Sommaire
Rappels de première
On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions de référence sur leurs ensembles de définition.
On a ajouté la fonction logarithme népérien qu’on étudiera en cours d’année.
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions sur leurs ensembles de définition
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Exercice n°1 : calculer des dérivées comme en première.
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= x^3-2x^2+5 pour x\in \mathbf{R}
2. f(x)= 5x^2-2x+\sqrt{5} pour x\in \mathbf{R}
3. f(x)= \frac{3}{x-1} pour x\in \mathbf{R} privé de 1
4. f(x)= 8\sqrt{x} pour x\in ]0;+\infty[
5. f(x)= x^2\sqrt{x} pour x\in ]0;+\infty[
6. f(x)= x^3e^x pour x\in \mathbf{R}
7. f(x)= \frac{2x-1}{x-2} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
8. f(x)= \frac{3x-4}{x^2-1} pour x\in \mathbf{R} privé de -1 et de 1
Compléments de terminale
Définition d’une fonction composée.
Soient u et v deux fonctions définies sur I et J.
La fonction composée v\circ u est définie par v\circ u ( x)=v(u(x)).
L’ensemble de définition de v\circ u est l’ensemble des réels x tels que x \in I et u(x) \in J.
Exercice n°2 : composer des fonctions.
Soient u définie sur \mathbf{R} par u(x)=2x-4, v définie sur [0;+\infty[ par v(x)=\sqrt{x} et
w définie sur ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ par w(x)=\frac{1}{x}.
- Préciser l’ensemble de définition de la fonction v\circ u et déterminer v\circ u(x) en fonction de x
2. Préciser l’ensemble de définition de la fonction u\circ v et déterminer u\circ v(x) en fonction de x
3. Préciser l’ensemble de définition de la fonction u\circ w et déterminer u\circ w(x) en fonction de x
4. Préciser l’ensemble de définition de la fonction w\circ u et déterminer w\circ u(x) en fonction de x
5. Préciser l’ensemble de définition de la fonction v\circ w et déterminer v\circ w(x) en fonction de x
6. Préciser l’ensemble de définition de la fonction w\circ v et déterminer w\circ v(x) en fonction de x
Exercice n°3 : décomposer des fonctions.
Décomposer chacune des fonctions suivantes sous la forme v\circ u où u et v sont des fonctions de référence.
- f(x)=2x^2-3.
2. f(x)=e^{2x+1}.
3.f(x)=\frac{1}{2x+6}.
4.f(x)=5\sqrt{x}-10.
5.f(x)=(2x-4)^2.
6.f(x)=-3e^x-4.
Dérivée d’une fonction composée.
Soient u une fonction dérivable sur I et v une fonction dérivable sur J telles que x \in I et u(x) \in J.
La fonction v\circ u est dérivable et on a ( v\circ u)'(x)= (v'\circ u)\times u'.
Exercice n°4 : dériver la composée de deux fonctions.
En utilisant les décompositions obtenues à l’exercice n°3, calculer f'(x)dans chaque cas à l’aide de la propriété précédente.
1. f(x)=e^{2x+1}.
2.f(x)=\frac{1}{2x+6}.
3.f(x)=\sqrt{5x-10}.
4.f(x)=(2x-4)^2.
Cas particuliers de fonctions composées.
- La fonction f définie sur I par f(x)=e^{u(x)} est dérivable sur I et f'(x)=u'(x)e^{u(x)}
- La fonction f définie sur I par f(x)=u^2(x) est dérivable sur I et f'(x)=2u'(x)u^2(x)
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
Exercice n°5
En utilisant (v\circ u)'= (v'\circ u)\times u' , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= \sqrt{6x-12} pour x\in [2;+\infty[
2. f(x)= (2x+5)^7 pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°6
En utilisant (u^2)'= 2u'u , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= (2x-1)^2 pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= (e^x+x)^2 pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°7
En utilisant (u^3)'= 3u'u , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= (2x^2-x)^3 pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= (\sqrt(x))^3 pour x\in ]0;+\infty[
Exercice n°8
En utilisant (\frac{1}{u})'= -\frac{u'}{u^2} , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=\frac{1}{x^2} pour x\in ]0;+\infty[
2.f(x)= \frac{1}{e^x+x^2} pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°9
En utilisant (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}} , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=\sqrt{1-x^2} pour x\in ]-1;1[
2.f(x)= \sqrt{2x-6} pour x\in ]3;+\infty[
Exercice n°10
En utilisant (sin(u))'=u'cos(u) , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=sin(2x+\pi) pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= sin(2\pi-x) pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°11
En utilisant (cos(u))'=-u'sin(u) , calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=cos(-x+\pi) pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= cos(2x+\pi) pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°12
En utilisant ( \frac{1}{u^{n}(x)})'(x)= -\frac{nu'(x)}{u^{n+1}(x)} , calculer f'(x) dans chaque cas
- f(x)=\frac{1}{(3x-1)^3} pour x\in ]\frac{1}{3};+\infty[
2.f(x)= \frac{1}{(-x^2+1)^4} pour x\in ]-1;1[
Exercice n°13
En utilisant (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}} , calculer f'(x) dans chaque cas
- f(x)= e^{x^2-6} pour x\in \mathbf{R}
2. f(x)= e^{\sqrt{x}} pour x\in [0;+\infty[
Pour valider vos calculs de dérivées précédents avec l’application Calcul Formel de Géogébra
saisir, par exemple f(x)= x^3-2x^2+5 sur la ligne 1 puis cliquer sur le neuvième onglet
f’. Apparaît alors à l’écran Dérivée: f'(x)= 3x^2-4x
f(x)= x^3-2x^2+5 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^3 , -2x^2 et 5.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^3 , -2x^2 et 5 en utilisant le tableau n°2 ci-dessous
Dérivées des fonctions de référence
La dernière ligne concerne une fonction qu’on étudiera en Terminale.
