Sommaire
Exercice n°1 (dérivée d’une somme)
Calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=x^3+2x+4
pour x \in \mathbf{R}
2. f(x)=-2x^2+\sqrt{5}x+1
pour x \in \mathbf{R}
3. f(x)=3x^3-\frac{x}{2}+7.5
pour x \in \mathbf{R}
4. f(x)=x^2-\frac{1}{x}
pour x \in ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
5. f(x)=\frac{4}{5}x^2+2\sqrt{x}
pour x \in ]0;+\infty[
6. f(x)=3\sqrt{x}+\frac{2}{x} \\x \in ]0;+\infty[
Exercice n°2 (dérivée d’un produit)
Calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)=x\sqrt{x}
pour x \in ]0;+\infty[
2. f(x)=(\sqrt{x}+1)(x^2-2)
pour pour x \in ]0;+\infty[
3. f(x)= (3x+1)(x+2)
pour x \in \mathbf{R}
Exercice n°3 (dérivée de l’inverse)
Calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= \frac{1}{-2x+1} pour x\in \mathbf{R} privé \frac{1}{2}
2. f(x)= \frac{1}{2x^2+x+4} pour x\in \mathbf{R}
3. f(x)= \frac{5}{x^2-1} pour x\in ]1;+\infty[
Exercice n°4 (dérivée d’un quotient)
Calculer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= \frac{3x+1}{x-4} pour x\in ]4;+\infty[ .
2. f(x)=\frac{2x+1}{x+1}
pour x \in ]1;+\infty[
3. f(x)=\frac{3x-2}{x^2+2x+1}
pour x \in ]-1;+\infty[
Valider avec l’application Calcul Formel de géogébra
Par exemple, pour vérifier le résultat de l’exo 1.1, taper
f(x)=x^3+2x+4 sur la ligne 1 puis cliquer sur l’onglet f' ( le 9ème en partant de la gauche).
S’affiche alors Dérivée: f'(x)=3x^2+2
f(x)= x^3+2x+4 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^3 , 2x et 4.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^3 , 2x et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^3
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
(x^3)'=3x^2
Je calcule la dérivée de 2x .
C’est le produit de la constante 2 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(2x)'=2\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=2\times 1
\hspace{0.9cm}=2
Je calcule la dérivée de 4 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(4)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^3+2x+4)'\\f'(x)= (x^3)'+(2x)'+(4)'\\f'(x)= 3x^2+2(x)'+0\\f'(x)= 3x^2+2\times 1\\f'(x)= 3x^2+2
f(x)= -2x^2+\sqrt{5}x+1 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
-2x^2 , \sqrt{5}x et 1.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes -2x^2 , \sqrt{5}x et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de -2x^2
C’est le produit de la constante -2 par la fonction carré x^2. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(-2x^2)'=-2\times (x^2)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-2\times 2x
\hspace{0.9cm}=-4x
Je calcule la dérivée de \sqrt{5}x .
C’est le produit de la constante \sqrt{5} par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(\sqrt{5}x)'=\sqrt{5}\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=\sqrt{5}\times 1
\hspace{0.9cm}=\sqrt{5}
Je calcule la dérivée de 1 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous).
(1)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (-2x^2+\sqrt{5}x+1)'\\\hspace{0.9cm}=(-2x^2)'+(\sqrt{5}x)'+(1)'\\\hspace{0.9cm}= -2(x^2)'+\sqrt{5}(x)'+0\\\hspace{0.9cm}= -2\times 2x+\sqrt{5}\times 1\\\hspace{0.9cm}= -4x+\sqrt{5}
f(x)= 3x^3-\frac{x}{2}+7.5 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
3x^3 , -\frac{x}{2} et 7.5.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 3x^3 , -\frac{x}{2} et 7.5 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de 3x^3
C’est le produit de la constante 3 par la fonction cube x^3. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(3x^3)'=3\times (x^3)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=3\times 3x^2
\hspace{0.9cm}=9x^2
Je calcule la dérivée de -\frac{x}{2} .
C’est le produit de la constante -\frac{1}{2} par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(-\frac{1}{2}x)'=-\frac{1}{2}\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-\frac{1}{2}\times 1
\hspace{0.9cm}=-\frac{1}{2}
Je calcule la dérivée de 7.5 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(7.5)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (3x^3-\frac{x}{2}+7.5)'\\\hspace{0.9cm}=(3x^3)'-(\frac{x}{2})'+(7.5)'\\\hspace{0.9cm}= 3(x^3)'-\frac{1}{2}(x)'+0\\\hspace{0.9cm}= 3\times 3x^2-\frac{1}{2}\times 1\\\hspace{0.9cm}= 9x^2-\frac{1}{2}
f(x)= x^2-\frac{1}{x} pour x \in ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux termes :
x^2 et -\frac{1}{x}.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des deux termes x^2 et -\frac{1}{x}. en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^2
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
(x^2)'=2x
Je calcule la dérivée de -\frac{1}{x} .
