Définition
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre p dont le succès est noté S. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de répétitions nécessaires de cette épreuve de Bernoulli avant l’obtention d’un premier succès S. Cette variable aléatoire prend des valeurs entières non nulles.
La loi de probabilité de X est appelée loi géométrique de paramètre p.
Propriété 1
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p.
Pour tout entier k\geq 1 , p(X=k)=p(1-p)^{k-1}
Exemple n°1
On jette un dé non pipé.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le 6.
- Calculer la probabilité d’obtenir le 6 au bout de 2 lancers.
2. Calculer la probabilité d’obtenir le 6 au bout de 5 lancers.
Exemple n°2
On lance une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d’obtenir pile est égale à 0.4.
On répète cette expérience jusqu’à obtenir pile.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile.
- Calculer la probabilité d’obtenir pile au bout de 4 lancers.
2. Calculer la probabilité d’obtenir pile au bout de 6 lancers.
Propriété 2
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p.
L’espérance de X est E(X)=\frac{1}{p}
Question
Calculer l’espérance pour les variables aléatoires des exemples n°1 et n°2.
Propriété 3
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p.
Pour tout entier n\geq 1 , p(X>n)=(1-p)^n.
Démonstration
- Justifier que p(X\leq n)=p+p(1-p)+p(1-p)^2+…+p(1-p)^{n-1}
2. En déduire que p(X\leq n)=1-(1-p)^{n}
3. Conclure.
Propriété 4 :
La loi géométrique de paramètre p est une loi de probabilté sans mémoire, autrement dit, pour tous entiers naturels non nuls m et n , p_{X>m}(X>m+n)=p(X>n).
Exemple n°3
Quand on joue au jeu des petits chevaux, il faut faire un six avec un dé pour sortir de l’écurie.
François a déjà lancé le dé huit fois sans obtenir de six.
Quelle est la probabilté que le six sorte au moins au onzième lancer ?
On jette un dé à six faces.
Le succès est : obtenir le six, et sa probabilité est \frac{1}{6}.
On note X la variable aléatoire comptant le nombre de répétitions nécessaires de cette épreuve de Bernoulli avant l’obtention d’un premier succès S.
La loi de probabilité est la suivante :
p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
On calcule p(X=2) en remplaçant k par 2, p par \frac{1}{6} et 1-p par \frac{5}{6} dans p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
p(X=2)=\frac{1}{6}\times (\frac{5}{6})^{2-1}\\\hspace{1.5cm}=\frac{1}{6}\times (\frac{5}{6})^{1}\\\hspace{1.5cm}=\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}\\\hspace{1.5cm}=\frac{5}{36}\\\hspace{1.5cm}=0.1389
On jette un dé à six faces.
Le succès est : obtenir le six, et sa probabilité est \frac{1}{6}.
On note X la variable aléatoire comptant le nombre de répétitions nécessaires de cette épreuve de Bernoulli avant l’obtention d’un premier succès S.
La loi de probabilité est la suivante :
p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
On calcule p(X=5) en remplaçant k par 5, p par \frac{1}{6} et 1-p par \frac{5}{6} dans p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
p(X=5)=\frac{1}{6}\times (\frac{5}{6})^{5-1}\\\hspace{1.5cm}=\frac{1}{6}\times (\frac{5}{6})^{4}\\\hspace{1.5cm}=\frac{1}{6}\times \frac{625}{1296}\\\hspace{1.5cm}=\frac{625}{7776}\\\hspace{1.5cm}=0.0804
On lance une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d’obtenir pile est égale à 0.4.
On répète cette expérience jusqu’à obtenir pile.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile.
- Calculer la probabilité d’obtenir pile au bout de 4 lancers.
La loi de probabilité est la suivante :
p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
On calcule p(X=4) en remplaçant k par 4, p par 0.4 et 1-p par 0.6 dans p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
p(X=4)=0.4\times 0.6^{4-1}\\\hspace{1.5cm}=0.4\times 0.6^{3}\\\hspace{1.5cm}=0.4\times 0.216\\\hspace{1.5cm}=0.0864
On lance une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d’obtenir pile est égale à 0.4.