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
(x^3)'=3x^2 d’après la formule de la ligne cube du tableau n°2.
(-2x^2)'=-2(x^2)' d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x^2)'=2x d’après la 3ème formule du tableau n°2.
Donc (-2x^2)'=-2\times 2x=-4x
5'=0 d’après la 1ème formule du tableau n°2.
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x^3-2x^2+5)'\\f'(x)= (x^3)'-(2x^2)'+(5)'\\f'(x)= 3x^2-4x
f(x)= 5x^2-2x+\sqrt{5} pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
5x^2 , -2x et \sqrt{5}.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 5x^2 , -2x et \sqrt{5} en utilisant le tableau n°2 ci-dessous et éventuellement le n°1.
Dérivées des fonctions de référence
La dernière ligne concerne une fonction qu’on étudiera en Terminale.
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
(5x^2)'=5(x^2)' d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x^2)'=2x d’après la 3ème formule du tableau n°2.
Donc (5x^2)'=5\times 2x=10x
(-2x)'=-2(x)' d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x)'=1 d’après la 2ème formule du tableau n°2.
Donc (-2x)'=-2\times 1=-2
\sqrt{5}'=0 d’après la 1ème formule du tableau n°2.
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (5x^2-2x+\sqrt 5)'\\f'(x)= (5x^2)'-(2x)'+(\sqrt5)'\\f'(x)= 10x-2
f(x)= \frac{3}{x-1} pour x\in \mathbf{R} privé de 1
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit d’un réel par une fonction avec k=3 et u(x)=\frac{1}{x-1}.
On va utiliser la ligne n°2 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
On répond à la question suivante : u(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est l’inverse d’une fonction avec v(x)=x-1. On va utiliser la 4ème ligne du tableau n°1.
On calcule v'(x)=(x)'-(1)'=1-0=1.
Puis pour calculer u'(x), on remplace v(x) par x-1 et v'(x) par 1 dans -\frac{v'}{v^2}.
Ainsi u'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace k par 3 et u'(x) par -\frac{1}{(x-1)^2} dans la formule k\times u'
f'(x)=3\times{(-\frac{1}{(x-1)^2})}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{3}{x-1})'\\f'(x)=3\times{(\frac{1}{(x-1)})'} \\f'(x)=3\times{(-\frac{1}{(x-1)^2})} \\f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}
f(x)= 8\sqrt{x} pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit d’un réel par une fonction k\times u avec k=8 et u(x)=\sqrt{x}.
On va utiliser la ligne n°2 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
C’est une fonction de référence, on utilise la 6ème ligne du tableau n°2 ci-dessous
Dérivées des fonctions de référence
La dernière ligne concerne une fonction qu’on étudiera en Terminale.
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
Ainsi u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace k par 8 et u'(x) par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule k\times u'
f'(x)=8\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (8\sqrt{x})'\\f'(x)=8\times{\sqrt{x}'} \\f'(x)=8\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=\frac{8}{2\sqrt{x}} \\f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}
f(x)= x^2\sqrt{x} pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x^2 et v(x)=\sqrt{x}.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x^2 est une fonction de référence, on utilise la 3ème ligne du tableau n°2 ci-dessous
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=\sqrt{x}est une fonction de référence, on utilise la 7ème ligne du tableau n°2 ci-dessous
Dérivées des fonctions de référence
La dernière ligne concerne une fonction qu’on étudiera en Terminale.
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
Ainsi u'(x)=2x
Ainsi v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x^2, v par \sqrt{x}, u' par 2x et v' par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=2x\times{\sqrt{x}}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x^2\sqrt{x})'\\f'(x)=(x^2)'\times{\sqrt{x}}+x^2\times{\sqrt{x}'} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
On peut simplifier le deuxième terme de la somme par \sqrt{x}
f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{x}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{\sqrt{x}^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{\sqrt{x}}\times{\frac{1}{2}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x\sqrt{x}}{2}
On peut mettre au même dénominateur, ici 2
f'(x)={2x\sqrt{x}}\times{\frac{2}{2}}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{{2x\sqrt{x}}\times 2}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{4x\sqrt{x}}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{5x\sqrt{x}}{2}
f(x)= x^3e^x pour x\in \mathbf{R}
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x^3 et v(x)=e^x.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x^3 est une fonction de référence, on utilise la 4ème ligne du tableau n°2 ci-dessous.
