Sommaire
- 1. Généralités
- 2. Equation de la forme y’=f
- 3. Existence et calcul de primitives
- 3.1. Théorème : (existence des primitives )
- 3.2. Théorème : (ensemble des primitives et conditions initiales)
- 3.3. Théorème : (primitive de f+g et primitive de k.f)
- 3.4. Propriétés :
- 3.5. Exercice n°2: Déterminer une primitive quand la fonction est une somme
- 3.6. Exercice n°3: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme 2u’u
- 3.7. Exercice n°4 : Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’.e^u
- 3.8. Exercice n°5: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’/u
- 3.9. Exercice n°6: Déterminer une primitive vérifiant une condition initiale
- 3.10. Vérification des résultats obtenus aux exercices à l’aide du Calcul Formel de Géogébra
- 4. Résolution des équations différentielles
- 4.1. Théorème : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay)
- 4.2. Exercice n°7: résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay sans condition initiale
- 4.3. Exercice n°8 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay avec condition initiale
- 4.4. Théorème : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay+b)
- 4.5. Exercice n°9 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+b sans condition initiale
- 4.6. Exercice n°10 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+b avec condition initiale
Généralités
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue ( représentée par la lettre y) est une fonction.
L’égalité peut comporter comme toute équation, le signe égal, la fonction inconnue notée y, éventuellement des dérivées successives y', y^{''}, …d’autres fonctions, des nombres et des opérations.
Exemple n°1 : y'=2x est une équation différentielle.
Exemple n°2 : y'=3x^2 est une équation différentielle.
Exemple n°3 : soit y'-y=0 est une équation différentielle.
Exemple n°4 : y'=2y est une équation différentielle.
Exemple n°5 : soit y'=3y+1 est une équation différentielle.
Equation de la forme y’=f
Définition : primitives d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f toute fonction dérivable sur I solution de l’équation y'=f.
Remarque : on a coutume d’appeler F la primitive de f et on a alors F'(x)=f(x).
Exercice n°1
Vérifier que la fonction F est une primitive de f dans chaque cas, ce qui revient à montrer que F est solution de l’équation différentielle y'=f.
a) f(x)=2x-5 et F(x)=x^2-5x+6 définies sur \mathbf{R}
b) f(x)=3x^2-3x et F(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+9 définies sur \mathbf{R}
c) f(x)=\frac{2x}{x^2+1} et F(x)=ln(x^2+1) définies sur \mathbf{R}
d) f(x)=(x+1)e^x et F(x)=xe^x définies sur \mathbf{R}
e) f(x)=12x(3x^2-1) et F(x)=(3x^2-1)^2 définies sur \mathbf{R}
Vérification des résultats obtenus aux exercices à l’aide du Calcul Formel de Géogébra
Pour calculer, par exemple, la dérivée de F(x)=x^2-5x+6
Saisir x^2-5x+6 sur la ligne 1, cliquer sur le neuvième onglet :f'. Apparaît alors : Dérivée 2x-5
Existence et calcul de primitives
Théorème : (existence des primitives )
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Théorème : (ensemble des primitives et conditions initiales)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et admettant une primitive F. Alors toutes les primitives de f sont de la forme F+k où k est une constante réelle.
Quelque soient x_0 et y_0 , il existe une unique primitive qui vérifie F(x_0)=y_0 .
Théorème : (primitive de f+g et primitive de k.f)
Soient f et g deux fonctions admettant les primitives F et G sur un intervalle I.
La fonction F+G est une primitive de f+g sur I .
Soit k un réel, la fonction kF est une primitive de kf sur I.
Propriétés :
1.Tableau des primitives des fonctions usuelles
| La fonction f(x) | a pour primitive F(x) | sur l’intervalle |
| f(x)=k | F(x)=kx | \mathbf{R} |
| f(x)=x | F(x)=\frac{x^2}{2} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^2 | F(x)=\frac{x^3}{3} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n>0 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n<-1 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=-\frac{1}{x^2} | F(x)=\frac{1}{x} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{x} | F(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} | F(x)=2\sqrt{x} | ]0;+\infty[ |
| f(x)=e^x | F(x)=e^x | \mathbf{R} |
2. Primitives et opérations
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
Exercice n°2: Déterminer une primitive quand la fonction est une somme
Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.
a. f(x)=3x^2+2x pour x \in \mathbf{R}.
b. f(x)=5x^2-3x+2 pour x \in \mathbf{R}.
c. f(x)=x^3+2x+1 pour x \in \mathbf{R}.
d. f(x)=3x^3-3x^2+x pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°3: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme 2u’u
Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.
a. f(x)=6x^2(x^3+5) pour x \in \mathbf{R}.
b. f(x)=e^x(e^x+1) pour x \in \mathbf{R}.
c. f(x)=e^{2x}(e^{2x}-1) pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°4 : Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’.e^u
Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.
a. f(x)=4xe^{2x^2+1} pour x \in \mathbf{R}.
b. f(x)=e^{2x+1} pour x \in \mathbf{R}.
c. f(x)=(2x+4) e^{x^2+4x+1} pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°5: Déterminer une primitive quand la fonction est de la forme u’/u
Déterminer une primitive F des fonctions suivantes.
