à deux colonnes. Une colonne pour la face ABFE , une colonne pour le plan (IJK). L’idée est de compléter le tableau en indiquant dans chaque colonne tous les points et, si nécessaire, les droites ou segments contenus dans chaque plan ou face en observant la figure.. On cherchera ensuite les points communs à la face et au plan pour déterminer l’intersection éventuelle de la face et du plan.
ABFE
(IJK)
Les quatre points de la face : A, B, F et E
Les segments [AB], [AF], [AE], [BF],[BE] et [FE].
D’autres points situés sur les segments précédents :
N \in [FE] et K \in [AB]
Les trois points du plan : I, J, K
Les trois droites du plan (IJ), (IK) et (JK).
N \in (IJK) (d’après la question précédente).
On a trouvé deux points communs.
Les points N et K appartiennent à la fois à la face ABFE et au plan (IJK).
Donc le plan (IJK) coupe la face ABFE suivant le segment [NK].
Sur la figure ci-contre, on voit clairement que le plan (IJK) coupe le cube suivant le polygone IJKNM.
De plus dans les questions précédentes, on a justifié les intersections avec les faces.