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=e^xest une fonction de référence, on utilise la 8ème ligne du tableau n°2 ci-dessous
Dérivées des fonctions de référence
La dernière ligne concerne une fonction qu’on étudiera en Terminale.
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
Ainsi u'(x)=3x^2
Ainsi v'(x)=e^x
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x^3, v par e^x, u' par 3x^2 et v' par e^x dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=3x^2\times{e^x}+{x^3}\times{e^x}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x^3e^x)'\\f'(x)=(x^3)'\times{e^x}+x^3\times{e^x'} \\f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x
On peut mettre e^x en facteur
f'(x)=e^x(3x^2+x^3)
f(x)= \frac{2x-1}{x-2} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=2x-1 et v(x)=x-2.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2x-1 est une est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(2x-1)'
u'(x)=(2x)'-(1)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (2x)' par 2(x)'
u'(x)=2(x)'-(1)'
On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=2\times1+0
u'(x)=2
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x-2 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x-2)'
v'(x)=(x)'-(2)'
On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=1-0
v'(x)=1
Dérivées des fonctions de référence
La dernière ligne concerne une fonction qu’on étudiera en Terminale.
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 2x-1, v par x-2, u' par 2 et v' par 1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
f'(x)=\frac{2\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{1}}{(x-2)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{2x-1}{x-2})'\\f'(x)=\frac{(2x-1)'\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{(x-2)'}}{(x-2)^2}\\f'(x)=\frac{2\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{1}}{(x-2)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x-4-(2x-1)}{(x-2)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x-4-2x+1}{(x-2)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=-\frac{3}{(x-2)^2}
f(x)= \frac{3x-4}{x^2-1} pour x\in \mathbf{R} privé de -1 et 1
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=3x-4 et v(x)=x^2-1.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=3x-4 est une est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(3x-4)'
u'(x)=(3x)'-(4)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (3x)' par 3(x)'
u'(x)=3(x)'-(4)'
On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=3\times1+0
u'(x)=3
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x^2-1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x^2-1)'
v'(x)=(x^2)'-(1)'
On utilise les lignes 2 et 3 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=2x-0
v'(x)=2x
Dérivées des fonctions de référence
La dernière ligne concerne une fonction qu’on étudiera en Terminale.
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 3x-4, v par x^2-1, u' par 3 et v' par 2x dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{3x-4}{x^2-1})'\\f'(x)=\frac{(3x-4)'\times{(x^2-1)}-{(3x-4)}\times{(x^2-1)'}}{(x^2-1)^2}\\f'(x)=\frac{3\times{(x^2-1)}-{(3x-4)}\times{2x}}{(x^2-1)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{3x^2-3-(6x^2-8x)}{(x-2)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{3x^2-3-6x^2+8x}{(x^2-1)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=\frac{-3x^2+8x-3}{(x^2-1)^2}
Soient u définie sur \mathbf{R} par u(x)=2x-4, v définie sur [0;+\infty[ par v(x)=\sqrt{x}.
- On précise l’ensemble de définition de la fonction v\circ u.
Il faut que x soit dans l’ensemble de définition de u c’est-à-dire x\in \mathbf{R}.
Et que u(x) soit dans l’ensemble de définition de v c’est-à-dire 2x-4\geq 0\\\hspace{8.8cm}2x\geq4\\\hspace{8.8cm}x\geq2
Ainsi l’ensemble de définition de la fonction v\circ u est [2;+\infty[
2. On détermine v\circ u(x) en fonction de x\\ v\circ u(x)=v(u(x))\\\hspace{1.3cm}=v(2x-4)\\\hspace{1.3cm}=\sqrt{2x-4}
Soient u définie sur \mathbf{R} par u(x)=2x-4, v définie sur [0;+\infty[ par v(x)=\sqrt{x}.
- On précise l’ensemble de définition de la fonction u\circ v.
Il faut que x soit dans l’ensemble de définition de v c’est-à-dire x\geq 0.
Et que v(x) soit dans l’ensemble de définition de u c’est-à-dire \sqrt{x} \in \mathbf{R}, ce qui est toujours vrai.
Ainsi l’ensemble de définition de la fonction u\circ v est [0;+\infty[
2. On détermine u\circ v(x) en fonction de x\\ u\circ v(x)=u(v(x))\\\hspace{1.3cm}=u(\sqrt{x})\\\hspace{1.3cm}=2\sqrt{x}-4
Soient u définie sur \mathbf{R} par u(x)=2x-4 et w définie sur ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ par w(x)=\frac{1}{x}.
- On précise l’ensemble de définition de la fonction u\circ w.
Il faut que x soit dans l’ensemble de définition de w c’est-à-dire x\ne 0
et que w(x) soit dans l’ensemble de définition de u c’est-à-dire \frac{1}{x}\in \mathbf{R} ce qui est toujours vrai.
Ainsi l’ensemble de définition de la fonction u\circ w est ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[.
