Equations cartésiennes d’une droite de vecteur normal \overrightarrow{n}
Définition
Un vecteur \overrightarrow{n} est dit normal à une droite d si \overrightarrow{n} est orthogonal à un vecteur directeur de la droite d.
Propriété :
- Une droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b) a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 où c est un nombre réel.
- La droite d d’équation cartésienne ax+by+c=0 avec (a;b)\ne (0;0) admet le vecteur \overrightarrow{n}(a;b) pour vecteur normal.
Démonstration de la première propriété
Chercher l’équation cartésienne d’une droite c’est chercher une relation du type ax+by+c=0 reliant x et y les coordonnées d’un point M quelconque situé sur la droite d.
Faisons un schéma :
Le point M appartient à la droite d si et seulement si \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0.
On va utiliser la forme analytique du produit scalaire. Il faut donc calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM}.
\hspace{0.5cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2.2cm}x_{M}\hspace{0.1cm}y_{M}
A(x_A;y_A)\hspace{2cm}M(x;y)
J’écris la formule : \overrightarrow{AM}(x_{M}-x_{A};y_{M}-y_{A})
\overrightarrow{AM}(x-x_{A};y-y_{A})
On rappelle que \overrightarrow{n}(a;b)\\\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\\a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\\ax-ax_A+by-by_A=0\\ax+by-ax_A-by_A=0
Ainsi l’équation cartésienne de la droite d est ax+by-ax_A-by_A=0
Démonstration de la seconde propriété
On a vu en classe de seconde que la droite d d’équation ax+by+c=0 a pour vecteur directeur \overrightarrow{u}(-b;a).
Calculons le produit scalaire \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=a\times(-b)+b\times a =0. Donc le vecteur \overrightarrow{n}(a;b) est bien normal à la droite d.
Vous pourrez utiliser cette fenêtre Géogébra pour valider vos réponses aux exercices.
Exercice n°1
d est une droite qui passe par A(6;2) et de vecteur normal \overrightarrow{n}(-2;5).
Pour placer A, saisir dans la colonne de gauche A=(6,2). Attention bien saisir une virgule entre les coordonnées.
Pour tracer le vecteur \overrightarrow{n}(-2;5). Cliquer sur le troisième onglet à partir de la gauche et sélectionner vecteur dans le menu déroulant. Puis dans le repère cliquer sur A, avancer horizontalement de 2 graduations vers la gauche et monter de 5 graduations puis cliquer.
Pour tracer la droite d, cliquer sur le quatrième onglet à partir de la gauche et sélectionner Perpendiculaire dans le menu déroulant. Puis dans le repère cliquer sur A et sur le vecteur \overrightarrow{n}. la droite apparaît et son équation dans la colonne de gauche. Pour obtenir une équation cartésienne, cliquer gauche sur l’équation affichée et choisir Equation ax+by+c=0
Déterminer une équation cartésienne de d.
Exercice n°2
d est une droite qui passe par A(4;-1) et de vecteur normal \overrightarrow{n}(3;2).
Déterminer une équation cartésienne de d.
Exercice n°3
On donne A(2;3) et B(-1;-3).
Déterminer une équation cartésienne de d la droite perpendiculaire à (AB) passant par A.
Exercice n°4
On donne A(2;3) , B(-1;-3) et C(4;1).
Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de A dans le triangle (ABC).
Exercice n°5
On donne A(1;3) et B(-1;2).
Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB].
Exercice n°6
d_1 est la droite qui passe par A(1;2) et de vecteur normal \overrightarrow{n_1}(3;2).
d_2 a pour équation cartésienne 4x-6y-1=0
- Déterminer un vecteur normal \overrightarrow{n_2} à la droite d_2.
2. Démontrer que les droites d_1 et d_2 sont perpendiculaires.
Equations cartésiennes d’un cercle.
Propriété
C est un cercle de centre A(x_A;y_A) et de rayon r.