C’est le produit de la constante -1 par la fonction inverse \frac{1}{x}. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(-\frac{1}{x})'=-(\frac{1}{x})'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne inverse du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-(-\frac{1}{x^2})
\hspace{0.9cm}=\frac{1}{x^2}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^2-\frac{1}{x})'\\\hspace{0.9cm}=(x^2)'-(\frac{1}{x})'\\\hspace{0.9cm}= 2x-(-\frac{1}{x^2})\\\hspace{0.9cm}= 2x+\frac{1}{x^2}
f(x)= \frac{4}{5}x^2+2\sqrt{x} pour x \in ]0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux termes :
\frac{4}{5}x^2 et 2\sqrt{x}.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des deux termes \frac{4}{5}x^2 et 2\sqrt{x} en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de \frac{4}{5}x^2
C’est le produit de la constante \frac{4}{5} par la fonction carré x^2. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(\frac{4}{5}x^2)'=\frac{4}{5}\times (x^2)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=\frac{4}{5}\times 2x
\hspace{0.9cm}=\frac{8x}{5}
Je calcule la dérivée de 2\sqrt{x} .
C’est le produit de la constante 2 par la fonction racine carrée \sqrt{x}. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(2\sqrt{x})'=2(\sqrt{x})'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne racine carrée du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=2\frac{1}{2\sqrt{x}}
\hspace{0.9cm}=\frac{1}{\sqrt{x}}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (\frac{4}{5}x^2+2\sqrt{x})'\\\hspace{0.9cm}=(\frac{4}{5}x^2)'+(2\sqrt{x})'\\\hspace{0.9cm}=\frac{4}{5}(x^2)'+2(\sqrt{x})'\\\hspace{0.9cm}= \frac{4}{5}\times 2x+2\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\\\hspace{0.9cm}= \frac{8x}{5}+\frac{1}{\sqrt{x}}
f(x)= 3\sqrt{x}+\frac{2}{x} pour x \in ]0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux termes :
3\sqrt{x} et \frac{2}{x}.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des deux termes 3\sqrt{x} et \frac{2}{x} en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de 3\sqrt{x}
C’est le produit de la constante 3 par la fonction racine carrée \sqrt{x}. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(3\sqrt{x})'=3\times {(\sqrt{x})'}
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne racine carrée du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=3\times{ \frac{1}{2\sqrt{x}}}
\hspace{0.9cm}=\frac{3}{2\sqrt{x}}
Je calcule la dérivée de \frac{2}{x} .
C’est le produit de la constante 2 par la fonction inverse \frac{1}{x}. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(\frac{2}{x})'=2\times (\frac{1}{x})'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne inverse du deuxième tableau.
\hspace{0.7cm}=2\times (-\frac{1}{x^2})
\hspace{0.7cm}=-\frac{2}{x^2}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (3\sqrt{x}+\frac{2}{x})'\\\hspace{0.9cm}= (3\sqrt{x})'+(\frac{2}{x})'\\\hspace{0.9cm}= 3(\sqrt{x})'+2(\frac{1}{x})'\\\hspace{0.9cm}= 3\times \frac{1}{2\sqrt{x}}+2\times ({-\frac{1}{x^2}})\\\hspace{0.9cm}= \frac{3}{2\sqrt{x}} -\frac{2}{x^2}
f(x)= x\sqrt{x} pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x et v(x)=\sqrt{x}.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x est une fonction de référence, on utilise la ligne identité du tableau n°2 ci-dessous
u'(x)=1
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=\sqrt{x}est une fonction de référence, on utilise la ligne racine carrée du tableau n°2 ci-dessous
v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x, v par \sqrt{x}, u' par 1 et v' par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=1\times{\sqrt{x}}+{x}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x\sqrt{x})'\\f'(x)=(x)'\times{\sqrt{x}}+x\times{\sqrt{x}'} \\f'(x)=1\times {\sqrt{x}}+{x}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}
On peut s’arrêter là…Pour les plus curieux, poursuivez !