2. On détermine u\circ w(x) en fonction de x\\ u\circ w(x)=u(w(x))\\\hspace{1.3cm}=u(\frac{1}{x})\\\hspace{1.3cm}=2\times \frac{1}{x}-4\\\hspace{1.3cm}=\frac{2}{x}-4
Soient u définie sur \mathbf{R} par u(x)=2x-4 et w définie sur ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ par w(x)=\frac{1}{x}.
- On précise l’ensemble de définition de la fonction w\circ u.
Il faut que x soit dans l’ensemble de définition de u c’est-à-dire x\in \mathbf{R} ce qui est toujours vrai
et que u(x) soit dans l’ensemble de définition de w c’est-à-dire u(x) \ne 0\\\hspace{7.9cm} 2x-4 \ne 0\\\hspace{8.3cm} 2x \ne 4\\\hspace{8.2cm} x \ne 2
Ainsi l’ensemble de définition de la fonction u\circ w est ]-\infty;2[\cup]2;+\infty[.
2. On détermine w\circ u(x) en fonction de x\\ w\circ u(x)=w(u(x))\\\hspace{1.3cm}=w(2x-4)\\\hspace{1.3cm}= \frac{1}{2x-4}
Soient v définie sur [0;+\infty[ par v(x)=\sqrt{x} et w définie sur ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ par w(x)=\frac{1}{x}.
- On précise l’ensemble de définition de la fonction v\circ w.
Il faut que x soit dans l’ensemble de définition de w c’est-à-dire x\ne 0.
Et que w(x) soit dans l’ensemble de définition de v c’est-à-dire w(x)\geq 0\\\hspace{8.8cm}\frac{1}{x}\geq 0\\\hspace{8.8cm}x>0
Ainsi l’ensemble de définition de la fonction v\circ w est ]0;+\infty[
2. On détermine v\circ w(x) en fonction de x\\ v\circ w(x)=v(w(x))\\\hspace{1.3cm}=v(\frac{1}{x})\\\hspace{1.3cm}=\sqrt{\frac{1}{x}}
Soient v définie sur [0;+\infty[ par v(x)=\sqrt{x} et w définie sur ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ par w(x)=\frac{1}{x}.
- On précise l’ensemble de définition de la fonction w\circ v.
Il faut que x soit dans l’ensemble de définition de v c’est-à-dire x\geq 0.
Et que v(x) soit dans l’ensemble de définition de w c’est-à-dire v(x)\ne 0\\\hspace{8.4cm}\sqrt{x}\ne 0\\\hspace{8.6cm}x\ne 0
Ainsi l’ensemble de définition de la fonction w\circ v est ]0;+\infty[
2. On détermine w\circ v(x) en fonction de x\\ w\circ v(x)=w(v(x))\\\hspace{1.3cm}=w(\sqrt{x})\\\hspace{1.3cm}=\frac{1}{\sqrt{x}}
Il faut décomposer f(x)=2x^2-3 sous la forme v\circ u où u et v sont des fonctions de référence.
Je pars de x et j’utilise des fonctions de référence pour parvenir à 2x^2-3 en respectant la priorité des opérations.
Attention quand on calcule v\circ u(x) c’est-à-dire v(u(x)), on commence en priorité par calculer u(x) puis v(u(x)).
\hspace{1.35cm}u\hspace{1cm} \hspace{1.6cm}v\hspace{1cm} \\x\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} x^2\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} 2x^2-3
Avec la fonction u qui est la fonction carré c’est-à-dire que u(x)=x^2 et la fonction v qui est une fonction affine telle que v(x)=2x-3.
Il faut décomposer f(x)=e^{2x+1} sous la forme v\circ u où u et v sont des fonctions de référence.
Je pars de x et j’utilise des fonctions de référence pour parvenir à e^{2x+1} en respectant la priorité des opérations.
Attention quand on calcule v\circ u(x) c’est-à-dire v(u(x)), on commence en priorité par calculer u(x) puis v(u(x)).
\hspace{1.35cm}u\hspace{1cm} \hspace{2.2cm}v\hspace{1cm} \\x\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} 2x+1\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} e^{2x+1}
Avec la fonction u qui est une fonction affine telle que u(x)=2x+1 et la fonction v qui est la fonction exponentielle v(x)=e^x.
Il faut décomposer f(x)=\frac{1}{2x+6} sous la forme v\circ u où u et v sont des fonctions de référence.
Je pars de x et j’utilise des fonctions de référence pour parvenir à \frac{1}{2x+6} en respectant la priorité des opérations.
Attention quand on calcule v\circ u(x) c’est-à-dire v(u(x)), on commence en priorité par calculer u(x) puis v(u(x)).
\hspace{1.35cm}u\hspace{1cm} \hspace{2.2cm}v\hspace{1cm} \\x\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} 2x+6\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} \frac{1}{2x+6}
Avec la fonction u qui est une fonction affine telle que u(x)=2x+6 et la fonction v qui est la fonction inverse v(x)=\frac{1}{x}.