Une équation cartésienne de C est (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Démonstration
M(x;y) appartient au cercle C si et seulement si AM=r
\hspace{6.5cm}AM^2=r^2
On a vu en classe de seconde que AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.
\hspace{4cm}(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Ainsi l’équation du cercle est bien (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Exercice n°7
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne du cercle C de centre A et de rayon r.
Conjecturer le résultat avant de se lancer dans les calculs avec la fenêtre géogébra ci-dessous. Voyons ce que ça donne pour l’exo7.1
Placer le point A en tapant A=(1,3) dans la colonne de gauche.
Tracer le cercle de centre A et de rayon 2 en cliquant sur le sixième onglet et en sélectionnant Cercle (centre-rayon) dans le menu déroulant.Ensuite dans le repère, cliquer sur le point A et saisir 2 dans le cadre qui apparaît à l’écran. Dans la colonne de gauche apparaît une équation cartésienne du cercle : (x-1)^2+(y-3)^2=4.
- A(1;3) et r=2
2. A(-2;-5) et r=7
3. A(-1;0) et r=\sqrt{3}
4. A(0;5) et r=2
Exercice n°8
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne du cercle C de diamètre [AB].
- A(1;3) et B(-1;5).
2. A(0;3) et B(4;-1).
Exercice n°9
C est l’ensemble d’équation x^2+y^2-4x+6y=18 .
- Compléter les pointillés :
x^2-4x=(x-…)^2-… et y^2+6y=(y+…)^2-…
2. En déduire que C est un cercle dont on donnera le centre et son rayon.
Exercice n°10
C est l’ensemble d’équation x^2+y^2-2x+8y-6=0 .
- Compléter les pointillés :
x^2-2x=(x-…)^2-… et y^2+8y=(y+…)^2-…
2. En déduire que C est un cercle dont on donnera le centre et son rayon.
Exercice n°11
C est l’ensemble d’équation x^2+y^2+x=0.
- Compléter les pointillés : x^2+x=(x+…)^2-…
2. En déduire que C est un cercle dont on donnera le centre et son rayon.
On veut déterminer une équation cartésienne de la droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(-2;5) passant par A(6;2).
On utilise le résultat du cours suivant : Une droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b) a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 où c est un nombre réel.
On remplace a par -2 et b par 5 dans l’équation ax+by+c=0.
Une équation cartésienne de d est de la forme :
-2x+5y+c=0
Pour déterminer c, il faut remplacer x et y par les coordonnées d’un point de la droite et résoudre l’équation dont c est l’inconnue.
(d) passe par A(6;2), on remplace x par 6 et y par 2 dans -2x+5y+c=0.
-2\times 6+5\times 2+c=0
-12+10+c=0
-2+c=0
c=2
Une équation cartésienne de d est -2x+5y+2=0
On veut déterminer une équation cartésienne de la droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(3;2) passant par A(4;-1).
On utilise le résultat du cours suivant : Une droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b) a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 où c est un nombre réel.
On remplace a par 3 et b par 2 dans l’équation ax+by+c=0.
Une équation cartésienne de d est de la forme :
3x+2y+c=0
Pour déterminer c, il faut remplacer x et y par les coordonnées d’un point de la droite et résoudre l’équation dont c est l’inconnue.
(d) passe par A(4;-1), on remplace x par 4 et y par -1 dans 3x+2y+c=0.
3\times 4+2\times (-1)+c=0
12-2+c=0
10+c=0
c=-10
Une équation cartésienne de d est 3x+2y-10=0
On donne A(2;3) et B(-1;-3).
On veut déterminer une équation cartésienne de d la droite perpendiculaire à (AB) passant par A.
On utilise le résultat du cours suivant : Une droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b) a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 où c est un nombre réel.
On va calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} qui est normal à la droite d.
