Sommaire
- 1. Une page de Géogébra pour conjecturer ou valider l’équation réduite de la tangente.
- 2. Une page de calcul formel pour conjecturer ou valider le calcul de la dérivée.
- 3. Pour déterminer l’image d’un nombre avec la calculatrice TI-83 Premium CE
- 4. Pour déterminer un nombre dérivé avec la calculatrice TI-83 Premium CE
- 5. Exercice n°1:
- 6. Exercice n°2:
- 7. Exercice n°3:
- 8. Exercice n°4:
- 9. Exercice n°5:
- 10. Exercice n°6:
- 11. Exercice n°7:
Une page de Géogébra pour conjecturer ou valider l’équation réduite de la tangente.
Pour déterminer l’équation réduite d’une tangente à, par exemple, la courbe de la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2-2x+6 au point d’abscisse 2.
Saisir dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran : f(x)=x^2-2x+6.
Créer le point de la courbe d’abscisse 2 en cliquant sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Point sur Objet et cliquer dans le repère sur le point de la courbe d’abscisse 2.
Tracer la tangente au point d’abscisse 2 en cliquant sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche, sélectionner Tangentes et cliquer dans le repère sur le point de la courbe d’abscisse 2 et puis sur la courbe. La tangente apparaît et dans la colonne Algèbre apparaît :
g : Tangente (A,f)
f(x)=2x+2.
Une page de calcul formel pour conjecturer ou valider le calcul de la dérivée.
Pour calculer, par exemple, la dérivée de la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2-2x+6.
Saisir sur la ligne 1: f(x)=x^2-2x+6.
Cliquer sur le neuvième onglet en haut à partir de la gauche.
Apparaît alors Dérivée: f'(x)=2x-2.
Pour déterminer l’image d’un nombre avec la calculatrice TI-83 Premium CE
Par exemple, déterminer f(2) avec la calculatrice TI-83 Premium CE quand f(x)=x^2-2x+6.
Pour déterminer un nombre dérivé avec la calculatrice TI-83 Premium CE
Par exemple, déterminer f'(2) avec la calculatrice TI-83 Premium CE quand f(x)=x^2-2x+6.
Exercice n°1:
Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2-2x+6.
On se propose de déterminer l’équation de la tangente au point de la courbe d’abscisse 2.
- Calculer f(2).
2.a. Calculer f'(x)
2.b. Calculer f'(2)
3. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.
Exercice n°2:
Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^2-5x+4.
On se propose de déterminer l’équation de la tangente au point de la courbe d’abscisse 1.
- Calculer f(1).
2.a. Calculer f'(x)
2.b. Calculer f'(1)
3. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1.
Exercice n°3:
Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^3-5x+4.
On se propose de déterminer l’équation de la tangente au point de la courbe d’abscisse 0.
- Calculer f(0).
2.a. Calculer f'(x)
2.b. Calculer f'(0)
3. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.
Exercice n°4:
Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=x^3-x^2+4.
On se propose de déterminer l’équation de la tangente au point de la courbe d’abscisse -1.
- Calculer f(-1).
2.a. Calculer f'(x)
2.b. Calculer f'(-1)
3. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse -1.
Exercice n°5:
Soit la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=2x^3-2x^2+6x.
On se propose de déterminer l’équation de la tangente au point de la courbe d’abscisse 1.
- Calculer f(1).
2.a. Calculer f'(x)
2.b. Calculer f'(1)
3. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1.
Exercice n°6:
Soit la fonction f définie sur [0;+\infty[ par f(x)=x^2\sqrt{x}.
On se propose de déterminer l’équation de la tangente au point de la courbe d’abscisse 2.
- Calculer f(2).
2.a. Calculer f'(x)
2.b. Calculer f'(2)
3. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.
Exercice n°7:
Soit la fonction f définie sur [0;+\infty[ par f(x)=\sqrt{x}(2x+1).
On se propose de déterminer l’équation de la tangente au point de la courbe d’abscisse 1.
- Calculer f(1).
2.a. Calculer f'(x)
2.b. Calculer f'(1)
3. En déduire l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1.
Pour calculer f(2), je remplace tous les x par 2 dans f(x)=x^2-2x+6.
f(2)=2^2-2\times2+6
f(2)=4-4+6
f(2)=6
f(x)= x^2-2x+6 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^2 , -2x et 6.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , -2x et 6 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^2
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
(x^2)'=2x
Je calcule la dérivée de -2x .
C’est le produit de la constante -2 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(-2x)'=-2\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-2\times 1
\hspace{0.9cm}=-2
Je calcule la dérivée de 6 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(6)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^2-2x+6)'\\f'(x)= (x^2)'-(2x)'+(6)'\\f'(x)= 2x-2(x)'+0\\f'(x)= 2x-2\times 1\\f'(x)= 2x-2
Pour calculer f'(2), je remplace tous les x par 2 dans f'(x)=2x-2.
f'(2)=2\times2-2
f'(2)=4-2
f'(2)=2
Pour déterminer l’équation réduite de la tangente, il faut remplacer a par 2, f(a) par 6 et f'(a) par 2 dans l’équation
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=2(x-2)+6
y=2x-12+6
y=2x-6
Pour calculer f(1), je remplace tous les x par 1 dans f(x)=x^2-5x+4.
f(1)=1^2-5\times1+4
f(1)=1-5+4
f(1)=0
f(x)= x^2-5x+4 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^2 , -5x et 4.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , -5x et 4 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^2
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
(x^2)'=2x
Je calcule la dérivée de -5x .