Il faut décomposer f(x)=5\sqrt{x}-10 sous la forme v\circ u où u et v sont des fonctions de référence.
Je pars de x et j’utilise des fonctions de référence pour parvenir à 5\sqrt{x}-10 en respectant la priorité des opérations.
Attention quand on calcule v\circ u(x) c’est-à-dire v(u(x)), on commence en priorité par calculer u(x) puis v(u(x)).
\hspace{1.35cm}u\hspace{1cm} \hspace{1.8cm}v\hspace{1cm} \\x\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} \sqrt{x}\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} 5\sqrt{x}-10
Avec la fonction u qui est la fonction racine carrée u(x)=\sqrt{x} et la fonction v qui est une fonction affine v(x)=5x-10.
Il faut décomposer f(x)=(2x-4)^2 sous la forme v\circ u où u et v sont des fonctions de référence.
Je pars de x et j’utilise des fonctions de référence pour parvenir à (2x-4)^2 en respectant la priorité des opérations.
Attention quand on calcule v\circ u(x) c’est-à-dire v(u(x)), on commence en priorité par calculer u(x) puis v(u(x)).
\hspace{1.35cm}u\hspace{1cm} \hspace{2.2cm}v\hspace{1cm} \\x\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} 2x-4\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} (2x-4)^2
Avec la fonction u qui est une fonction affine telle que u(x)=2x-4 et la fonction v qui est la fonction carré v(x)=x^2.
Il faut décomposer f(x)=-3e^x-4 sous la forme v\circ u où u et v sont des fonctions de référence.
Je pars de x et j’utilise des fonctions de référence pour parvenir à -3e^x-4 en respectant la priorité des opérations.
Attention quand on calcule v\circ u(x) c’est-à-dire v(u(x)), on commence en priorité par calculer u(x) puis v(u(x)).
\hspace{1.35cm}u\hspace{1cm} \hspace{1.5cm}v\hspace{1cm} \\x\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} e^x\hspace{1cm}\to\hspace{1cm} -3e^x-4
Avec la fonction u qui est la fonction exponentielle u(x)=e^x et la fonction v qui est une fonction affine v(x)=-3x-4.
f(x)=e^{2x+1}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou v\circ u ?
On a vu dans l’exercice n°3 que c’est de la forme v\circ u avec u(x)=2x+1 et v(x)=e^x.
D’après le cours : (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Calcul de u'(x)
u(x)=2x+1
u'(x)=(2x+1)'
u'(x)=(2x)'+(1)'
u'(x)=2(x)'+0
u'(x)=2\times 1
u'(x)=2
Calcul de v'(x)
v(x)=e^x
v'(x)=e^x
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=e^{u(x)}
v'(u(x))=e^{2x+1}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x+1 puis v'(u(x)) par e^{2x+1}. Puis on remplace u'(x) par 2 dans la formule (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f est de la forme v\circ u avec u(x)=2x+1 et v(x)=e^x.
Calcul de u'(x)
u(x)=2x+1 \\u'(x)=2
Calcul de v'(x)
v(x)=e^x \\v'(x)=e^x
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=e^{u(x)}\\v'(u(x))=e^{2x+1}
f'(x)= v'(u(x))\times u'(x)
f'(x)=e^{2x+1}\times 2
f'(x)=2e^{2x+1}
f(x)=\frac{1}{2x+6}.
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou v\circ u ?
On a vu dans l’exercice n°3 que c’est de la forme v\circ u avec u(x)=2x+6 et v(x)=\frac{1}{x}.
D’après le cours : (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Calcul de u'(x)
u(x)=2x+6
u'(x)=(2x+6)'
u'(x)=(2x)'+(6)'
u'(x)=2(x)'+0
u'(x)=2\times 1
u'(x)=2
Calcul de v'(x)
v(x)=\frac{1}{x}
v'(x)=-\frac{1}{x^2}
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=v'(2x+6)
v'(u(x))=-\frac{1}{(2x+6)^2}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x+6 puis v'(u(x)) par -\frac{1}{(2x+6)^2}. Puis on remplace u'(x) par 2 dans la formule (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f est de la forme v\circ u avec u(x)=2x+6 et v(x)=\frac{1}{x}
Calcul de u'(x)
u(x)=2x+6 \\u'(x)=2
Calcul de v'(x)
v(x)=\frac{1}{x} \\v'(x)=-\frac{1}{x^2}
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=v'(2x+6)\\v'(u(x))=-\frac{1}{(2x+6)^2}
f'(x)= v'(u(x))\times u'(x) \\f'(x)=-\frac{1}{(2x+6)^2}\times 2\\f'(x)=-\frac{2}{(2x+6)^2}
f(x)=\sqrt{5x-10}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou v\circ u ?
On a vu dans l’exercice n°3 que c’est de la forme v\circ u avec u(x)=5x-10 et v(x)=\sqrt{x}.
