Dans un laboratoire, on cultive des bactéries artificielles.
Le premier jour de l’étude, la culture compte 6000 cellules.
Un test mené sur cette culture prouve que 15 % des cellules disparaissent chaque jour. On décide alors d’ajouter 3000 cellules chaque jour dans la culture.
On note u_n le nombre de bactéries présentes dans la culture le jour n. On a alors u_0=6000.
1.a.Calculer u_{1} et u_{2}.
1.b. Montrer que la suite u_n n’est ni géométrique, ni arithmétique.
On admet dans la suite de l’exercice que u_{n+1}=0.85\times u_n+3000
2. On considère la suite v_n définie par v_{n}=u_n-20000.
a. Calculer v_0 et démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85 .
b. Pour tout entier naturel n, exprimer v_n en fonction de n puis montrer que u_n=-14000\times 0.85^n+20000
3. Est-il correct d’affirmer que le nombre de bactéries contenues dans la culture aura triplé au bout de 4 semaines ?
4. Calculer lim_{n\to +\infty} u_n. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Comme le nombre de bactéries diminue de 15% d’une semaine sur l’autre, cela reviendrait à multiplier par 1-\frac{15}{100} soit 0.85 .
Puis il ne faut pas oublier d’ajouter les 3000 bactéries supplémentaires.
u_1=0.85\times u_0+3000\\\hspace{0.45cm}=0.85\times 6000+3000\\\hspace{0.45cm}=8100
Comme le nombre de bactéries diminue de 15% d’une semaine sur l’autre, cela reviendrait à multiplier par 1-\frac{15}{100} soit 0.85 .
Puis il ne faut pas oublier d’ajouter les 3000 bactéries supplémentaires.
u_2=0.85\times u_1+3000\\u_2=0.85\times 8100+3000\\\hspace{0.45cm}=6885+3000\\\hspace{0.45cm}=9885
La suite (u_{n}) n’est pas arithmétique car u_1-u_0 \ne u_2-u_1 .
En effet,
u_1-u_0=8100-6000=2100
et u_2-u_1 =9885-8100=1785.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que u_1-u_0 = u_2-u_1
La suite (u_{n}) n’est pas géométrique car \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .
En effet,
\frac{u_1}{u_0}=\frac{8100}{6000}=1.35
et \frac{u_2}{u_1}=\frac{9885}{8100}=1.22.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique il suffit de montrer que \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que \frac{u_1}{u_0} = \frac{u_2}{u_1}
Pour calculer v_0 il faut remplacer tous les n par 0 dans l’écriture v_n=u_n-20000 .
v_0=u_0-20000
Puis on remplace u_0 par 6000 dans v_0=u_0-20000 .
v_0=6000-20000
\hspace{0.45cm}=-14000
Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85, nous allons prouver l’égalité suivante v_{n+1}=0.85\times v_n.
On part du premier membre v_{n+1}, on le transforme pour arriver au second membre 0.85\times v_n.
v_{n+1}=u_{n+1}-20000 . On exprime v_{n+1} en fonction de u_{n+1}
\hspace{0.75cm}=(0.85\times u_{n}+3000)-20000 . On exprime u_{n+1} en fonction de u_{n}
\hspace{0.75cm}=0.85\times u_{n}-17000 . On réduit la somme.
Ensuite on met en facteur le coefficient par lequel u_n est multiplié , ici 0.85.
Remarque : 17000=0.85\times 20000
\hspace{0.75cm}=0.85(u_{n}-20000)
\hspace{0.75cm}=0.85\times v_n
Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85.
Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85, nous allons prouver l’égalité suivante \frac{v_{n+1}}{v_n}=0.85.
On part du membre \frac{v_{n+1}}{v_n}, on le transforme pour arriver au second membre 0.85.
\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_{n+1}-20000}{u_n-20000} . On exprime v_{n+1} en fonction de u_{n+1} et v_{n} en fonction de u_{n}.
\hspace{0.7cm}=\frac{(0.85\times u_n+3000)-20000}{u_n-20000} . On exprime u_{n+1} en fonction de u_{n}
\hspace{0.7cm}=\frac{0.85\times u_n-17000}{u_n-20000} . On réduit la somme au numérateur.
Ensuite on met en facteur au numérateur le coefficient par lequel u_n est multiplié , ici 0.85.
Remarque : 17000=0.85\times 20000
\hspace{0.7cm}=\frac{0.85\times( u_n-20000)}{u_n-20000}
On simplifie en haut et en bas par u_n-20000
\hspace{0.7cm}=0.85
Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85.
On veut montrer que u_n=-14000\times 0.85^n+20000
Nous avons montré précédemment que la suite v_n est une suite géométrique de raison 0.85 et de premier terme -14000.
On remplace q par 0.85 et v_0 par -14000 dans v_n=v_0\times q^n.
v_n=-14000\times 0.85^n
On sait que v_n=u_n-20000 que l’on peut écrire aussi u_n-20000=v_n.
u_n-20000=v_n
On ajoute 20000 de chaque côté.
u_n=v_n+20000
On remplace v_n par -14000\times 0.85^n.
\hspace{0.5cm}=-14000\times 0.85^n+20000
On a bien montré que u_n=-14000\times 0.85^n+20000
Nous allons calculer le nombre de bactéries le 28 ième jour, c’est-à-dire au bout de 4 semaines.
Pour cela, on calcule u_{28} en remplaçant tous les n par 28 dans l’expression u_n=-14000\times 0.85^n+20000
u_{28}=-14000\times 0.85^{28}+20000
u_{28}=19852.
Au bout de quatre semaines, la production journalière atteint les 19852 bactéries.
Comme il y avait 6000 bactéries au premier jour, oui on peut dire que la production a triplé en quatre semaines.
lim_{n\to +\infty} u_n=lim_{n\to +\infty} -14000\times 0.85^n+20000
On calcule la limite d’une somme.
lim_{n\to +\infty} -14000\times 0.85^n=0
car il s’agit d’une suite géométrique de raison 0.85 et de premier terme -14000 et que -1<0.85<1.
lim_{n\to +\infty} 20000=20000
car 20000 ne dépend pas de n.
Donc lim_{n\to +\infty} u_n = 20000.
On interprète : au bout d’un grand nombre de jours, le nombre de bactéries se stabilisera à 20000.