On s’intéresse à une population de tortues vivant sur une île et dont le nombre d’individus diminue de façon inquiétante.
Au début de l’an 2000, on comptait 300 tortues. Une étude a permis de modéliser ce nombre de
tortues par la suite (u_n) définie par : u_0=0.3 et u_{n+1}=0.9u_{n}(1-u_n)
où pour tout entier naturel n, u_n représente le nombre de tortues, en milliers, au début de l’année 2000+n.
Partie A : avec un tableur.
- Saisir la bonne formule dans la cellule B3 et la copier vers le bas pour générer les termes de la suite (u_n).
2. A l’aide du tableur obtenu à la question précédente, conjecturer la limite de la suite (u_n).
Partie B : avec la courbe de la fonction f(x)=0.9x(1-x) et la droite d’équation y=x.
- Placer de façon géométrique à l’aide des courbes ci-dessous, les termes u_{1}, u_{2}, u_{3} et u_{4} sur l’axe des abscisses.
Partie C : avec le calcul.
- On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n} et 1-u_{n} appartiennent à l’intervalle ]0;1[.
Montrer que, pour tout entier naturel n, 0< u_{n+1}< 0.9 u_n.
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0\leq u_{n}\leq 0.3\times 0.9^n.
3. Déterminer la limite de la suite (u_n). Que peut-on en conclure sur l’avenir de cette population de tortues ?
Dans la cellule B3, il fallait saisir =0.9*B2*(1-B2) et la tirer vers le bas. On obtient alors le tableur ci-dessous.
En observant le tableur ci-dessous, il semble que la suite (u_n) admette 0 pour limite.
Pour construire u_1 sur l’axe des abscisses, on utilise la droite d’équation y=x . Les points de cette droite ont des coordonnées égales.
Pour obtenir u_2, on construit graphiquement f(u_1) c’est-à-dire l’image de u_1 . On lit cette image sur l’axe des ordonnées et on revient sur l’axe des abscisses avec droite d’équation y=x.
…
On admet que, pour tout entier naturel n, u_{n} et 1-u_{n} appartiennent à l’intervalle ]0;1[.
On va montrer que, pour tout entier naturel n, 0< u_{n+1}< 0.9 u_n en faisant une démonstration qu’on va écrire du bas vers le haut.
0< 1-u_n< 1
0< 0.9u_{n}(1-u_n)<0.9 u_n\\0< u_{n+1}< 0.9 u_n
étape n°3 : je divise par 0.9u_{n} de chaque côté. Le signe ne change pas car 0.9u_{n}>0. La démonstration est finie car on tombe sur une hypothèse de l’énoncé.
étape n°2 : je remplace u_{n+1} par 0.9u_{n}(1-u_n)
étape n°1 : j’écris la conclusion en bas
Montrer que, pour tout entier naturel n, 0\leq u_{n}\leq 0.3\times 0.9^n.
Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.
0\leq u_{0}\leq 0.3\times 0.9^0 ou 0\leq u_{0}\leq 0.3 vraie car u_0=0.3
Transmission ou hérédité : .
0\leq u_{n}\leq 0.3\times 0.9^n\\0.9\times0\leq 0.9\times u_{n}\leq 0.9\times 0.3\times 0.9^n\\0\leq 0.9\times u_{n}\leq 0.3\times 0.9^{n+1}
On a montré que 0< u_{n+1}< 0.9 u_n
Donc
0\leq u_{n+1}\leq 0.3\times 0.9^{n+1}
étape n°1 : j’écris la propriété au rang n en haut.
étape n°3 : Je multiplie par 0.9, le sens ne change pas
étape n°4 : Je calcule.
étape n°5 : Comme 0< u_{n+1}< 0.9 u_n et 0.9 u_{n}\leq 0.3\times 0.9^{n+1} alors u_{n+1}< 0.3\times 0.9^{n+1}. La démonstration est finie puisque la denière ligne est déjà écrite.
étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.
Conclusion : J’écris la propriété au rang n et je rajoute pour tout n.
Pour tout entier naturel n, 0\leq u_{n}\leq 0.3\times 0.9^n
On a montré que : pour tout entier naturel n, 0< u_{n}< 0.3\times 0.9^n.
lim_{n\to +\infty}0=0 car 0 ne dépend pas de n.
lim_{n\to +\infty}0.3\times 0.9^n=0 car -1<0.9<1.
D’après le théorème des gendarmes :
lim_{n\to +\infty}u_n=0.
Ce résultat confirme l’hypothèse que l’espèce étudiée est en voie de disparition.