On peut simplifier le deuxième terme de la somme par \sqrt{x}
f'(x)=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}
On met au même dénominateur, ici 2.
f'(x)=\sqrt{x}\times{\frac{2}{2} }+\frac{\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{3\sqrt{x}}{2}
f(x)= (\sqrt{x}+1)(x^2-2) pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=\sqrt{x}+1 et v(x)=x^2-2.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=\sqrt{x}+1 est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau
u'(x)=(\sqrt{x}+1)'
\hspace{0.9cm}=(\sqrt{x})'+(1)'
\hspace{0.9cm}=\frac{1}{2\sqrt{x}}+0
\hspace{0.9cm}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x^2-2 est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau
v'(x)=(x^2-2)'
\hspace{0.9cm}=(x^2)'-(2)'
\hspace{0.9cm}=2x-0
\hspace{0.9cm}=2x
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par \sqrt{x}+1, v par x^2-2, u' par \frac{1}{2\sqrt{x}} et v' par 2x dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(x^2-2)}+{(\sqrt{x}+1)}\times{2x}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= ((\sqrt{x}+1)(x^2-2))'\\f'(x)=(\sqrt{x}+1)'\times{(x^2-2)}+(\sqrt{x}+1)\times{(x^2-2)'} \\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(x^2-2)}+(\sqrt{x}+1)\times{2x}
On peut s’arrêter là…Pour les plus curieux, poursuivez !
f'(x)=\frac{x^2}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{2\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}+2x
On simplifie la première fraction en haut et en bas par \sqrt{x} et la deuxième par 2
f'(x)=\frac{x\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{\sqrt{x}}+2x\sqrt{x}+2x
On réduit \frac{x\sqrt{x}}{2}+2x\sqrt{x}=\frac{5x\sqrt{x}}{2}
f'(x)=\frac{5x\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{\sqrt{x}}+2x
f(x)= (3x+1)(x+2) pour x\in \mathbf{R}
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=3x+1 et v(x)=x+2.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=3x+1 est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau
u'(x)=(3x+1)'
\hspace{0.9cm}=(3x)'+(1)'
\hspace{0.9cm}=3(x)'+0
\hspace{0.9cm}=3\times 1
\hspace{0.9cm}=3
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x+2 est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau
v'(x)=(x+2)'
\hspace{0.9cm}=(x)'+(2)'
\hspace{0.9cm}=1+0
\hspace{0.9cm}=1
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 3x+1, v par x+2, u' par 3 et v' par 1 dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=3\times{(x+2)}+{(3x+1)}\times{1}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= ((3x+1)(x+2))'\\f'(x)=(3x+1)'\times{(x+2)}+(3x+1)\times{(x+2)'} \\f'(x)=3\times{(x+2)}+(3x+1)\times{1} \\f'(x)=3x+6+3x+1 \\f'(x)=6x+7
f(x)= (3x+1)(x+2)
On peut développer et dériver une somme.
f(x)= 3x^2+6x+x+2\\\hspace{0.8cm}= 3x^2+7x+2
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
3x^2 , 7x et 2.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{1}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 3x^2 , 7x et 2 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de 3x^2
C’est le produit de la constante 3 par la fonction carré x^2. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(3x^2)'=3(x^2)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=3\times{2x}
\hspace{0.9cm}=6x
Je calcule la dérivée de 7x .
C’est le produit de la constante 7 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(7x)'=7(x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=7\times1
\hspace{0.9cm}=7
Je calcule la dérivée de 2 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous).
(2)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (3x^2+7x+2)'\\f'(x)= (3x^2)'+(7x)'+(2)'\\f'(x)=3 (x^2)'+7(x)'+0\\f'(x)=3 \times 2x+7\times 1\\f'(x)= 6x+7
f(x)= \frac{1}{-2x+1} pour x\in \mathbf{R} privé de \frac{1}{2}
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est l’inverse d’une fonction \frac{1}{ u} avec u(x)=-2x+1 .
On va utiliser la ligne n°4 ( inverse) du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=-2x+1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(-2x+1)'
u'(x)=(-2x)'+(1)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (-2x)' par -2(x)'
u'(x)=-2(x)'+(1)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=-2\times1+0
u'(x)=-2
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par -2x+1, u' par -2 dans la formule -\frac{u'}{u^2}
f'(x)=-\frac{-2}{(-2x+1)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{1}{-2x+1})'\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(-2x+1)'}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(-2x)'+(1)'}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{-2(x)'+0}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{{-2}\times{1}}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{-2}{(-2x+1)^2}\\\hspace{0.8cm}=\frac{2}{(-2x+1)^2}
f(x)= \frac{1}{2x^2+x+4} pour x\in \mathbf{R}
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est l’inverse d’une fonction \frac{1}{ u} avec u(x)=2x^2+x+4 .