C’est le produit de la constante -5 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(-5x)'=-5\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-5\times 1
\hspace{0.9cm}=-5
Je calcule la dérivée de 4 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(4)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^2-5x+4)'\\f'(x)= (x^2)'-(5x)'+(4)'\\f'(x)= 2x-5(x)'+0\\f'(x)= 2x-5\times 1\\f'(x)= 2x-5
Pour calculer f'(1), je remplace tous les x par 1 dans f'(x)=2x-5.
f'(1)=2\times1-5
f'(1)=2-5
f'(1)=-3
Pour déterminer l’équation réduite de la tangente, il faut remplacer a par 1, f(a) par 0 et f'(a) par -3 dans l’équation
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=-3(x-1)+0
y=-3x+3
Pour calculer f(0), je remplace tous les x par 0 dans f(x)=x^3-5x+4.
f(0)=0^3-5\times0+4
f(0)=0-0+4
f(0)=4
f(x)= x^3-5x+4 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^3 , -5x et 4.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^3 , -5x et 4 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^3
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
(x^3)'=3x^2
Je calcule la dérivée de -5x .
C’est le produit de la constante -5 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(-5x)'=-5\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-5\times 1
\hspace{0.9cm}=-5
Je calcule la dérivée de 4 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(4)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^3-5x+4)'\\f'(x)= (x^3)'-(5x)'+(4)'\\f'(x)= 3x^2-5(x)'+0\\f'(x)= 3x^2-5\times 1\\f'(x)= 3x^2-5
Pour calculer f'(0), je remplace tous les x par 0 dans f'(x)=3x^2-5.
f'(0)=3\times0^2-5
f'(0)=0-5
f'(0)=-5
Pour déterminer l’équation réduite de la tangente, il faut remplacer a par 0, f(a) par 4 et f'(a) par -5 dans l’équation
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=-5(x-0)+4
y=-5x+4
Pour calculer f(-1), je remplace tous les x par (-1) entre parenthèses dans
f(x)=x^3-x^2+4.
f(-1)=(-1)^3-(-1)^2+4
f(-1)=-1-1+4
f(-1)=2
f(x)= x^3-x^2+4 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^3 , -x^2 et 4.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^3 , -x^2 et 4 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^3
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
(x^3)'=3x^2
Je calcule la dérivée de -x^2 .
(-x^2)'=-(x^2)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-2x
Je calcule la dérivée de 4 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(4)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^3-x^2+4)'\\f'(x)= (x^3)'-(x^2)'+(4)'\\f'(x)= 3x^2-2x+0\\f'(x)= 3x^2-2x
Pour calculer f'(-1), je remplace tous les x par (-1) entre parenthèses dans f'(x)=3x^2-2x.
f'(-1)=3\times(-1)^2-2\times(-1)
f'(-1)=3\times1+2
f'(-1)=3+2
f'(-1)=5
Pour déterminer l’équation réduite de la tangente, il faut remplacer a par (-1) entre parenthèses, f(a) par 2 et f'(a) par 5 dans l’équation
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=5(x-(-1))+2
y=5(x+1)+2
y=5x+5+2
y=5x+7
Pour calculer f(1), je remplace tous les x par 1 dans f(x)=2x^3-2x^2+6x.
f(1)=2\times 1^3-2\times 1^2+6\times 1
f(1)=2\times 1-2\times 1+6
f(1)=2-2+6
f(1)=6
f(x)=2 x^3-2x^2+6x pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
2x^3 , -2x^2 et 6x.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 2x^3 , -2x^2 et 6x en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de 2x^3
C’est le produit d’une constante 2 par une fonction x^3 , on utilise la ligne 2 du tableau 1.
(2x^3)'=2(x^3)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=2\times3x^2
\hspace{0.9cm}=6x^2
Je calcule la dérivée de -2x^2 .
C’est le produit d’une constante -2 par une fonction x^2 , on utilise la ligne 2 du tableau 1.
(-2x^2)'=-2(x^2)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-2\times2x
\hspace{0.9cm}=-4x
Je calcule la dérivée de 6x .
C’est le produit d’une constante 6 par une fonction x , on utilise la ligne 2 du tableau 1.