D’après le cours : (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Calcul de u'(x)
u(x)=5x-10
u'(x)=(5x-10)'
u'(x)=(5x)'-(10)'
u'(x)=5(x)'-0
u'(x)=5\times 1
u'(x)=5
Calcul de v'(x)
v(x)=\sqrt{x}
v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}
v'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{5x-10}}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 5x-10 puis v'(u(x)) par \frac{1}{2\sqrt{5x-10}}. Puis on remplace u'(x) par 5 dans la formule (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f est de la forme v\circ u avec u(x)=5x-10 et v(x)=\sqrt{x}.
Calcul de u'(x)
u(x)=5x-10 \\u'(x)=5
Calcul de v'(x)
v(x)=\sqrt{x}\\v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\\v'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{5x-10}}
f'(x)= v'(u(x))\times u'(x)
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{5x-10}}\times 5
f'(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x-10}}
f(x)=(2x-4)^2.
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou v\circ u ?
On a vu dans l’exercice n°3 que c’est de la forme v\circ u avec u(x)=2x-4 et v(x)=x^2.
D’après le cours : (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Calcul de u'(x)
u(x)=2x-4
u'(x)=(2x-4)'
u'(x)=(2x)'-(4)'
u'(x)=2(x)'-0
u'(x)=2\times 1
u'(x)=2
Calcul de v'(x)
v(x)=x^2
v'(x)=2x
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=2u(x)
v'(u(x))=2(2x-4)
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x-4 puis v'(u(x)) par 2(2x-4). Puis on remplace u'(x) par 2 dans la formule (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f est de la forme v\circ u avec u(x)=2x-4 et v(x)=x^2.
Calcul de u'(x)
u(x)=2x-4 \\u'(x)=2
Calcul de v'(x)
v(x)=x^2\\v'(x)=2x
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=2u(x)\\v'(u(x))=2(2x-4)
f'(x)= v'(u(x))\times u'(x)
f'(x)=2(2x-4)\times 2
f'(x)=4(2x-4)
f(x)=\sqrt{6x-12}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou v\circ u ?
f est de la forme v\circ u avec u(x)=6x-12 et v(x)=\sqrt{x}.
D’après le cours : (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Calcul de u'(x)
u(x)=6x-12
u'(x)=(6x-12)'
u'(x)=(6x)'-(12)'
u'(x)=6(x)'-0
u'(x)=6\times 1
u'(x)=6
Calcul de v'(x)
v(x)=\sqrt{x}
v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}
v'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{6x-12}}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 6x-12 puis v'(u(x)) par \frac{1}{2\sqrt{6x-12}}. Puis on remplace u'(x) par 6 dans la formule (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f est de la forme v\circ u avec u(x)=6x-12 et v(x)=\sqrt{x}.
Calcul de u'(x)
u(x)=6x-12 \\u'(x)=6
Calcul de v'(x)
v(x)=\sqrt{x}\\v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\\v'(u(x))=\frac{1}{2\sqrt{6x-12}}
f'(x)= v'(u(x))\times u'(x)
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{6x-12}}\times 6
f'(x)=\frac{6}{2\sqrt{6x-12}}
f'(x)=\frac{3}{\sqrt{6x-12}}
f(x)= (2x+5)^7
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou v\circ u ?
f est de la forme v\circ u avec u(x)=2x+5 et v(x)=x^7.
D’après le cours : (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Calcul de u'(x)
u(x)=2x+5
u'(x)=(2x+5)'
u'(x)=(2x)'+(5)'
u'(x)=2(x)'-0
u'(x)=2\times 1
u'(x)=2
Calcul de v'(x)
v(x)=x^7
v'(x)=7x^6
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=7(u(x))^6
v'(u(x))=7(2x+5)^6
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x+5 puis v'(u(x)) par 7(2x+5)^6. Puis on remplace u'(x) par 2 dans la formule (v\circ u)'(x)= v'(u(x))\times u'(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f est de la forme v\circ u avec u(x)=2x+5 et v(x)=x^7.
Calcul de u'(x)
u(x)=2x+5 \\u'(x)=2
Calcul de v'(x)
v(x)=x^7\\v'(x)=7x^6
Calcul de v'(u(x))
v'(u(x))=7(u(x))^6\\v'(u(x))=7(2x+5)^6
f'(x)= v'(u(x))\times u'(x)
f'(x)=7(2x+5)^6\times 2
f'(x)=14(2x+5)^6
f(x)= (2x-1)^2
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le carré d’une fonction : u^2 avec u(x)=2x-1.
D’après le cours : (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x)
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(2x-1)'
u'(x)=(2x)'-(1)'
u'(x)=2(x)'-(1)'
u'(x)=2\times1-0
u'(x)=2
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x-1 et u'(x) par 2 dans la formule 2\times u'(x) \times u(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=2\times (2x+1)' \times (2x-1)
f'(x)=2\times 2 \times (2x-1)
f'(x)=4 \times (2x-1)
f'(x)=8x-4
f(x)= (e^x+x)^2
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le carré d’une fonction : u^2 avec u(x)=e^x+x.