On répète cette expérience jusqu’à obtenir pile.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile.
2. Calculer la probabilité d’obtenir pile au bout de 6 lancers.
La loi de probabilité est la suivante :
p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
On calcule p(X=6) en remplaçant k par 6, p par 0.4 et 1-p par 0.6 dans p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
p(X=6)=0.4\times 0.6^{6-1}\\\hspace{1.5cm}=0.4\times 0.6^{5}\\\hspace{1.5cm}=0.4\times 0.07776\\\hspace{1.5cm}=0.031104
X une variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre \frac{1}{6}.
L’espérance de X est :
E(X)=\frac{1}{\frac{1}{6}}\\\hspace{1cm}=1\times\frac{6}{1} \\\hspace{1cm}=6 .
X une variable aléatoire qui suit loi géométrique de paramètre 0.4.
L’espérance de X est :
E(X)=\frac{1}{0.4}\\\hspace{1cm}=2.5
On veut justifier que p(X\leq n)=p+p(1-p)+p(1-p)^2+…+p(1-p)^{n-1}.
p(X\leq n)=p(X=1)+p(X=2)+…+p(X=n)
On utilise la formule du cours suivante : p(X=k)=p(1-p)^{k-1}.
p(X\leq n)=p(1-p)^{1-1}+p(1-p)^{2-1}+…+p(1-p)^{n-1}
p(X\leq n)=p(1-p)^{0}+p(1-p)^{1}+…+p(1-p)^{n-1}
p(X\leq n)=p+p(1-p)+…+p(1-p)^{n-1}
En déduire que p(X\leq n)=1-(1-p)^{n}
On a montré précédemment que :
p(X\leq n)=p+p(1-p)+…+p(1-p)^{n-1}
On met p en facteur dans le second membre p+p(1-p)+…+p(1-p)^{n-1}.
p(X\leq n)=p\times (1+(1-p)+…+(1-p)^{n-1})
1+(1-p)+…+(1-p)^{n-1} est la somme des n premiers termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1-p.
On remplace u_0 par 1 et q par 1-p dans la formule u_0 \times \frac{1-q^n}{1-q}.
p(X\leq n)=p\times (1 \times \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)})
p(X\leq n)=p\times \frac{1-(1-p)^n}{p}
p(X\leq n)=1-(1-p)^n
p(X> n)=1-p(X\leq n)
On a montré que p(X\leq n)=1-(1-p)^{n}.On peut donc remplacer p(X\leq n) par 1-(1-p)^{n}.
p(X> n)=1-(1-(1-p)^{n})\\\hspace{1.6cm}=1-1+(1-p)^{n}\\\hspace{1.6cm}=(1-p)^{n}
Quand on joue au jeu des petits chevaux, il faut faire un six avec un dé pour sortir de l’écurie.
François a déjà lancé le dé huit fois sans obtenir de six. Quelle est la probabilté que le six sorte au moins au onzième lancer ?
On lance un dé, on décide que le succès est : obtenir un six. C’est une épreuve de Bernoulli avec la probabilité du succès qui vaut p=\frac{1}{6}.
On répète cette épreuve de façon indépendante et on obtient un schéma de Bernoulli.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers avant d’obtenir le 6. C’est une loi géométrique de paramètre p=\frac{1}{6}.
François a déjà lancé le dé huit fois sans obtenir de six. Quelle est la probabilté que le six sorte au moins au onzième lancer ?
On reformule
Sachant que rançois a déjà lancé le dé huit fois sans obtenir de six, quelle est la probabilté que le six sorte au moins au onzième lancer ?
Puis on traduit la phrase en langage mathématique et on applique la propriété du cours :
p_{X>8}(X>10)=p(X>2)\\\hspace{2.28cm}=1-p(X=1)-p(X=2)\\\hspace{2.28cm}=1-\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}^0 -\frac{1}{6}\times \frac{5}{6}^1\\\hspace{2.28cm}=1-\frac{1}{6}-\frac{5}{36}\\\hspace{2.28cm}=1-\frac{11}{36}\\\hspace{2.28cm}=\frac{25}{36}\\\hspace{2.28cm}=0.6944