Sommaire
Définition d’une suite arithmético-géométrique
Une suite (u_n) est arithmético-géométrique lorsque (u_n) est définie par une formule de récurrence de la forme u_{n+1}=au_n+b avec a et b réels.
Exemple 1
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .
Calculer u_1 , u_2 , u_3 et u_4
Exemple 2
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .
Calculer u_1 , u_2 , u_3 et u_4
Représentation graphique d’une suite arithmético-géométrique
On considère la suite arithmético-géométrique (u_n) définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.25u_n+3 avec u_0=1.
On a u_{n+1}=f(u_n) avec f(x)=0.25x+3.
On explique ci-dessous comment obtenir graphiquement les termes de la suite sur l’axe des abscisses.
- tracer la courbe de f(x)=0.25x+3 qui est une droite ( elle est en vert dans les repères ci-dessous.)
- tracer la droite d’équation y=x , elle est en noir dans les repères ci-dessous et ses points ont la particularité d’avoir l’abscisse égale à l’ordonnée.
3. placer u_0 sur l’axe des abscisses et construire graphiquement à l’aide de la courbe de f ( elle est en vert dans le repère ) son image f(u_0) qui est u_1
4. construire graphiquement l’antécédent de u_1 l’aide de la droite d’équation y=x ( elle est en noir dans le repère ) son antécédent est u_1 car les points de la droite d’équation y=x ont leur abscisse égale à leur ordonnée. Je place u_1 sur l’axe des abscisses.
5. construire graphiquement à l’aide de la courbe de f ( elle est en vert dans le repère ) l’ image de u_1 , f(u_1) qui est u_2. Puis continuer le procédé autant de fois qu’il est nécessaire.
Limite d’une suite arithmético-géométrique
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .
Calculer u_1 , u_2 , u_3 et u_4
cas n°1 :
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.2u_n+5 et u_0=1 .
Graphiquement, on constate que la suite tend vers l’abscisse du point d’intersection des deux droites qu’on a coutume de noter l.
lim_{n\to{+\infty}}u_n=l
cas n°2 :
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=2u_n+1 et u_0=1 .
Graphiquement, on constate que la suite tend vers +\infty.
lim_{n\to{+\infty}}u_n=+\infty
On reprend l’exemple n°1 mais on le traite graphiquement
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .
Construire u_1 , u_2 et u_3 sur l’axe des abscisses. Conjecturer ensuite la limite de la suite (u_n).
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence
u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .
Pour calculer u_1, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 1 c’est-à-dire 0 dans l’égalité u_{n+1}=-0.2u_n+1.
u_{0+1}=-0.2u_0+1
On remplace u_0 par 2
u_1=-0.2\times 2+1\\u_1=-0.4+1\\u_1=0.6
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence
u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .
Pour calculer u_2, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 2 c’est-à-dire 1 dans l’égalité u_{n+1}=-0.2u_n+1.
u_{1+1}=-0.2u_1+1
On remplace u_1 par 0.6
u_2=-0.2\times 0.6+1\\u_2=-0.12+1\\u_2=0.88
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence
u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .
Pour calculer u_3, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 3 c’est-à-dire 2 dans l’égalité u_{n+1}=-0.2u_n+1.
u_{2+1}=-0.2u_2+1
On remplace u_2 par 0.88
u_3=-0.2\times 0.88+1\\u_3=-0.176+1\\u_3=0.824
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence
u_{n+1}=-0.2u_n+1 et u_0=2 .
Pour calculer u_4, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 4 c’est-à-dire 3 dans l’égalité u_{n+1}=-0.2u_n+1.
u_{3+1}=-0.2u_3+1
On remplace u_3 par 0.824
u_4=-0.2\times 0.824+1\\u_4=-0.1648+1\\u_4=0.8352
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence
u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .
Pour calculer u_1, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 1 c’est-à-dire 0 dans l’égalité u_{n+1}=0.5u_n+2.
u_{0+1}=0.5u_0+2
On remplace u_0 par 1
u_1=0.5\times1+2\\u_1=0.5+2\\u_1=2.5
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence
u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .
Pour calculer u_2, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 2 c’est-à-dire 1 dans l’égalité u_{n+1}=0.5u_n+2.
u_{1+1}=0.5u_1+2
On remplace u_1 par 2.5
u_2=0.5\times2.5+2\\u_2=1.25+2\\u_2=3.25
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence
u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .
Pour calculer u_3, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 3 c’est-à-dire 2 dans l’égalité u_{n+1}=0.5u_n+2.
u_{2+1}=0.5u_2+2
On remplace u_2 par 3.25
u_3=0.5\times3.25+2\\u_3=1.625+2\\u_3=3.625
On considère la suite (u_n) arithmético-géométrique définie par une formule de récurrence
u_{n+1}=0.5u_n+2 et u_0=1 .
Pour calculer u_4, comme la suite est définie par récurrence, il faut remplacer tous les n par l’entier qui précède 4 c’est-à-dire 3 dans l’égalité u_{n+1}=0.5u_n+2.
u_{3+1}=0.5u_3+2
On remplace u_3 par 3.625
u_4=0.5\times3.625+2\\u_4=1.8125+2\\u_4=3.8125
Graphiquement, on conjecture que la suite tend vers l’abscisse du point d’intersection des deux droites c’est-à-dire 4.
On note \lim_{n\to{+\infty}}u_n=4