(6x)'=6(x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=6\times1
\hspace{0.9cm}=6
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (2x^3-2x^2+6x)'\\f'(x)= (2x^3)'-(2x^2)'+(6x)'\\f'(x)= 2(x^3)'-2(x^2)'+6(x)'\\f'(x)= 2\times 3x^2-2\times 2x+6\times1\\f'(x)= 6x^2-4x+6
Pour calculer f'(1), je remplace tous les x par 1 dans f'(x)=6x^2-4x+6.
f'(1)=6\times1^2-4\times1+6
f'(1)=6\times1-4+6
f'(1)=6-4+6
f'(1)=8
Pour déterminer l’équation réduite de la tangente, il faut remplacer a par 1, f(a) par 6 et f'(a) par 8 dans l’équation
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=8(x-1)+6
y=8x-8+6
y=8x-2
Pour calculer f(2), je remplace tous les x par 2 dans f(x)=x^2\sqrt{x}.
f(2)=2^2\sqrt{2}\\f(2)=4\sqrt{2}
f(x)= x^2\sqrt{x} est dérivable sur ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x^2 et v(x)=\sqrt{x}.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x^2 est une fonction de référence, on utilise la ligne carré du tableau n°2 ci-dessous
u'(x)=2x
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=\sqrt{x} est une fonction de référence, on utilise la ligne racine carrée du tableau n°2 ci-dessous
v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x^2, v par \sqrt{x}, u' par 2x et v' par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule u'\times v+u\times v'
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x^2\sqrt{x})'\\f'(x)=(x^2)'\times{\sqrt{x}}+x^2\times{\sqrt{x}'} \\f'(x)=2x\times {\sqrt{x}}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2\sqrt{x}}
On peut s’arrêter là, on pourra utiliser cette forme pour calculer f'(2) …Pour les plus curieux, poursuivez !
On peut simplifier le deuxième terme de la somme par \sqrt{x}
f'(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x\sqrt{x}}{2}
On met au même dénominateur, ici 2.
f'(x)=2x\sqrt{x}\times{\frac{2}{2} }+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{4x\sqrt{x}+x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{5x\sqrt{x}}{2}
Pour calculer f'(2), je remplace tous les x par 2 dans f'(x)=\frac{5x\sqrt{x}}{2}.
f'(2)=\frac{5\times2\sqrt{2}}{2}
On simplifie par 2 en haut et en bas.
f'(2)=5\sqrt{2}
Pour déterminer l’équation réduite de la tangente, il faut remplacer a par 2, f(a) par 4\sqrt{2} et f'(a) par 5\sqrt{2} dans l’équation
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=5\sqrt{2}(x-2)+4\sqrt{2}\\y=5\sqrt{2}x-5\sqrt{2}\times2+4\sqrt{2}\\y=5\sqrt{2}x-10\sqrt{2}+4\sqrt{2}\\y=5\sqrt{2}x-6\sqrt{2}
Pour calculer f(1), je remplace tous les x par 1 dans f(x)=\sqrt{x}(2x+1).
f(1)=\sqrt{1}(2\times1+1)\\f(1)=1\times (2+1)\\f(1)=1\times 3\\f(1)=3
f(x)= \sqrt{x}(2x+1) est dérivable sur ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=\sqrt{x} et v(x)=2x+1.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=\sqrt{x} est une fonction de référence, on utilise la ligne racine carrée du second tableau
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=2x+1 est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau
v'(x)=(2x+1)'
\hspace{0.9cm}=(2x)'+(1)'
\hspace{0.9cm}=2(x)'+0
\hspace{0.9cm}=2\times1
\hspace{0.9cm}=2
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par \sqrt{x}, v par 2x+1, u' par \frac{1}{2\sqrt{x}} et v' par 2 dans la formule u'\times v+u\times v'
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)=( \sqrt{x}(2x+1))'\\f'(x)=\sqrt{x}'\times{(2x+1)}+\sqrt{x}\times{(2x+1)'} \\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(2x+1)}+\sqrt{x}\times{2} \\f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x}}+2\sqrt{x}
On peut s’arrêter là..
Pour calculer f'(1), je remplace tous les x par 1 dans f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x}}+2\sqrt{x}.
f'(1)=\frac{2\times1+1}{2\sqrt{1}}+2\sqrt{1}.
f'(1)=\frac{2\times1+1}{2\times1}+2\times1.
f'(1)=\frac{3}{2}+2.
On met au même dénominateur, ici 2.
f'(1)=\frac{3}{2}+2\times{\frac{2}{2}} .
f'(1)=\frac{3}{2}+{\frac{4}{2}} .
f'(1)=\frac{3+4}{2} .
f'(1)=\frac{7}{2} .
Pour déterminer l’équation réduite de la tangente, il faut remplacer a par 1, f(a) par 3 et f'(a) par \frac{7}{2} dans l’équation
y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=\frac{7}{2}(x-1)+3\\y=\frac{7}{2}x-\frac{7}{2}\times1+3\\y=\frac{7}{2}x-\frac{7}{2}+3
Pour réduire -\frac{7}{2}+3, il faut mettre au même dénominateur, ici 2.
y=\frac{7}{2}x-\frac{7}{2}+3\times\frac{2}{2}\\y=\frac{7}{2}x-\frac{7}{2}+\frac{6}{2}\\y=\frac{7}{2}x-\frac{1}{2}