Définitions
Définition n°1
La fonction sinus est la fonction qui, à tout nombre x réel, associe sin(x).
Exercice n°1
A l’aide de la courbe ci-dessus, déterminer graphiquement sin(-2\pi), sin(-\frac{3\pi}{2}), sin(0) et sin(\frac{3\pi}{2}).
Puis utiliser le cercle trigonométrique ci-contre pour confirmer vos résultats.
Définition n°2
La fonction cosinus est la fonction qui, à tout nombre x réel, associe cos(x).
Exercice n°2
A l’aide de la courbe ci-dessus, déterminer graphiquement cos(-2\pi), cos(-\frac{3\pi}{2}), cos(0) et cos(\frac{3\pi}{2}).
Puis utiliser le cercle trigonométrique ci-contre pour confirmer vos résultats.
Parité et périodicité
Propriété n°1
On voit bien sur le cercle que les points M et M' respectivement associés aux réels x et -x ont des ordonnées opposées, donc :
sin(-x)=-sin(x).
On dit que la fonction sinus est impaire.
La fonction sinus est impaire, cela se traduit graphiquement par : l’origine du repère est centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction sinus.
En effet quel que soit le point M sur la courbe, O sera toujours le milieu de [MM'].
Propriété n°2
On voit bien sur le cercle que les points M et M' respectivement associés aux réels x et -x ont mêmes abscisses, donc :
cos(-x)=cos(x).
On dit que la fonction cosinus est paire.
La fonction cosinus est paire, cela se traduit graphiquement par : l’axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction cosinus.
En effet quel que soit le point M sur la courbe, l’axe des ordonnées sera toujours la médiatrice de [MM'].
Exercice n°3
Etudier la parité des fonctions suivantes sur \mathbf{R}
- f(x)=2sin(x)cos(x)
2. f(x)=cos^2(x)-sin^2(x)
3. f(x)=sin(x)(2cos(x)+3)
4. f(x)=sin(x)+cos(x)
Propriété n°3
La fonction sinus est périodique de période 2\pi pour tout réel x, sin(x+2\pi) = sin(x)
Conséquence graphique
Il suffit de tracer une partie de la courbe de la fonction sinus sur un intervalle de longueur 2\pi par exemple [0;2\pi] (comme c’est le cas ci-dessous) en rouge. Puis comme pour une frise, on reporte ce motif à l’infini pour obtenir la courbe sur \mathbf{R} tout en entier.
Propriété n°4
La fonction cosinus est périodique de période 2\pi pour tout réel x, cos(x+2\pi) = cos(x)
Conséquence graphique
Il suffit de tracer une partie de la courbe de la fonction cosinus sur un intervalle de longueur 2\pi par exemple [0;2\pi] (comme c’est le cas ci-dessous) en rouge. Puis comme pour une frise, on reporte ce motif à l’infini pour obtenir la courbe sur \mathbf{R} tout en entier.
Conséquence graphique.
Exercice n°4
Dans chaque cas, montrer que la fonction f est de période T.
- f(x)=2sin(x)cos(x) , T=2\pi
2. f(x)=cos(2x) , T=\pi
3. f(x)=sin(3x) , T=\frac{2\pi}{3}
4. f(x)=sin(\frac{2\pi}{5}x) , T=5
Prolongement : variations des fonctions trigonométriques.
On va s’intéresser aux variations de la fonction cosinus sur l’intervalle [0;2\pi].
Déplacer le point M de la courbe de la gauche vers la droite. Observer comment varie l’ordonnée de ce point en regardant les coordonnées du point M dans la colonne de gauche.
Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de la fonction cosinus sur l’intervalle [0;2\pi].
On va s’intéresser aux variations de la fonction sinus sur l’intervalle [0;2\pi].
Déplacer le point M de la courbe de la gauche vers la droite. Observer comment varie l’ordonnée de ce point en regardant les coordonnées du point M dans la colonne de gauche.
Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de la fonction sinus sur l’intervalle [0;2\pi].
Le point de la courbe d’abscisse -2\pi a pour coordonnées (-2\pi;0) donc l’image de -2\pi est 0.