Je repère les coordonnées des points A et B.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}A(2;3)\hspace{2cm}B(-1;-3)
J’écris la formule : \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AB}(-1-2;-3-3)
\overrightarrow{AB}(-3;-6)
On remplace a par -3 et b par -6 dans l’équation ax+by+c=0.
Une équation cartésienne de d est de la forme :
-3x-6y+c=0
Pour déterminer c, il faut remplacer x et y par les coordonnées d’un point de la droite et résoudre l’équation dont c est l’inconnue.
(d) passe par A(2;3), on remplace x par 2 et y par 3 dans -3x-6y+c=0.
-3\times 2-6\times 3+c=0
-6-18+c=0
-24+c=0
c=24
Une équation cartésienne de d est -3x-6y+24=0
Géogébra donne une autre équation cartésienne 3x+6y-24=0 qui se déduit de la précédente en multipliant par -1, c’est donc la même droite.
On donne A(2;3) , B(-1;-3) et C(4;1).
On veut déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de A dans le triangle (ABC).
Reformulons la question. On veut déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à (BC) passant par A.
On utilise le résultat du cours suivant : Une droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b) a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 où c est un nombre réel.
On va calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{CB} qui est normal à la hauteur issue de A.
Je repère les coordonnées des points C et B.
\hspace{2.1cm}x_{C}\hspace{0.2cm}y_{C}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}C(4;1)\hspace{2cm}B(-1;-3)
J’écris la formule : \overrightarrow{CB}(x_{B}-x_{C};y_{B}-y_{C})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{CB}(-1-4;-3-1)
\overrightarrow{CB}(-5;-4)
On remplace a par -5 et b par -4 dans l’équation ax+by+c=0.
Une équation cartésienne de la hauteur issue de A est de la forme :
-5x-4y+c=0
Pour déterminer c, il faut remplacer x et y par les coordonnées d’un point de la droite et résoudre l’équation dont c est l’inconnue.
La hauteur passe par A(2;3), on remplace x par 2 et y par 3 dans -5x-4y+c=0.
-5\times 2-4\times 3+c=0
-10-12+c=0
-22+c=0
c=22
Une équation cartésienne de la hauteur issue de A est -5x-4y+22=0
Géogébra donne une autre équation cartésienne 5x+4y-22=0 qui se déduit de la précédente en multipliant par -1, c’est donc la même droite.
On donne A(1;3) et B(-1;2).
On veut déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB].
Reformulons la question. On veut déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à (AB) passant par I le milieu de [AB].
On utilise le résultat du cours suivant : Une droite d de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b) a une équation cartésienne de la forme ax+by+c=0 où c est un nombre réel.
On va calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB} qui est normal à la médiatrice de [AB].
Je repère les coordonnées des points A et B.
\hspace{2.1cm}x_{A}\hspace{0.2cm}y_{A}\hspace{2cm}x_{B}\hspace{0.2cm}y_{B}
\hspace{1.8cm}A(1;3)\hspace{2cm}B(-1;2)
J’écris la formule : \overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AB}((-1)-1;2-3)
\overrightarrow{AB}(-2;-1)
On remplace a par -2 et b par -1 dans l’équation ax+by+c=0.
Une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] est de la forme :
-2x-1\times y+c=0
-2x-y+c=0
Pour déterminer c, il faut remplacer x et y par les coordonnées d’un point de la droite et résoudre l’équation dont c est l’inconnue.
La médiatrice de [AB] passe par I, le milieu de [AB].
Calculons les coordonnées de I.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.4cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(1;3) \hspace{0.4cm} B(-1;2)
On écrit la formule du cours :
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :(\frac {x_A+x_B}{2};\frac {y_A+y_B}{2})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {1+(-1)}{2};\frac {3+2}{2})
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (1-1)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 1-1/2, vous obtiendrez 0.5 car la machine calculera 1/2 en priorité ce qui est faux
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {0}{2};\frac {5}{2})
Donc I(0;\frac {5}{2})
On remplace x par 0 et y par \frac {5}{2} dans -2x-y+c=0.