On va utiliser la ligne n°4 ( inverse) du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2x^2+x+4 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(2x^2+x+4)'
u'(x)=(2x^2)'+(x)'+(4)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (2x^2)' par 2(x^2)'
u'(x)=2(x^2)'+(x)'+(4)'
On utilise les lignes 1 (constante) ,2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=2\times 2x+ 1+0
u'(x)=4x+1
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 2x^2+x+4, u' par 4x+1 dans la formule -\frac{u'}{u^2}
f'(x)=-\frac{4x+1}{(2x^2+x+4)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{1}{2x^2+x+4})'\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(2x^2+x+4)'}{(2x^2+x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(2x^2)'+(x)'+(4)'}{(2x^2+x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2(x^2)'+(x)'+0}{(2x^2+x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2\times 2x+1+0}{(2x^2+x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{4x+1}{(2x^2+x+4)^2}
f(x)= \frac{5}{x^2-1} pour x\in ]1,+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
La tentation de répondre quotient est grande, cependant le numérateur ne dépend pas de x donc on va plutôt dire que c’est le produit d’un réel par une fonction.
Avec k=5 et u(x)= \frac{1}{x^2-1}
On va utiliser la ligne n°2 ( produit d’une constante par une fonction) du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)= \frac{1}{x^2-1} est l’inverse d’une fonction , on utilise la 4ème ligne du tableau n°1
u'(x)= (\frac{1}{x^2-1})'
\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}
\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^2)'-(1)'}{(x^2-1)^2}
\hspace{0.8cm}=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace k par 5, u' par -\frac{2x}{(x^2-1)^2} dans la formule ku'
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{5}{x^2-1})'\\\hspace{0.8cm}=5(\frac{1}{x^2-1})'\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{(x^2-1)'}{(x^2-1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{(x^2)'-(1)'}{(x^2-1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{2x-0}{(x^2-1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{2x}{(x^2-1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=-\frac{10x}{(x^2-1)^2}
f(x)= \frac{2x+1}{x+1} pour x\in ]-1;+\infty[ .
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=2x+1 et v(x)=x+1.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2x+1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(2x+1)'
u'(x)=(2x)'+(1)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (2x)' par 2(x)'
u'(x)=2(x)'+(1)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=2\times1+0
u'(x)=2
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x+1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x+1)'
v'(x)=(x)'+(1)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=1+0
v'(x)=1
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 2x+1, v par x+1, u' par 2 et v' par 1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
f'(x)=\frac{2\times{(x+1)}-{(2x+1)}\times{1}}{(x+1)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{2x+1}{x+1})'\\f'(x)=\frac{(2x+1)'\times{(x+3)}-{(2x+1)}\times{(x+1)'}}{(x+1)^2}\\f'(x)=\frac{2\times{(x+1)}-{(2x+1)}\times{1}}{(x+1)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x+2-(2x+1)}{(x+1)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x+2-2x-1}{(x+1)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}
f(x)= \frac{3x-2}{x^2+2x+1} pour x\in ]-1;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=3x-2 et v(x)=x^2+2x+1.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=3x-2 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(3x-2)'
u'(x)=(3x)'-(2)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (3x)' par 3(x)'
u'(x)=3(x)'-(2)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=3\times1-0
u'(x)=3
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x^2+2x+1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x^2+2x+1)'
v'(x)=(x^2)'+(2x)'+(1)'
v'(x)=(x^2)'+2(x)'+(1)'
On utilise les lignes 1 (constante), 2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=2x+2\times 1+0
v'(x)=2x+2
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 3x-2, v par x^2+2x+1, u' par 3 et v' par 2x+2 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
f'(x)=\frac{3\times{(x^2+2x+1)}-{(3x-2)}\times{(2x+2)}}{(x^2+2x+1)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{3x-2}{x^2+2x+1})'\\f'(x)=\frac{(3x-2)'\times{(x^2+2x+1)}-{(3x-2)}\times{(x^2+2x+1)'}}{(x^2+2x+1)^2}\\f'(x)=\frac{3\times{(x^2+2x+1)}-{(3x-2)}\times{(2x+2)}}{(x^2+2x+1)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Le deuxième produit est une identité remarquable. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{3x^2+6x+3-(6x^2+6x-4x-4)}{(x^2+2x+1)^2}
On réduit dans la parenthèse
f'(x)=\frac{3x^2+6x+3-(6x^2+2x-4)}{(x^2+2x+1)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{3x^2+6x+3-6x^2-2x+4}{(x^2+2x+1)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=\frac{-3x^2+4x+7}{(x^2+2x+1)^2}