D’après le cours : (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x)
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(e^x+x)'
u'(x)=(e^x)'+(x)'
u'(x)=e^x+1
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par e^x+x et u'(x) par e^x+1 dans la formule 2\times u'(x) \times u(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=2\times (e^x+x)' \times (e^x+x)
f'(x)=2\times (e^x+1) \times (e^x+x)
f'(x)=2(e^x+1)(e^x+x)
f(x)= (2x^2-x)^3
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le cube d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le cube d’une fonction : u^3 avec u(x)=2x^2-x.
D’après le cours : (u^3)'(x)=3\times u'(x) \times u^2(x)
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(2x^2-x)'
u'(x)=(2x^2)'-(x)'
u'(x)=2(x^2)'-1
u'(x)=2\times2x-1
u'(x)=4x-1
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x^2-x et u'(x) par 4x-1 dans la formule 3\times u'(x) \times u^2(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=3\times (2x^2-x)' \times (2x^2-x)^2
f'(x)=3\times (4x-1) \times (2x^2-x)^2
f'(x)=3 (4x-1) (2x^2-x)^2
f(x)= \sqrt{x}^3
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le cube d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le cube d’une fonction : u^3 avec u(x)=\sqrt{x}.
D’après le cours : (u^3)'(x)=3\times u'(x) \times u^2(x)
Calcul de u'(x)
u(x) est une fonction de référence
u'(x)=(\sqrt{x})'
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par \sqrt{x} et u'(x) par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule 3\times u'(x) \times u^2(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=3\times (\sqrt{x})' \times (\sqrt{x})^2.
f'(x)=3\times \frac{1}{2\sqrt{x}} \times (\sqrt{x})^2
On simplifie en en haut et en bas par \sqrt{x}
f'(x)= \frac{3}{2} \times \sqrt{x}
f(x)= \frac{1}{x^2}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le cube d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est l’inverse d’une fonction : \frac{1}{u} avec u(x)=x^2.
D’après le cours : (\frac{1}{u})'(x)=-\frac{u'(x)}{u^2(x)}
Calcul de u'(x)
u(x) est une fonction de référence
u'(x)=(x^2)'
u'(x)=2x
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par x^2 et u'(x) par 2x dans la formule -\frac{u'(x)}{u^2(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=-\frac{(x^2)'}{(x^2)^2}\\f'(x)=-\frac{2x}{x^4}\\f'(x)=-\frac{2}{x^3}
f(x)= \frac{1}{e^x+x^2}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le cube d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est l’inverse d’une fonction : \frac{1}{u} avec u(x)=e^x+x^2.
D’après le cours : (\frac{1}{u})'(x)=-\frac{u'(x)}{u^2(x)}
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(e^x+x^2)'
u'(x)=(e^x)'+(x^2)'
u'(x)=e^x+2x
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par e^x+x^2 et u'(x) par e^x+2x dans la formule -\frac{u'(x)}{u^2(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=-\frac{(e^x+x^2)'}{(e^x+x^2)^2}\\f'(x)=-\frac{e^x+2x}{(e^x+x^2)^2}
- f(x)=\sqrt{1-x^2} pour x\in ]-1;1[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions, le cube d’une fonction ou la racine carrée d’une fonction? (la liste s’allonge)
C’est la racine carrée d’une fonction : \sqrt{u} avec u(x)=1-x^2.
D’après le cours : (\sqrt{u(x)})'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(1-x^2)'
u'(x)=(1)'-(x^2)'
u'(x)=0-2x
u'(x)=-2x
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 1-x^2 et u'(x) par -2x dans la formule (\sqrt{u(x)})'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=\frac{(1-x^2)'}{2\sqrt{1-x^2}}\\f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\\f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
- f(x)=\sqrt{2x-6} pour x\in ]3;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions, le cube d’une fonction ou la racine carrée d’une fonction? (la liste s’allonge)
C’est la racine carrée d’une fonction : \sqrt{u} avec u(x)=2x-6.
D’après le cours : (\sqrt{u(x)})'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(2x-6)'
u'(x)=(2x)'-(6)'
u'(x)=2(x)'-0
u'(x)=2\times 1
u'(x)=2
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x-6 et u'(x) par 2 dans la formule (\sqrt{u(x)})'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=\frac{(2x-6)'}{2\sqrt{2x-6}}\\f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-6}}\\f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-6}}
f(x)=sin(2x+\pi) pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions,le cube d’une fonction ou le sinus d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le le sinus d’une fonction : sin(u) avec u(x)=2x+\pi.
D’après le cours : (sin(u))'(x)= u'(x) \times cos(u(x))
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(2x+\pi)'
u'(x)=(2x)'+(\pi)'
u'(x)=2(x)'+0
u'(x)=2\times 1
u'(x)=2
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x+\pi et u'(x) par 2 dans la formule (sin(u))'(x)= u'(x) \times cos(u(x)) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(2x+\pi)'\times cos(2x+\pi)
f'(x)=(2x+\pi)'\times cos(2x+\pi)
f'(x)=2cos(2x+\pi)
f(x)= sin(2\pi-x)
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions,le cube d’une fonction ou le sinus d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le le sinus d’une fonction : sin(u) avec u(x)=2\pi-x.
