Sommaire
En classe de seconde, vous serez amenés à développer dans de nombreuses situations.
Développer en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
Activité d’approche: ABEF et BCDE sont deux rectangles dont les dimensions sont données.
-
- Exprimer l’aire du rectangle ACDF de deux façons différentes.
2.Utiliser la question précédente pour compléter les pointillés :
a(…+…)=ab+…
b) méthode :
Pour plus de facilité, on peut utiliser des flèches comme ci-dessous:
Exercice n°1: Développer dans chaque cas
- 2(x+3y)
2. 4(3-2y)
3. 3x(x^{2}+2x+4)
4. 3(2x^{2}-4)
5. 2x(x^{2}-9)
6. \sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})
7. 2\sqrt{3}(\sqrt{3}x-\sqrt{12})
Après avoir développé dans chaque cas, utiliser l’application Calcul formel de Géogébra dans la fenêtre ci-dessous pour valider les réponses. Pour cela saisir par exemple 2(x+3y) sur la première ligne, puis cliquer gauche sur le cinquième onglet en haut en partant de la gauche. Sur la ligne suivante apparaît le mot Développer suivi de la réponse. Pour saisir racine carrée de 2, taper sqrt(2) au clavier.
Développer à l’aide d’une identité remarquable
Identité n°1
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
Illustration graphique
Il existe deux façons de calculer l’aire du grand carré.
A l’aide de la formule , on obtient alors (a+b)^{2}.
Par découpage, en ajoutant les aires des quatre quadrilatères. On obtient alors a^{2}+2ab+b^{2}.
On constate alors que (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
Exercice n°2: Développer dans chaque cas.
1. (x+4)^{2}
2. (x+5)^{2}
3. (2x+3)^{2}
Après avoir développé dans chaque cas, utiliser l’application Calcul formel de Géogébra dans la fenêtre ci-dessous pour valider les réponses. Pour cela saisir par exemple (x+4)^2 sur la première ligne, puis cliquer gauche sur le cinquième onglet en haut en partant de la gauche. Sur la ligne suivante apparaît le mot Développer suivi de la réponse.
Identité n°2
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
Exercice n°3: Développer dans chaque cas.
1. (x-5)^{2}
2. (x-11)^{2}
3. (3x-7)^{2}
Après avoir développé dans chaque cas, utiliser l’application Calcul formel de Géogébra dans la fenêtre ci-dessous pour valider les réponses. Pour cela saisir par exemple (x-5)^2 sur la première ligne, puis cliquer gauche sur le cinquième onglet en haut en partant de la gauche. Sur la ligne suivante apparaît le mot Développer suivi de la réponse.
Identité n°3
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
Exercice n°4: Développer dans chaque cas.
1. (x-12)(x+12)
2. (7x-2)(7x+2)
3. (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})
Après avoir développé dans chaque cas, utiliser l’application Calcul formel de Géogébra dans la fenêtre ci-dessous pour valider les réponses. Pour cela saisir par exemple (x-12)(x+12) sur la première ligne, puis cliquer gauche sur le cinquième onglet en haut en partant de la gauche. Sur la ligne suivante apparaît le mot Développer suivi de la réponse. Pour saisir racine carrée de 2, taper sqrt(2) au clavier.
Développer tout azimut
Exercice n°5: Développer dans chaque cas.
1. (x-7)^{2}
2. (6x-5)(6x+5)
3. 6(2x^{2}-5x+1)
4. 8x(2x^{2}+12)
5. (7x-\sqrt{3})(7x+\sqrt{3})
6. (6x-5)^{2}
7. (\frac{1}{2}x+\frac{1}{3})^{2}
8. 2(x-8)^{2}
9. 3x(2x-1)^{2}
10. x(x-6)^{2}+4x
11. 6(x-2)^2+4
Après avoir développé dans chaque cas, utiliser l’application Calcul formel de Géogébra dans la fenêtre ci-dessous pour valider les réponses. Pour cela saisir par exemple (x-7)^2 sur la première ligne, puis cliquer gauche sur le cinquième onglet en haut en partant de la gauche. Sur la ligne suivante apparaît le mot Développer suivi de la réponse. Pour saisir racine carrée de 3, taper sqrt(3) au clavier. Pour saisir un tiers taper 1/3.
Pour développer 2(x+3y), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
2(x+3y)=2x+6y
Pour développer 4(3-2y), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
4(3-2y)=12-8y
Pour développer 3x(x^{2}+2x+4), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
3x(x^{2}+2x+4)=3x^{3}+6x^{2}+12x
Pour développer 3(2x^{2}-4), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
3(2x^{2}-4) = 6x^{2}-12
Pour développer 2x(x^{2}-9), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
2x(x^{2}-9)=2x^{3}-18x
Pour développer \sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2}), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=\sqrt{6}x-2
Pour développer 2\sqrt{3}(\sqrt{3}x-\sqrt{12}), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
2\sqrt{3}(\sqrt{3}x-\sqrt{12})={2}\times{\sqrt{3}}\times{\sqrt{3}}x-2\sqrt{3}\times{\sqrt{12}}\\\hspace{2.8cm}={2}\times{3}x-2\sqrt{36}\\\hspace{2.8cm}={2}\times{3}x-2\times 6\\\hspace{2.8cm}=6x-12
J’écris a=… donc a^{2}=…
J’écris b=… donc b^{2}=…
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs.
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=4 donc b^{2}=16
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 4 .
2ab=2\times x\times 4=8x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (x+4)^{2}=x^{2}+8x+16
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=5 donc b^{2}=25
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 5 .
2ab=2\times x\times 5=10x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (x+5)^{2}=x^{2}+10x+25
J’écris a=2x donc a^{2}=(2x)^{2}=2^{2}\times x^{2}=4x^{2}
J’écris b=3 donc b^{2}=9
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs 2x et 3 .