-2\times 0-\frac {5}{2}+c=0
-\frac {5}{2}+c=0
c=\frac {5}{2}
Une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] est -2x-y+\frac {5}{2}=0
Géogébra donne une autre équation cartésienne 5x+4y-22=0 qui se déduit de la précédente en multipliant par -1, c’est donc la même droite.
Pour déterminer les coordonnées d’un vecteur normal \overrightarrow{n_2} à la droite d_2, on applique le résultat du cours suivant.
La droite d d’équation cartésienne ax+by+c=0 avec (a;b)\ne (0;0) admet le vecteur \overrightarrow{n}(a;b) pour vecteur normal.
d_2 a pour équation cartésienne 4x-6y-1=0\\a=4 et b=-6 donc \overrightarrow{n_2} a pour coordonnées (4;-6).
Pour montrer que les droites d_1 et d_2 sont perpendiculaires, on va montrer que les vecteurs \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} sont orthogonaux en montrant que leur produit scalaire est nul.
\overrightarrow{n_1}(3;2) et \overrightarrow{n_2}(4;-6).
On calcule \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_1} en utilisant xx'+yy'
\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_1}=3\times 4+2\times (-6)
\hspace{0.95cm}=12-12
\hspace{0.95cm}=0
Donc \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} sont orthogonaux.
Donc les droites d_1 et d_2 sont perpendiculaires.
On applique le résultat du cours :
C est un cercle de centre A(x_A;y_A) et de rayon r.
Une équation cartésienne de C est (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Comme A(1;3) et r=2
On remplace x_A par 1, y_A par 3 et r par 2 dans l’équation (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Une équation cartésienne de C est
(x-1)^2+(y-3)^2=2^2
c’est-à-dire (x-1)^2+(y-3)^2=4
On applique le résultat du cours :
C est un cercle de centre A(x_A;y_A) et de rayon r.
Une équation cartésienne de C est (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Comme A(-2;-5) et r=7
On remplace x_A par (-2) entre parenthèses, y_A par (-5) entre parenthèses et r par 7 dans l’équation (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Une équation cartésienne de C est
(x-(-2))^2+(y-(-5))^2=7^2
c’est-à-dire (x+2)^2+(y+5)^2=49
On applique le résultat du cours :
C est un cercle de centre A(x_A;y_A) et de rayon r.
Une équation cartésienne de C est (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Comme A(-1;0) et r=\sqrt{3}
On remplace x_A par (-1) entre parenthèses, y_A par 0 et r par \sqrt{3} dans l’équation
(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Une équation cartésienne de C est
(x-(-1))^2+(y-0)^2=\sqrt{3}^2
c’est-à-dire (x+1)^2+y^2=3
On applique le résultat du cours :
C est un cercle de centre A(x_A;y_A) et de rayon r.
Une équation cartésienne de C est (x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Comme A(0;5) et r=2
On remplace x_A par 0, y_A par 5 et r par 2 dans l’équation
(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.
Une équation cartésienne de C est
(x-0)^2+(y-5)^2=2^2
c’est-à-dire x^2+(y-5)^2=4
On veut déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB] avec A(1;3) et B(-1;5).
- Calculons les coordonnées du centre du cercle qui est le milieu de [AB].
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.4cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(1;3) \hspace{0.4cm} B(-1;5)
On écrit la formule du cours :
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :(\frac {x_A+x_B}{2};\frac {y_A+y_B}{2})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {1+(-1)}{2};\frac {3+5}{2})
On calcule. Si vous utilisez la calculatrice , tapez cette séquence de calcul (1-1)/2 en utilisant les parenthèses « invisibles » qui entourent le numérateur. Si vous tapez 1-1/2, vous obtiendrez 0.5 car la machine calculera 1/2 en priorité ce qui est faux
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {0}{2};\frac {8}{2})
Donc I(0;4)
2. Calculons le rayon du cercle. Pour cela calculons la distance AB.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(1;3) \hspace{0.4cm} B(-1;5)
On écrit la formule du cours :
AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AB=\sqrt {{((-1)-1)}^{2}+{(5-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AB=\sqrt {{(-2)}^{2}+{2}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AB=\sqrt {4+4}
On effectue ensuite la somme
AB=\sqrt {8}
AB=\sqrt {4\times 2}
AB=\sqrt {4}\times {\sqrt {2}}
AB=2\sqrt {2}
Donc le rayon mesure \frac{2\sqrt {2}}{2} c’est-à-dire \sqrt {2}.