D’après le cours : (sin(u))'(x)= u'(x) \times cos(u(x))
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(2\pi-x)'
u'(x)=(2\pi)'-(x)'
u'(x)=0-1
u'(x)=-1
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2\pi-x et u'(x) par -1 dans la formule (sin(u))'(x)= u'(x) \times cos(u(x)) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(2\pi-x)'\times cos(2\pi-x)
f'(x)=(-1)'\times cos(2\pi-x)
f'(x)=- cos(2\pi-x)
- f(x)=cos(-x+\pi)
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions,le cube d’une fonction, le sinus d’une fonction ou le cosinus d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le cosinus d’une fonction : cos(u) avec u(x)=-x+\pi.
D’après le cours : (cos(u))'(x)=- u'(x) \times sin(u(x))
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(-x+\pi)'
u'(x)=-(x)'+(\pi)'
u'(x)=-1+0
u'(x)=-1
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par -x+\pi et u'(x) par -1 dans la formule (cos(u))'(x)=- u'(x) \times sin(u(x)) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=-(-x+\pi)'\times sin(-x+\pi)
f'(x)=-(-1)\times sin(-x+\pi)
f'(x)=sin(-x+\pi)
f(x)=cos(2x+\pi)
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions, le cube d’une fonction, le sinus d’une fonction ou le cosinus d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le cosinus d’une fonction : cos(u) avec u(x)=2x+\pi.
D’après le cours : (cos(u))'(x)=- u'(x) \times sin(u(x))
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(2x+\pi)'
u'(x)=2(x)'+(\pi)'
u'(x)=2\times1+0
u'(x)=2
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x+\pi et u'(x) par 2 dans la formule (cos(u))'(x)=- u'(x) \times sin(u(x)) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=-(2x+\pi)'\times sin(2x+\pi)
f'(x)=-2\times sin(2x+\pi)
f'(x)=-2sin(2x+\pi)
f(x)=\frac{1}{(3x-1)^3} pour x\in ]\frac{1}{3};+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions, le cube d’une fonction ou l’inverse d’une puissance ? (la liste s’allonge)
C’est l’inverse d’une puissance : \frac{1}{u^n} avec u(x)=3x-1 et n=3 .
D’après le cours : ( \frac{1}{u^{n}(x)})'(x)= -\frac{nu'(x)}{u^{n+1}(x)}
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(3x-1)'
u'(x)=(3x)'-1'
u'(x)=3(x)'-0
u'(x)=3\times 1
u'(x)=3
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant n par 3, u(x) par 3x-1 et u'(x) par 3 dans la formule ( \frac{1}{u^{n}(x)})'(x)= -\frac{nu'(x)}{u^{n+1}(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=-\frac{3(3x-1)'}{(3x-1)^{3+1}}\\f'(x)=-\frac{3\times 3}{(3x-1)^4}\\f'(x)=-\frac{9}{(3x-1)^4}
f(x)= \frac{1}{(-x^2+1)^4} pour x\in ]-1;1[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions, le cube d’une fonction ou l’inverse d’une puissance ? (la liste s’allonge)
C’est l’inverse d’une puissance : \frac{1}{u^n} avec u(x)=-x^2+1 et n=4 .
D’après le cours : ( \frac{1}{u^{n}(x)})'(x)= -\frac{nu'(x)}{u^{n+1}(x)}
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(-x^2+1)'
u'(x)=-(x^2)'+(1)'
u'(x)=-2x+0
u'(x)=-2x
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant n par 4, u(x) par -x^2+1 et u'(x) par -2x dans la formule ( \frac{1}{u^{n}(x)})'(x)= -\frac{nu'(x)}{u^{n+1}(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=-\frac{4(-x^2+1)'}{(-x^2+1)^{4+1}}\\f'(x)=-\frac{4\times (-2x)}{(-x^2+1)^5}\\f'(x)=\frac{8x}{(-x^2+1)^5}
f(x)= e^{x^2-6}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou e^{u(x)} ? (la liste s’allonge)
C’est de la forme e^{u(x)} avec u(x)=x^2-6.
D’après le cours : (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}}
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(x^2-6)'
u'(x)=(x^2)'-(6)'
u'(x)=2x-0
u'(x)=2x
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par x^2-6 et u'(x) par 2x dans la formule u'(x) \times {e^{u(x)}} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(e^{x^2-6})'
f'(x)=(x^2-6)' e^{x^2-6}
f'(x)=2xe^{x^2-6}
f(x)= e^{\sqrt{x}} pour x\in [0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou e^{u(x)} ? (la liste s’allonge)
C’est de la forme e^{u(x)} avec u(x)=\sqrt{x}.
D’après le cours :(e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}}
Calcul de u'(x)
u(x) est une fonction de référence
u'(x)=(\sqrt{x})'
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par \sqrt{x} et u'(x) par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule u'(x) \times {e^{u(x)}} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(e^{\sqrt{x}})'
f'(x)=(\sqrt{x})' e^{\sqrt{x}}
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}