a. f(x)=\frac{2x}{(x^2+1)} pour x \in \mathbf{R}.
b. f(x)=\frac{5}{2x+1} pour x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[.
c. f(x)=\frac{e^x}{e^x+2} pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°6: Déterminer une primitive vérifiant une condition initiale
Dans chaque cas, déterminer la primitive F vérifiant F(x_0)=y_0.
a. f(x)=2x^3+x^2-1 pour x \in \mathbf{R} et x_0=0 et y_0=-1
b. f(x)=(2x+1)(x^2+x+3) pour x \in \mathbf{R} et x_0=1 et y_0=\frac{1}{2}.
c. f(x)=2xe^{3x^2} pour x \in \mathbf{R} et x_0=0 et y_0=\frac{4}{3}.
d. f(x)=\frac{3}{3x+1} pour x \in ]-\frac{1}{3};+\infty[ et x_0=2 et y_0=ln(2) .
Vérification des résultats obtenus aux exercices à l’aide du Calcul Formel de Géogébra
Pour trouver l’ensemble des primitives de f(x)=x^2-5x+1
Saisir x^2-5x+1 sur la ligne 1, cliquer sur le dixième onglet :\int. Apparaît alors : Intégrale \frac{1}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+x+c_1 qui est une primitive de f(x).
Remarque c_1 représente une constante réelle. Lorsqu’on fait varier c_1 , on obtient toutes les primitives de f .
Résolution des équations différentielles
Théorème : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay)
Les équations différentielles de la forme y'=ay où a est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.
Pour tous x_0 et y_0 deux réels donnés, il existe une unique solution f vérifiant f(x_0)=y_0.
Exercice n°7: résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay sans condition initiale
Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle
a. y'=2y.
b. 3y'=-12y.
c. 4y'+3y=0 pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°8 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay avec condition initiale
Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle puis trouver la solution qui vérifie la condition intiale.
a. Déterminer la solution f de l’équation y'=y telle que f(1)=e.
b. Déterminer la solution f de l’équation y'=-10y qui prend la valeur \frac{2}{e} en -0.1.
c. Déterminer la solution f de l’équation 2y'+5y=0 qui prend la valeur 1 en 2.
Théorème : (résoudre une équation différentielle de la forme y’=ay+b)
Les équations différentielles de la forme y'=ay+b où a est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.
Pour tous x_0 et y_0 deux réels donnés, il existe une unique solution f vérifiant f(x_0)=y_0.
Exercice n°9 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+b sans condition initiale
Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle
a. y'=-y+2.
b. 3y'-6y=12.
c. 4y'+3y-4=0 pour x \in \mathbf{R}.
Exercice n°10 : résoudre des équations différentielles de la forme y’=ay+b avec condition initiale
Dans chaque cas, résoudre l’équation différentielle puis trouver la solution qui vérifie la condition intiale.
a. Déterminer la solution f de l’équation y'=2y-5 telle que f(1)=e.
b. Déterminer la solution f de l’équation 3y'-12y=6 qui prend la valeur \frac{2}{e} en -0.25.
c. Déterminer la solution f de l’équation 2y'+y-1=0 qui prend la valeur 1 en 2.
f(x)= 2x-5 et F(x)= x^2-5x+6 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer F'(x).
On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^2 , -5x et 6.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
| e^u | u'e^u |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , -5x et 6 en utilisant les tableaux.
Je calcule la dérivée de x^2.
(x^2)'=2x
Je calcule la dérivée de -5x
(-5x)'=-5\times (x)'
(-5x)'=-5\times 1
(-5x)'=-5
Je calcule la dérivée de 6 .
(6)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
F'(x)= (x^2-5x+6)'\\F'(x)= (x^2)'-(5x)'+(6)'\\F'(x)= 2x-5
Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y'=f.
f(x)=3x^2-3x et F(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+9 définies sur \mathbf{R}
On veut calculer F'(x).
On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^3 , -\frac{3}{2}x^2 et 9.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
| e^u | u'e^u |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^3 , -\frac{3}{2}x^2 et 9 en utilisant les deux tableaux.
Je calcule la dérivée de x^3.
(x^3)'=3x^2
Je calcule la dérivée de -\frac{3}{2}x^2
(-\frac{3}{2}x^2)'=-\frac{3}{2}\times (x^2)'
\hspace{1.35cm}=-\frac{3}{2}\times 2x
\hspace{1.35cm}=-3x
Je calcule la dérivée de 9 .
(9)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
F'(x)= (x^3-\frac{3}{2}x^2+9)'\\\hspace{0.95cm}= (x^3)'-(\frac{3}{2}x^2)'+(9)'\\\hspace{0.95cm}= 3x^2-\frac{3}{2}\times (x^2)'+0\\\hspace{0.95cm}= 3x^2-\frac{3}{2}\times 2x\\\hspace{0.95cm}= 3x^2-3x
Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y'=f.
f(x)= \frac{2x}{x^2+1} et F(x)= ln(x^2+1) pour x\in \mathbf{R}.
On veut calculer F'(x).
On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou ln(u(x)) ?
C’est de la forme ln(u(x)) avec u(x)=x^2+1.