2ab=2\times 2x\times 3=12x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9
J’écris a=… donc a^{2}=…
J’écris b=… donc b^{2}=…
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs.
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=5 donc b^{2}=25
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 5 .
2ab=2\times x\times 5=10x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (x-5)^{2}=x^{2}-10x+25
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=11 donc b^{2}=121
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 5 .
2ab=2\times x\times 11=22x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (x-11)^{2}=x^{2}-22x+121
J’écris a=3x donc a^{2}=(3x)^{2}=3^{2}x^{2}=9x^{2}
J’écris b=7 donc b^{2}=49
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs 3x et 7 .
2ab=2\times 3x\times 7=42x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (3x-7)^{2}=9x^{2}-42x+49
J’écris a=… donc a^{2}=…
J’écris b=… donc b^{2}=…
Je remplace a , b , a^{2}, et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=12 donc b^{2}=144
Je remplace a , b , a^{2}, et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
(x-12)(x+12)=x^{2}-144
J’écris a=7x donc a^{2}=(7x)^{2}=7^{2}x^{2}=49x^{2}
J’écris b=2 donc b^{2}=4
Je remplace a , b , a^{2}, et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
(7x-2)(7x+2)=49x^{2}-4
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=\sqrt{2} donc b^{2}=2
Je remplace a , b , a^{2}, et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=x^{2}-2
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=7 donc b^{2}=49
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 7 .
2ab=2\times x\times 7=14x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (x-7)^{2}=x^{2}-14x+49
J’écris a=6x donc a^{2}=36x^{2}
J’écris b=5 donc b^{2}=25
Je remplace a , b , a^{2}, et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
(6x-5)(6x+5)=36x^{2}-25
Pour développer 6(2x^{2}-5x+1), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
6(2x^{2}-5x+1)=12x^{2}-30x+6
Pour développer 8x(2x^{2}+12), j’utilise les flèches comme ci-dessous.
8x(2x^{2}+12)=16x^{3}+96x
J’écris a=7x donc a^{2}=(7x)^{2}=7^{2}x^{2}=49x^{2}
J’écris b=\sqrt{3} donc b^{2}=3
Je remplace a , b , a^{2}, et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}
(7x-\sqrt{3})(7x+\sqrt{3})=49x^{2}-3
J’écris a=6x donc a^{2}=(6x)^{2}=6^{2}x^{2}=36x^{2}
J’écris b=5 donc b^{2}=25
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs 6x et 5 .
2ab=2\times 6x\times 5=60x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (6x-5)^{2}=36x^{2}-60x+25
J’écris a=\frac{1}{2}x donc a^{2}=\frac{1}{4}x^{2}
J’écris b=\frac{1}{3} donc b^{2}=\frac{1}{9}
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs \frac{1}{2}x et \frac{1}{3} .
2ab=2\times \frac{1}{2}x\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (\frac{1}{2}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}
On va développer 2(x-8)^{2}.
La priorité des opérations impose d’effectuer d’abord la puissance ( ici 2 )
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=8 donc b^{2}=64
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 8 .
2ab=2\times x\times 8=16x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (x-8)^{2}=x^{2}-16x+64
Après les puissances, on effectue la multiplication en utilisant les flèches comme ci-dessous :
Voici comment rédiger la réponse :
2(x-8)^{2}=2(x^{2}-16x+64)\\\hspace{1.5 cm}=2x^{2}-32x+128
On va développer 3x(2x-1)^{2}.
La priorité des opérations impose d’effectuer d’abord la puissance ( ici 2 )
J’écris a=2x donc a^{2}=(2x)^{2}=2^{2}x^{2}=4x^{2}
J’écris b=1 donc b^{2}=1
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs 2x et 1 .
2ab=2\times 2x\times 1=4x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1
Après les puissances, on effectue la multiplication en utilisant les flèches comme ci-dessous :
Voici comment rédiger la réponse :
3x(2x-1)^{2}=3x(4x^{2}-4x+1)\\\hspace{1.9 cm}=12x^{3}-12x^{2}+3x
On va développer x(x-6)^{2}+4x.
La priorité des opérations impose d’effectuer d’abord la puissance ( ici 2 )
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=6 donc b^{2}=36
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 6 .
2ab=2\times x\times 6=12x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (x-6)^{2}=x^{2}-12x+36
Après les puissances, on effectue la multiplication en utilisant les flèches comme ci-dessous :
Après la puissance et la multiplication on effectue l’addition ( il faut ajouter 4x )
Voici comment rédiger la réponse :
x(x-6)^{2}+4=x(x^{2}-12x+36)+4x\\\hspace{2.1 cm}=x^{3}-12x^{2}+36x+4x\\\hspace{2.1 cm}=x^{3}-12x^{2}+40x
On va développer 6(x-2)^{2}+4.
La priorité des opérations impose d’effectuer d’abord la puissance ( ici 2 )
J’écris a=x donc a^{2}=x^{2}
J’écris b=2 donc b^{2}=4
Je calcule 2ab en remplaçant a et b par leurs valeurs x et 2 .
2ab=2\times x\times 2=4x
Je remplace a , b , a^{2}, 2ab et b^{2} par leurs valeurs dans
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
C’est-à-dire: (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4
Après les puissances, on effectue la multiplication en utilisant les flèches comme ci-dessous :
Après la puissance et la multiplication on effectue l’addition ( il faut ajouter 4 )
Voici comment rédiger la réponse :
6(x-2)^{2}+4=6(x^{2}-4x+4)+4\\\hspace{2.1 cm}=6x^{2}-24x+24+4\\\hspace{2.1 cm}=6x^{2}-24x+28