Actuellement le taux de mortalité des abeilles est de 30 % par an en moyenne en France.
Un apiculteur possède 200 colonies et compte-tenu du taux de mortalité, il décide de rajouter 42 colonies chaque année pour essayer de stabiliser sa production.
- On donne le programme suivant écrit en langage Python :
a. Faire tourner le programme à la main et compléter le tableau ci-dessous ( arrondir les valeurs C à l’unité près )
b. Quelle est la valeur de N renvoyée par le programme ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
On note C_n le nombre de colonies d’abeilles au début de la nième année .
On a alors C_0=200.
On admet que pour tout entier n,
C_{n+1}=0.7C_n+42.
2. La suite C_n est-elle arithmétique ? La suite C_n est-elle géométrique ?
3. On admet que C_n=60\times 0.7^n+140. L’apiculteur pourra-t-il espérer atteindre les 150 colonies dans le futur ? Vous pourrez utiliser la page géogébra ci-dessous en saisissant la bonne formule dans la cellule B2.
4. Calculer lim_{n\to +\infty}C_n. Interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice.
Le programme calcule les valeurs de C successives et les compare à 155.
Dans la console Python en bas, on lit la valeur de N renvoyée, c’est 4.
Dans le contexte de l’exercice, cela signifie qu’au bout de quatre ans le nombre de colonies sera plus petit que 155.
La suite définie par C_{n+1}=0.7C_n+42 n’est pas arithmétique car C_1-C_0 \ne C_2-C_1 .
En effet,
C_1-C_0=182-200=-18
et C_2-C_1 =169.4-182=-12.6.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que u_1-u_0 = u_2-u_1
La suite définie par C_{n+1}=0.7C_n+42 n’est pas géométrique car \frac{C_1}{C_0} \ne \frac{C_2}{C_1} .
En effet,
\frac{C_1}{C_0}=\frac{182}{200}=0.91
et \frac{C_2}{C_1}=\frac{169.4}{182}=0.93.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique il suffit de montrer que \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est géométrique en montrant que \frac{u_1}{u_0} = \frac{u_2}{u_1}
On copie dans la cellule B2, la formule suivante =60*0.7^{A2}+140.
On constate que dans le futur, l’apiculture n’atteindra pas les 150 ruches.
lim_{n\to +\infty} C_n=lim_{n\to +\infty} 60\times 0.7^n+140
On calcule la limite d’une somme.
lim_{n\to +\infty} 60\times 0.7^n=0
car il s’agit d’une suite géométrique de raison 0.7 et de premier terme 60 et que -1<0.7<1.
lim_{n\to +\infty} 140=140
car 140 ne dépend pas de n.
Donc lim_{n\to +\infty} u_n = 140.
On interprète : au bout d’un grand nombre de jours, le nombre de colonies se stabilisera à 140.