D’après le cours : La fonction ln(u):x\rightarrow ln(u(x)) est dérivable et (ln(u))'(x)= \frac{u'(x)}{u(x)}
Calcul de u'(x)
u'(x)=(x^2+1)'
u'(x)=(x^2)'+(1)'
u'(x)=2x+0
u'(x)=2x
Calcul de F'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par x^2+1 et u'(x) par 2x dans la formule \frac{u'(x)}{u(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
F'(x)=(ln(x^2+1))' \\\hspace{0.95cm}=\frac{(x^2+1)'}{x^2+1} \\\hspace{0.95cm}=\frac{2x}{x^2+1}
Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y'=f.
f(x)=(x+1)e^x et F(x)=xe^x définies sur \mathbf{R}
1.On veut calculer F'(x).
On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x et v(x)=e^x.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
| e^u | u'e^u |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u'(x)=(x)'
\hspace{0.9cm}=1
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=e^x c’est une fonction de référence, on utilise la ligne n°7 du deuxième tableau.
v'(x)=e^x
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée F'(x)
On remplace u par x, v par e^x, u' par 1 et v' par e^x dans la formule u'\times v+u\times v'
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
F'(x)= (xe^x)'\\\hspace{0.95cm}=(x)'\times{e^x}+(x)\times{(e^x)'} \\\hspace{0.95cm}=1\times{e^x}+x\times{e^x} \\\hspace{0.95cm}=(x+1)e^x
Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y'=f.
f(x)=12x(3x^2-1) et F(x)=(3x^2-1)^2 définies sur \mathbf{R}
On veut calculer F'(x).
On répond à la question suivante : F(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou ln(u(x)) ?
C’est le carré d’une fonction avec u(x)=3x^2-1.
D’après le cours : La fonction u^2:x\rightarrow u^2(x) est dérivable et (u^2)'(x)= 2 \times{u'(x)}\times{u(x)}
Calcul de u'(x)
u'(x)=(3x^2-1)'
\hspace{0.9cm}=(3x^2)'-(1)'
\hspace{0.9cm}=3(x^2)'-0
\hspace{0.9cm}=3\times 2x
\hspace{0.9cm}=6x
Calcul de F'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 3x^2-1 et u'(x) par 6x dans la formule 2 \times{u'(x)}\times{u(x)}
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
F'(x)=((3x^2-1)^2)' \\\hspace{0.95cm}=2 \times {6x}\times {(3x^2-1)} \\\hspace{0.95cm}=12 x(3x^2-1)
Comme F'(x)= f(x), on a vérifié que F est une primitive de f et aussi que F est une solution de l’équation différentielle y'=f.
La fonction f est la somme de deux termes 3x^2 et 2x. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de 3x^2 et de 2x.
| La fonction f(x) | a pour primitive F(x) | sur l’intervalle |
| f(x)=k | F(x)=kx | \mathbf{R} |
| f(x)=x | F(x)=\frac{x^2}{2} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^2 | F(x)=\frac{x^3}{3} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n>0 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n<-1 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=-\frac{1}{x^2} | F(x)=\frac{1}{x} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{x} | F(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} | F(x)=2\sqrt{x} | ]0;+\infty[ |
| f(x)=e^x | F(x)=e^x | \mathbf{R} |
Une primitive de 3x^2 est x^3.
Une primitive de 2x est x^2
Une primitive d’une somme est la somme des primitives, donc :
F(x)=x^3+x^2
La fonction f est la somme de trois termes 5x^2,-3x et 2. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de 5x^2,-3x et 2
| La fonction f(x) | a pour primitive F(x) | sur l’intervalle |
| f(x)=k | F(x)=kx | \mathbf{R} |
| f(x)=x | F(x)=\frac{x^2}{2} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^2 | F(x)=\frac{x^3}{3} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n ( si n\in \mathbf{Z}, n\ne 0, n\ne -1) | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbf{R} si n>0 ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ si n<-1 |
| f(x)=-\frac{1}{x^2} | F(x)=\frac{1}{x} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{x} | F(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} | F(x)=2\sqrt{x} | ]0;+\infty[ |
| f(x)=sin(x) | F(x)=-cos(x) | \mathbf{R} |
| f(x)=cos(x) | F(x)=sin(x) | \mathbf{R} |
| f(x)=e^x | F(x)=e^x | \mathbf{R} |
Une primitive de x^2 est \frac{x^3}{3}
Une primitive de k\times f est k fois la primitive de f.
Donc une primitive de 5\times x^2 est 5\times\frac{x^3}{3}
Une primitive de x est \frac{x^2}{2}
Une primitive de k\times f est k fois la primitive de f.
Donc une primitive de -3\times x est -3\times \frac{x^2}{2}
Une primitive de 1 est x
Une primitive de k\times f est k fois la primitive de f.
Donc une primitive de 2\times 1 est 2\times x
Une primitive d’une somme est la somme des primitives, donc :
F(x)=\frac{5x^3}{3}-3\times\frac{x^2}{2}+2\times x\\F(x)=\frac{5x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2 x
f(x)=x^3+2x+1 pour x \in \mathbf{R}.