3. Déterminons une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB]
On applique le résultat du cours :
C est un cercle de centre I(x_I;y_I) et de rayon r.
Une équation cartésienne de C est (x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2.
Comme I(0;4) et r=\sqrt {2}
On remplace x_I par 0, y_I par 4 et r par \sqrt {2} dans l’équation (x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2.
Une équation cartésienne de C est
(x-0)^2+(y-4)^2=\sqrt {2}^2
c’est-à-dire x^2+(y-4)^2=2
On veut déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB] avec A(0;3) et B(4;-1).
- Calculons les coordonnées du centre du cercle qui est le milieu de [AB].
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.4cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.8cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(0;3) \hspace{0.4cm} B(4;-1)
On écrit la formule du cours :
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :(\frac {x_A+x_B}{2};\frac {y_A+y_B}{2})
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {0+4}{2};\frac {3+(-1)}{2})
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées : (\frac {4}{2};\frac {2}{2})
Donc I(2;1)
2. Calculons le rayon du cercle. Pour cela calculons la distance AB.
On n’hésite pas à repérer les coordonnées des points A et B ainsi
\hspace{0.6cm} x_{A} y_{A} \hspace{0.6cm} x_{B} y_{B}
\hspace{0.2cm} A(0;3) \hspace{0.4cm} B(4;-1)
On écrit la formule du cours :
AB=\sqrt {{(x_B-x_A) }^{2}+{(y_B-y_A) }^{2}}
Et on prend soin de bien remplacer les lettres par les bons nombres. Dans le cas d’un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
AB=\sqrt {{(4-0)}^{2}+{((-1)-3)}^{2}}
On calcule. On effectue d’abord ce qu’il y a entre parenthèses
AB=\sqrt {{4}^{2}+{(-4)}^{2}}
On effectue ensuite les puissances, ici les carrés.
AB=\sqrt {16+16}
On effectue ensuite la somme
AB=\sqrt {32}
AB=\sqrt {16\times 2}
AB=\sqrt {16}\times {\sqrt {2}}
AB=4\sqrt {2}
Donc le rayon mesure \frac{4\sqrt {2}}{2} c’est-à-dire 2\sqrt {2}.
3. Déterminons une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB]
On applique le résultat du cours :
C est un cercle de centre I(x_I;y_I) et de rayon r.
Une équation cartésienne de C est (x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2.
Comme I(2;1) et r=2\sqrt {2}
On remplace x_I par 2, y_I par 1 et r par 2\sqrt {2} dans l’équation (x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2.
Une équation cartésienne de C est
(x-2)^2+(y-1)^2=(2\sqrt {2})^2
(x-2)^2+(y-1)^2=2^2\times \sqrt {2}^2
(x-2)^2+(y-1)^2=4\times 2
(x-2)^2+(y-1)^2=8
Compléter x^2-4x=(x-…)^2-…
x^2-4x est le début de a^2-2ab+b^2
a^2=x^2 donc a=x
2ab=4x donc b=\frac{4x}{2a}=\frac{4x}{2x}=2
On remplace a par x et b par 2 dans
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.
x^2-4x+2^2=(x-2)^2
x^2-4x+4=(x-2)^2
x^2-4x=(x-2)^2-4.