Donc sin(-2\pi)=0.
Le point du cercle associé à -2\pi est le point I et a pour coordonnées (1;0)
Donc sin(-2\pi)=0.
Le point de la courbe d’abscisse -\frac{3\pi}{2} a pour coordonnées (-\frac{3\pi}{2};1) donc l’image de -\frac{3\pi}{2} est 1.
Donc sin(-\frac{3\pi}{2})=1.
Le point du cercle associé à -\frac{3\pi}{2} a pour coordonnées (0;1)
Donc sin(-\frac{3\pi}{2})=1.
Le point de la courbe d’abscisse 0 a pour coordonnées (0;0) donc l’image de 0 est 0.
Donc sin(0)=0.
Le point du cercle associé à 0 est le point I et a pour coordonnées (1;0)
Donc sin(0)=0.
Le point de la courbe d’abscisse \frac{3\pi}{2} a pour coordonnées (\frac{3\pi}{2};-1) donc l’image de \frac{3\pi}{2} est -1.
Donc sin(\frac{3\pi}{2})=-1.
Le point du cercle associé à \frac{3\pi}{2} a pour coordonnées (0;-1)
Donc sin(\frac{3\pi}{2})=-1.
Le point de la courbe d’abscisse -2\pi a pour coordonnées (-2\pi;1) donc l’image de -2\pi est 1.
Donc cos(-2\pi)=1.
Le point du cercle associé à -2\pi est le point I et a pour coordonnées (1;0)
Donc cos(-2\pi)=1.
Le point de la courbe d’abscisse -\frac{3\pi}{2} a pour coordonnées (-\frac{3\pi}{2};0) donc l’image de -\frac{3\pi}{2} est 0.
Donc cos(-\frac{3\pi}{2})=0.
Le point du cercle associé à -\frac{3\pi}{2} a pour coordonnées (0;1)
Donc cos(-\frac{3\pi}{2})=0.
Le point de la courbe d’abscisse 0 a pour coordonnées (0;1) donc l’image de 0 est 1.
Donc cos(0)=1.
Le point du cercle associé à 0 est le point I et a pour coordonnées (1;0)
Donc cos(0)=1.
Le point de la courbe d’abscisse \frac{3\pi}{2} a pour coordonnées (\frac{3\pi}{2};0) donc l’image de \frac{3\pi}{2} est 0.
Donc cos(\frac{3\pi}{2})=0.
Le point du cercle associé à \frac{3\pi}{2} a pour coordonnées (0;-1)
Donc cos(\frac{3\pi}{2})=0.
Pour déterminer si une fonction f est paire, impaire ou ni l’un, ni l’autre.
étape n°1 : je m’assure que l’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0. C’est presque toujours le cas.
\mathbf{R} est symétrique par rapport 0, on peut étudier la parité de f.
étape n°2 : je calcule f(-x) en remplaçant tous les x par (-x) entre parenthèses dans f(x)= et je calcule.
f(-x)=2sin(-x)cos(-x)
La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire donc
f(-x)=-2sin(x)cos(x)\\f(-x)=-f(x)
étape n°3 : je compare le résultat obtenu à f(x), -f(x).
Si j’obtiens f(x), la fonction f est paire.
Si j’obtiens -f(x), la fonction f est impaire.
Si j’obtiens ni f(x), ni -f(x) la fonction f n’est ni paire, ni impaire.
Donc la fonction f est impaire sur \mathbf{R}
Pour déterminer si une fonction f est paire, impaire ou ni l’un, ni l’autre.
étape n°1 : je m’assure que l’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0. C’est presque toujours le cas.
\mathbf{R} est symétrique par rapport 0, on peut étudier la parité de f.
étape n°2 : je calcule f(-x) en remplaçant tous les x par (-x) entre parenthèses dans f(x)= et je calcule.
f(-x)=sin^2(-x)-cos^2(-x)
La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire donc
f(-x)=(-sin(x))^2-cos^2(x)\\f(-x)=sin^2(x)-cos^2(x)\\f(-x)=f(x)
étape n°3 : je compare le résultat obtenu à f(x), -f(x).