La fonction f est la somme de trois termes x^3,2x et 1. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de x^3, 2x et 1
| La fonction f(x) | a pour primitive F(x) | sur l’intervalle |
| f(x)=k | F(x)=kx | \mathbf{R} |
| f(x)=x | F(x)=\frac{x^2}{2} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^2 | F(x)=\frac{x^3}{3} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n>0 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n<-1 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=-\frac{1}{x^2} | F(x)=\frac{1}{x} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{x} | F(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} | F(x)=2\sqrt{x} | ]0;+\infty[ |
| f(x)=e^x | F(x)=e^x | \mathbf{R} |
Une primitive de x^3 est \frac{x^4}{4}
Une primitive de x est \frac{x^2}{2}
Une primitive de k\times f est k fois une primitive de f
Donc une primitive de 2\times x est 2\times\frac{x^2}{2}
OU
Plus simplement, on peut dire directement qu’une primitive de 2\times x est x^2.
Une primitive de 1 est x
Une primitive d’une somme est la somme des primitives.
Voilà la réponse attendue :
F(x)=\frac{x^4}{4}+2\times\frac{x^2}{2}+1\times x\\F(x)=\frac{x^4}{4}+x^2+x
f(x)=3x^3-3x^2+x pour x \in \mathbf{R}
La fonction f est la somme de trois termes 3x^3,-3x^2 et x. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de 3x^3,-3x^2 et x.
| La fonction f(x) | a pour primitive F(x) | sur l’intervalle |
| f(x)=k | F(x)=kx | \mathbf{R} |
| f(x)=x | F(x)=\frac{x^2}{2} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^2 | F(x)=\frac{x^3}{3} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n>0 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n<-1 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=-\frac{1}{x^2} | F(x)=\frac{1}{x} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{x} | F(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} | F(x)=2\sqrt{x} | ]0;+\infty[ |
| f(x)=e^x | F(x)=e^x | \mathbf{R} |
Une primitive de x^3 est \frac{x^4}{4}
Une primitive de k \times f est égale à k fois une primitive de f.
Donc une primitive de 3\times x^3 est 3\times \frac{x^4}{4}
Une primitive de x^2 est \frac{x^3}{3}
Une primitive de k \times f est égale à k fois une primitive de f.
Donc une primitive de -3\times x^2 est -3\times\frac{x^3}{3}
OU
Plus simplement, on peut dire directement qu’ une primitive de -3\times x^2 est -x^3
Une primitive de x est \frac{x^2}{2}
Une primitive d’une somme est la somme des primitives.
Voilà la réponse attendue :
F(x)=3\times\frac{x^4}{4}-x^3+\frac{x^2}{2}\\F(x)=\frac{3x^4}{4}-x^3+\frac{x^2}{2}
f(x)=6x^2(x^3+5) pour x \in \mathbf{R}.
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=6x^2(x^3+5) est de la forme 2u'(x)\times u(x) avec u(x)= x^3+5.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (x^3+5)'
u'(x)= (x^3)'+(5)'
u'(x)= 3x^2+0
u'(x)= 3x^2
2.Je remplace u(x) par x^3+5 et u'(x) par 3x^2 dans la formule ci-dessous :
2u'(x)\times u(x) a pour primitive u^2(x).
2\times 3x^2\times (x^3+5) a pour primitive (x^3+5)^2\\6x^2(x^3+5) a pour primitive (x^3+5)^2
Donc F(x)=(x^3+5)^2
f(x)=e^x(e^x+1) pour x \in \mathbf{R}.
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=e^x(e^x+1) est de la forme 2u'(x)\times u(x) avec u(x)= e^x+1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (e^x+1)'
u'(x)= (e^x)'+(1)'
u'(x)= e^x+0
u'(x)=e^x
2.Je remplace u(x) par e^x+1 et u'(x) par e^x dans la formule ci-dessous :
2u'(x)\times u(x) a pour primitive u^2(x).
2\times e^x\times (e^x+1) a pour primitive (e^x+1)^2\\2e^x(e^x+1) a pour primitive (e^x+1)^2
Pour obtenir f(x) à gauche, il faut diviser par 2 les deux quantités.
\frac{2e^x(e^x+1)}{2} a pour primitive \frac{(e^x+1)^2}{2}\\e^x(e^x+1) a pour primitive \frac{(e^x+1)^2}{2}
Donc F(x)=\frac{(e^x+1)^2}{2}
f(x)=e^{2x}(e^{2x}-1) pour x \in \mathbf{R}
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=e^{2x}(e^{2x}-1) est de la forme 2u'(x)\times u(x) avec u(x)= e^{2x}-1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (e^{2x}-1)'
u'(x)= (e^{2x})'-(1)'
u'(x)= 2e^{2x}-0
u'(x)=2e^{2x}
2.Je remplace u(x) par e^{2x}-1 et u'(x) par 2e^{2x} dans la formule ci-dessous :
2u'(x)\times u(x) a pour primitive u^2(x).
2\times 2e^{2x}\times (e^{2x}-1) a pour primitive (e^{2x}-1)^2
4e^{2x}(e^{2x}-1) a pour primitive (e^{2x}-1)^2
Pour obtenir f(x) à gauche, il faut diviser par 4 les deux quantités.