Compléter y^2+6y=(y+…)^2-…
y^2+6y est le début de a^2+2ab+b^2
a^2=y^2 donc a=y
2ab=6y donc b=\frac{6y}{2a}=\frac{6y}{2y}=3
On remplace a par y et b par 3 dans
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.
y^2+6y+3^2=(y+3)^2
y^2+6y+9=(y+3)^2
y^2+6y=(y+3)^2-9.
Voici une équation cartésienne d’un ensemble C :
x^2+y^2-4x+6y=18.
On veut montrer que cette équation peut s’écrire comme une équation cartésienne d’un cercle de centre I et de rayon r c’est-à-dire (x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2
On remplace x^2-4x par (x-2)^2-4 et y^2+6y par (y+3)^2-9 dans x^2+y^2-4x+6y=18.
(x-2)^2-4+(y+3)^2-9=18
On réduit
(x-2)^2+(y+3)^2-13=18
On ajoute 13 de chaque côté
(x-2)^2+(y+3)^2=18+13
(x-2)^2+(y-(-3))^2=31
(x-2)^2+(y-(-3))^2=\sqrt{31}
Voici une équation cartésienne d’un cercle de centre I(2;-3) et de rayon \sqrt{31}.
Compléter x^2-2x=(x-…)^2-…
x^2-2x est le début de a^2-2ab+b^2
a^2=x^2 donc a=x
2ab=2x donc b=\frac{2x}{2a}=\frac{2x}{2x}=1
On remplace a par x et b par 1 dans
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.
x^2-2x+1^2=(x-1)^2
x^2-2x+1=(x-1)^2
x^2-2x=(x-1)^2-1.
Compléter y^2+8y=(y+…)^2-…
y^2+8y est le début de a^2+2ab+b^2
a^2=y^2 donc a=y
2ab=8y donc b=\frac{8y}{2a}=\frac{8y}{2y}=4
On remplace a par y et b par 4 dans
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.
y^2+8y+4^2=(y+4)^2
y^2+8y+16=(y+4)^2
y^2+8y=(y+4)^2-16.
Voici une équation cartésienne d’un ensemble C :
x^2+y^2-2x+8y-6=0.
On veut montrer que cette équation peut s’écrire comme une équation cartésienne d’un cercle de centre I et de rayon r c’est-à-dire (x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2
On remplace x^2-2x par (x-1)^2-1 et y^2+8y par (y+4)^2-16 dans
x^2+y^2-2x+8y-6=0.
(x-1)^2-1+(y+4)^2-16-6=0
On réduit
(x-1)^2+(y+4)^2-23=0
On ajoute 23 de chaque côté
(x-1)^2+(y-(-4))^2=23
(x-1)^2+(y-(-4))^2=\sqrt{23}^2
Voici une équation cartésienne d’un cercle de centre I(1;-4) et de rayon \sqrt{23}.
Compléter x^2+x=(x+…)^2-…
x^2+x est le début de a^2+2ab+b^2
a^2=x^2 donc a=x
2ab=x donc b=\frac{x}{2a}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}
On remplace a par x et b par \frac{1}{2} dans
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.
x^2+x+(\frac{1}{2})^2=(x+\frac{1}{2})^2\\x^2+x+\frac{1}{4}=(x+\frac{1}{2})^2
x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}.
Voici une équation cartésienne d’un ensemble C :
x^2+y^2+x=0.
On veut montrer que cette équation peut s’écrire comme une équation cartésienne d’un cercle de centre I et de rayon r c’est-à-dire (x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2
On remplace x^2+x par (x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4} dans
x^2+y^2+x=0.
(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+y^2=0
On ajoute \frac{1}{4} de chaque côté
(x-(-\frac{1}{2}))^2+y^2=\frac{1}{4}\\(x-(-\frac{1}{2}))^2+y^2=(\frac{1}{2})^2
Voici une équation cartésienne d’un cercle de centre I(-\frac{1}{2};0) et de rayon \frac{1}{2}.