Si j’obtiens f(x), la fonction f est paire.
Si j’obtiens -f(x), la fonction f est impaire.
Si j’obtiens ni f(x), ni -f(x) la fonction f n’est ni paire, ni impaire.
Donc la fonction f est paire sur \mathbf{R}
Pour déterminer si une fonction f est paire, impaire ou ni l’un, ni l’autre.
étape n°1 : je m’assure que l’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0. C’est presque toujours le cas.
\mathbf{R} est symétrique par rapport 0, on peut étudier la parité de f.
étape n°2 : je calcule f(-x) en remplaçant tous les x par (-x) entre parenthèses dans f(x)= et je calcule.
f(-x)=sin(-x)(2cos(-x)+3)
La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire donc
f(-x)=-2sin(x)(2cos(x)+3)\\f(-x)=-f(x)
étape n°3 : je compare le résultat obtenu à f(x), -f(x).
Si j’obtiens f(x), la fonction f est paire.
Si j’obtiens -f(x), la fonction f est impaire.
Si j’obtiens ni f(x), ni -f(x) la fonction f n’est ni paire, ni impaire.
Donc la fonction f est impaire sur \mathbf{R}
Pour déterminer si une fonction f est paire, impaire ou ni l’un, ni l’autre.
étape n°1 : je m’assure que l’ensemble de définition de la fonction f est symétrique par rapport à 0. C’est presque toujours le cas.
\mathbf{R} est symétrique par rapport 0, on peut étudier la parité de f.
étape n°2 : je calcule f(-x) en remplaçant tous les x par (-x) entre parenthèses dans f(x)= et je calcule.
f(-x)=sin(-x)+cos(-x)
La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire donc
f(-x)=-sin(x)+cos(x)
étape n°3 : je compare le résultat obtenu à f(x), -f(x).
Si j’obtiens f(x), la fonction f est paire.
Si j’obtiens -f(x), la fonction f est impaire.
Si j’obtiens ni f(x), ni -f(x) la fonction f n’est ni paire, ni impaire.
f(-x) n’est ni égal à f(x), ni égal à -f(x)
Donc la fonction f n’est ni paire, ni impaire sur \mathbf{R}
Pour montrer que f est périodique de période T.
On calcule f(x+T) en remplaçant x par (x+T) entre parenthèses dans f(x)= . Puis on montre que c’est égal à f(x)
f(x+\pi)=cos(2(x+\pi))
On développe
f(x+\pi)=cos(2x+2\pi)
Comme la fonction cosinus est de période 2\pi:
f(x+\pi)=cos(2x)\\f(x+\pi)=f(x)
Donc f est périodique de période \pi.
Pour montrer que f est périodique de période T.
On calcule f(x+T) en remplaçant x par (x+T) entre parenthèses dans f(x)= . Puis on montre que c’est égal à f(x)
f(x+\frac{2\pi}{3})=sin(3(x+\frac{2\pi}{3}))
On développe
f(x+\frac{2\pi}{3})=sin(3x+3\times{\frac{2\pi}{3}})\\f(x+\frac{2\pi}{3})=sin(3x+2\pi)
Comme la fonction sinus est de période 2\pi:
f(x+\frac{2\pi}{3})=sin(3x)\\f(x+\frac{2\pi}{3})=f(x)
Donc f est périodique de période \frac{2\pi}{3}.
Pour montrer que f est périodique de période T.
On calcule f(x+T) en remplaçant x par (x+T) entre parenthèses dans f(x)= . Puis on montre que c’est égal à f(x)
f(x+5)=sin(\frac{2\pi}{5}(x+5))
On développe
f(x+5)=sin(\frac{2\pi}{5}x+\frac{2\pi}{5}\times 5))\\f(x+5)=sin(\frac{2\pi}{5}x+2\pi)
Comme la fonction sinus est de période 2\pi:
f(x+5)=sin(\frac{2\pi}{5}x)\\f(x+5)=f(x)
Donc f est périodique de période 5.
Voici le tableau de variations de la fonction cosinus sur l’intervalle [0;2\pi].
Voici le tableau de variations de la fonction sinus sur l’intervalle [0;2\pi].