\frac{4e^{2x}(e^{2x}-1)}{4} a pour primitive \frac{(e^{2x}-1)^2}{4}
e^{2x}(e^{2x}-1) a pour primitive \frac{(e^{2x}-1)^2}{4}
Donc F(x)=\frac{(e^{2x}-1)^2}{4}
f(x)=4xe^{2x^2+1} pour x \in \mathbf{R}.
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=4xe^{2x^2+1} est de la forme u'(x)e^{u(x)} avec u(x)= 2x^2+1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (2x^2+1)'
u'(x)= 2(x^2)'+(1)'
u'(x)= 2\times 2x+0
u'(x)= 4x
2.Je remplace u(x) par 2x^2+1 et u'(x) par 4x dans la formule ci-dessous :
u'(x)e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)}.
4xe^{2x^2+1} a pour primitive e^{2x^2+1}
Donc F(x)=e^{2x^2+1}
f(x)=e^{2x+1} pour x \in \mathbf{R}.
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=e^{2x+1} est de la forme u'(x)e^{u(x)} avec u(x)= 2x+1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (2x+1)'
u'(x)= 2(x)'+(1)'
u'(x)= 2\times 1+0
u'(x)= 2
2.Je remplace u(x) par 2x+1 et u'(x) par 2 dans la formule ci-dessous :
u'(x)e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)}.
2e^{2x+1} a pour primitive e^{2x+1}
Pour trouver f(x) a gauche, il faut diviser les deux membres par 2 .
\frac{2e^{2x+1}}{2} a pour primitive \frac{e^{2x+1}}{2}\\e^{2x+1} a pour primitive \frac{e^{2x+1}}{2}
Donc F(x)=\frac{e^{2x+1}}{2}
f(x)=(2x+4)e^{x^2+4x+1} pour x \in \mathbf{R}.
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=u'(x)\times u^n(x) | F(x)=\frac{u^{n+1}(x)}{n+1} | si n>-1, u(x)\ne 0 |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u^2(x)} | F(x)=-\frac{1}{u(x)} | u(x)\ne 0 |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
| f(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} | F(x)=\sqrt{u(x)} | u(x)> 0 |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| (v'ou)\times u' | vou | v est une fonction dérivable sur J et u(x)\in J |
f(x)=(2x+4)e^{x^2+4x+1} est de la forme u'(x)e^{u(x)} avec u(x)=x^2+4x+1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (x^2+4x+1)'
u'(x)= (x^2)'+4(x)'+(1)'
u'(x)=2x+ 4\times 1+0
u'(x)= 2x+4
2.Je remplace u(x) par x^2+4x+1 et u'(x) par 2x+4 dans la formule ci-dessous :
u'(x)e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)}.
(2x+4)e^{x^2+4x+1} a pour primitive e^{x^2+4x+1}
Donc F(x)=e^{x^2+4x+1}
f(x)=\frac{2x}{x^2+1} pour x \in \mathbf{R}
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=\frac{2x}{x^2+1} est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= x^2+1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (x^2+1)'
u'(x)= (x^2)'+(1)'
u'(x)= 2x+0
u'(x)= 2x
2.Je remplace u(x) par x^2+1 et u'(x) par 2x dans la formule ci-dessous :
\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln|u(x)|.
\frac{2x}{x^2+1} a pour primitive ln(|x^2+1|)
Comme x^2+1| est positif, |x^2+1|=x^2+1
Donc F(x)=ln(x^2+1)
f(x)=\frac{5}{2x+1} pour x \in ]-\frac{1}{2};+\infty[
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=\frac{5}{2x+1} est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= 2x+1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (2x+1)'
u'(x)= (2x)'+(1)'
u'(x)= 2+0
u'(x)= 2
2.Je remplace u(x) par 2x+1 et u'(x) par 2 dans la formule ci-dessous :
\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln(|u(x)|.
\frac{2}{2x+1} a pour primitive ln(|2x+1|)
Pour obtenir f(x)=\frac{5}{2x+1} à gauche, il faut diviser par 2 et multiplier par 5 les deux membres.
{\frac{5}{2}}\times{\frac{2}{2x+1}} a pour primitive {\frac{5}{2}}\times{(ln(|2x+1|))}
\frac{5}{2x+1} a pour primitive \frac{5ln(|2x+1|)}{2}
Comme 2x+1 est positif car x>-\frac{1}{2}, |2x+1|=2x+1
Donc F(x)=\frac{5ln(2x+1)}{2}
f(x)=\frac{e^x}{e^x+2} pour x \in \mathbf{R}
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=\frac{e^x}{e^x+2} est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= e^x+2.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (e^x+2)'
u'(x)= (e^x)'+(2)'
u'(x)= e^x+0
u'(x)= e^x
2.Je remplace u(x) par e^x+2 et u'(x) par e^x dans la formule ci-dessous :
\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln(|u(x)|).
\frac{e^x}{e^x+2} a pour primitive ln(|e^x+2|)
e^x+2 est toujours positif donc |e^x+2|=e^x+2
Donc F(x)=ln(e^x+2)
f(x)=2x^3+x^2-1 pour x \in \mathbf{R} et F(0)=-1.
La fonction f est la somme de trois termes 2x^3,x^2 et -1. A l’aide du tableau ci-dessous on cherche des primitives de 2x^3,x^2 et -1.
| La fonction f(x) | a pour primitive F(x) | sur l’intervalle |
| f(x)=k | F(x)=kx | \mathbf{R} |
| f(x)=x | F(x)=\frac{x^2}{2} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^2 | F(x)=\frac{x^3}{3} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n>0 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbf{R} |
| f(x)=x^n si n<-1 | F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=-\frac{1}{x^2} | F(x)=\frac{1}{x} | ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{x} | F(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ |
| f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} | F(x)=2\sqrt{x} | ]0;+\infty[ |
| f(x)=e^x | F(x)=e^x | \mathbf{R} |
Une primitive de x^3 est \frac{x^4}{4}
Une primitive de k \times f est égale à k fois une primitive de f.
Donc une primitive de 2\times x^3 est 2\times \frac{x^4}{4} soit \frac{x^4}{2}
Une primitive de x^2 est \frac{x^3}{3}
Une primitive de -1 est -x
Une primitive d’une somme est la somme des primitives.
Voilà la réponse attendue :
F(x)=2\times\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x+k\\\hspace{0.9cm}=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x+k
On cherche la primitive qui vérifie F(0)=-1.
On remplace tous les x par 0 dans F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x+k pour calculer F(0).
\frac{0^4}{2}+\frac{0^3}{3}-0+k=-1\\k=-1
Il ne reste plus qu’à remplacer k par -1 dans F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x+k.
La primitive cherchée est F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}-x-1
f(x)=(2x+1)(x^2+x+3) pour x \in \mathbf{R} et F(1)=\frac{1}{2}.
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=(2x+1)(x^2+x+3) est de la forme 2u'(x)\times u(x) avec u(x)=x^2+x+3.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (x^2+x+3)'
u'(x)= (x^2)'+(x)'+(3)'
u'(x)= 2x+1+0
u'(x)= 2x+1
2.Je remplace u(x) par x^2+x+3 et u'(x) par 2x+1 dans la formule ci-dessous :
2u'(x)\times u(x) a pour primitive u^2(x).
2\times (2x+1)\times (x^2+x+3) a pour primitive (x^2+x+3)^2
Pour faire apparaître f(x) à gauche il faut diviser les deux membres par 2.
\frac{2\times (2x+1)\times (x^2+x+3)}{2} a pour primitive \frac{(x^2+x+3)^2}{2}\\ (2x+1)(x^2+x+3) a pour primitive \frac{(x^2+x+3)^2}{2}
Donc F(x)=\frac{(x^2+x+3)^2}{2}+k.
On cherche la primitive qui vérifie F(1)=\frac{1}{2}.
On remplace tous les x par 1 dans F(x)=\frac{(x^2+x+3)^2}{2}+k pour calculer F(1).
\frac{(1^2+1+3)^2}{2}+k=\frac{1}{2}\\\frac{5^2}{2}+k=\frac{1}{2}\\\frac{25}{2}+k=\frac{1}{2}\\k=\frac{1}{2}-\frac{25}{2}\\k=-\frac{24}{2}\\k=-12
Il ne reste plus qu’à remplacer k par -12 dans F(x)=\frac{(x^2+x+3)^2}{2}+k.
La primitive cherchée est F(x)=\frac{(x^2+x+3)^2}{2}-12
f(x)=2xe^{3x^2} pour x \in \mathbf{R} et F(0)=\frac{4}{3}.
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=2xe^{3x^2} est de la forme u'(x)e^{u(x)} avec u(x)=3x^2.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (3x^2)'
u'(x)= 3(x^2)'
u'(x)=3\times 2x
u'(x)=6x
2.Je remplace u(x) par 3 x^2 et u'(x) par 6x dans la formule ci-dessous :
u'(x)e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)}.
6xe^{3x^2} a pour primitive e^{3x^2}
Pour retrouver f(x)=2xe^{3x^2} à gauche, il faut diviser les deux membres par 3.
\frac{6xe^{3x^2}}{3} a pour primitive \frac{e^{3x^2}}{3}\\2xe^{3x^2} a pour primitive \frac{e^{3x^2}}{3}
Donc F(x)=\frac{e^{3x^2}}{3}+k
On cherche la primitive qui vérifie F(0)=\frac{4}{3}.
On remplace tous les x par 0 dans F(x)=\frac{e^{3x^2}}{3}+k pour calculer F(0).
\frac{e^{3\times 0^2}}{3}+k=\frac{4}{3}
\frac{e^0}{3}+k=\frac{4}{3}
\frac{1}{3}+k=\frac{4}{3}
k=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}\\k=\frac{3}{3}\\k=1
Il ne reste plus qu’à remplacer k par 1 dans F(x)=\frac{e^{3x^2}}{3}+k.
La primitive cherchée est F(x)=\frac{e^{3x^2}}{3}+1
f(x)=\frac{3}{3x+1} pour x \in ]-\frac{1}{3};+\infty[ et F(2)=ln(2)
On cherche de quelle forme est la fonction f pour pouvoir déterminer une primitive à l’aide du tableau ci-dessous.
| La fonction f(x) est de la forme, | elle a pour primitive F(x) | Conditions |
| f(x)=2u'(x)\times u(x) | F(x)=u^2(x) | |
| f(x)=u'(x)\times e^{u(x)} | F(x)=e^{u(x)} | |
| f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} | F(x)=ln(|u(x)|) | u(x)\ne 0 |
f(x)=\frac{3}{3x+1} est de la forme \frac{u'(x)}{u(x)} avec u(x)= 3x+1.
1.Je calcule u'(x)
u'(x)= (3x+1)'
u'(x)= (3x)'+(1)'
u'(x)= 3+0
u'(x)= 3
2.Je remplace u(x) par 3x+1 et u'(x) par 3 dans la formule ci-dessous :
\frac{u'(x)}{u(x)} a pour primitive ln(|u(x)|.
\frac{3}{3x+1} a pour primitive ln(|3x+1|)
Comme 3x+1 est positif car x>-\frac{1}{3}, |3x+1|=3x+1
Donc F(x)=ln(3x+1)+k
On cherche la primitive qui vérifie F(2)=ln(2).
On remplace tous les x par 2 dans F(x)=ln(3x+1)+k pour calculer F(2).
ln(3\times 2+1)+k=ln(2)
ln(7)+k=ln(2)
k=ln(2)-ln(7)
k=ln(\frac{2}{7})
Il ne reste plus qu’à remplacer k par ln(\frac{2}{7}) dans F(x)=ln(3x+1)+k.
La primitive cherchée est F(x)=ln(3x+1)+ln(\frac{2}{7})
On peut aussi écrire F(x)=ln((3x+1)\times{\frac{2}{7}})
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay où a est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.
y'=2y est une équation différentielle de la forme y'=ay avec a=2 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{2x} avec k \in \mathbf{R}.
3y'=-12y n’est pas une équation différentielle de la forme y'=ay, modifions-la.
On divise de chaque côté par 3 :
y'=-\frac{12y}{3}
On simplifie :
y'=-4y
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay où a est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.
y'=-4y est une équation différentielle de la forme y'=ay avec a=-4 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-4x} avec k \in \mathbf{R}.
4y'+3y=0 n’est pas une équation différentielle de la forme y'=ay, modifions-la.
On enlève 3y de chaque côté :
4y'=-3y
On divise de chaque côté par 4 :
y'=-\frac{3y}{4}
y'=-\frac{3}{4}y
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay où a est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.
y'=-\frac{3}{4}y est une équation différentielle de la forme y'=ay avec a=-\frac{3}{4} donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-\frac{3}{4}x} avec k \in \mathbf{R}.
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay où a est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.
y'=y est une équation différentielle de la forme y'=ay avec a=1 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{x} avec k \in \mathbf{R}.
Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(1)=e.
Pour calculer f(1), on remplace x par 1 dans f(x)= ke^{x}.
ke=1
k=\frac{1}{e}
Donc la primitive cherchée est f(x)= \frac{1}{e}e^{x} qui s’écrit aussi f(x)=e^{x-1}
2y'=-20y n’est pas une équation différentielle de la forme y'=ay, modifions-la.
On divise de chaque côté par 2 :
y'=-\frac{20y}{2}
On simplifie :
y'=-10y
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay où a est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.
y'=-10y est une équation différentielle de la forme y'=ay avec a=-10 donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-10x} avec k \in \mathbf{R}.
Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(-0.1)=\frac{2}{e}.
Pour calculer f(-0.1), on remplace x par -0.1 dans f(x)= ke^{-10x}.
ke^{-10\times 0.1}=\frac{2}{e}
ke^{-1}=\frac{2}{e}
On divise par e^{-1} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par son inverse e^{1} c’est-à-dire e
k=\frac{2}{e}\times e
k=2
Donc la primitive cherchée est f(x)= 2e^{-10x}.
2y'+5y=0 n’est pas une équation différentielle de la forme y'=ay, modifions-la.
On enlève 5y de chaque côté :
2y'=-5y
On divise de chaque côté par 2 :
y'=-\frac{5y}{2}
y'=-\frac{5}{2}y
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay où a est un réel non nul ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax} avec k \in \mathbf{R}.
y'=-\frac{5}{2}y est une équation différentielle de la forme y'=ay avec a=-\frac{5}{2} donc les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-\frac{5}{2}x} avec k \in \mathbf{R}.
Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(2)=1.
Pour calculer f(2), on remplace x par 2 dans f(x)= ke^{-\frac{5}{2}x}.
ke^{-\frac{5}{2}\times 2}=1
ke^{-5}=1
On divise par e^{-5} de chaque côté ce qui revient à multiplier par son inverse e^{5}.
k=1\times e^5
k=e^5
Donc la primitive cherchée est f(x)= e^5e^{-\frac{5}{2}x} qui s’écrit aussi f(x)=e^{5-\frac{5}{2}x}.
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay+b où a est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.
y'=-y+2 est une équation différentielle de la forme y'=ay+b avec a=-1 et b=2 les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-x}-\frac{2}{(-1)} plus simplement x \rightarrow ke^{-x}+2 avec k \in \mathbf{R}.
3y'-6y=12 n’est pas une équation différentielle de la forme y'=ay+b, modifions-la.
On ajoute 6y de chaque côté :
3y'=6y+12
On divise de chaque côté par 3 :
y'=\frac{6y+12}{3}
Attention aux erreurs : \frac{6y+12}{3}=\frac{3\times(2y+4)}{3}
y'=2y+4
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay+b où a est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.
y'=2y+4 est une équation différentielle de la forme y'=ay+b avec a=2 et b=4 les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{2x}-\frac{4}{2} plus simplement x \rightarrow ke^{2x}-2 avec k \in \mathbf{R}.
4y'+3y-4=0 n’est pas une équation différentielle de la forme y'=ay+b, modifions-la.
On ajoute -3y+4 de chaque côté :
4y'=-3y+4
On divise de chaque côté par 4 :
y'=\frac{-3y+4}{4}
y'=\frac{-3y}{4}+\frac{4}{4}
y'=-\frac{3}{4}y+1
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay+b où a est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.
y'=-\frac{3}{4}y+1 est une équation différentielle de la forme y'=ay+b avec a=-\frac{3}{4} et b=1 les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-\frac{3}{4}x}-\frac{1}{(-\frac{3}{4})} plus simplement x \rightarrow ke^{-\frac{3}{4}x}+\frac{4}{3} avec k \in \mathbf{R}.
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay+b où a est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.
y'=2y-5 est une équation différentielle de la forme y'=ay+b avec a=2 et b=-5 les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{2x}-\frac{(-5)}{2} plus simplement x \rightarrow ke^{2x}+\frac{5}{2} avec k \in \mathbf{R}.
Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(1)=e.
Pour calculer f(1), on remplace x par 1 dans ke^{2x}+\frac{5}{2}.
ke^{2\times 1}+\frac{5}{2}=1
ke^2=-\frac{5}{2}+1
ke^2=-\frac{5}{2}+1\times \frac{2}{2}
ke^2=-\frac{5}{2}+ \frac{2}{2}
ke^2=-\frac{3}{2}
On divise par e^2 de chaque côté
k=-\frac{\frac{3}{2}}{e^2}
k=-\frac{3}{2e^2}
Donc la primitive cherchée est f(x)= -\frac{3}{2e^2}e^{2x}+\frac{5}{2} qui s’écrit aussi f(x)= -\frac{3}{2}e^{2x-2}+\frac{5}{2}
3y'-12y=6 n’est pas une équation différentielle de la forme y'=ay+b, modifions-la.
On ajoute 12y de chaque côté :
3y'=12y+6
On divise de chaque côté par 3 :
y'=\frac{12y+6}{3}
Attention aux erreurs : \frac{12y+6}{3}=\frac{3\times(4y+2)}{3}
y'=4y+2
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay+b où a est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.
y'=4y+2 est une équation différentielle de la forme y'=ay+b avec a=4 et b=2 les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{4x}-\frac{2}{4} plus simplement x \rightarrow ke^{4x}-\frac{1}{2} avec k \in \mathbf{R}.
Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(-0.25)=\frac{2}{e}.
Pour calculer f(-0.25), on remplace x par -0.25 dans ke^{4x}-\frac{1}{2}.
ke^{4\times(-0.25)}-\frac{1}{2}=\frac{2}{e}
ke^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{2}{e}
ke^{-1}=\frac{1}{2}\times \frac{e}{e}+\frac{2}{e}\times \frac{2}{2}
ke^{-1}=\frac{e}{2e}+ \frac{4}{2e}
ke^{-1}=\frac{e+4}{2e}
On divise par e^{-1} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par e
k=\frac{e+4}{2e}\times e
k=\frac{e+4}{2}
Donc la primitive cherchée est f(x)=\frac{e+4}{2} e^{4x}-\frac{1}{2}
2y'+y-1=0 n’est pas une équation différentielle de la forme y'=ay+b, modifions-la.
On ajoute -y+1 de chaque côté :
2y'=-y+1
On divise de chaque côté par 2 :
y'=\frac{-y+1}{2}
y'=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}
On utilise le théorème suivant :
Les équations différentielles de la forme y'=ay+b où a est un réel non nul et b est un réel , ont pour solutions les fonctions du type x \rightarrow ke^{ax}-\frac{b}{a} avec k \in \mathbf{R}.
y'=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} est une équation différentielle de la forme y'=ay+b avec a=-\frac{1}{2} et b=\frac{1}{2} les solutions sont les fonctions du type x \rightarrow ke^{-\frac{1}{2}x}-\frac{\frac{1}{2}}{(-\frac{1}{2})} plus simplement x \rightarrow ke^{-\frac{1}{2}x}+1 avec k \in \mathbf{R}.
Parmi ces fonctions, on cherche la fonction f qui vérifie la condition initiale f(1)=2.
Pour calculer f(1), on remplace x par 1 dans ke^{-\frac{1}{2}x}+1.
ke^{-\frac{1}{2}\times 1}+1=2
ke^{-\frac{1}{2}}=2-1
ke^{-\frac{1}{2}}=1
On divise par e^{-\frac{1}{2}} de chaque côté, ce qui revient à multiplier par e^{\frac{1}{2}}
k=1\times e^{\frac{1}{2}}
k=e^{\frac{1}{2}} qui s’écrit aussi k=\sqrt{e}
Donc la primitive cherchée est f(x)=e^{\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}x}+1 qui s’écrit aussi f(x)=e^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x}+1