Sommaire
Propriétés
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Exercice n°1 (dérivée d’une somme)
Calculer f'(x) dans chaque cas.
Visionner la vidéo si nécessaire (c’est la correction du1.)
- f(x)=x^2+2x+1
pour x \in \mathbf{R}
2. f(x)=-4x^2+\sqrt{2}x+4
pour x \in \mathbf{R}
3. f(x)=2x^3-\frac{x}{3}+8.2
pour x \in \mathbf{R}
4. f(x)=x^3+\frac{1}{x}
pour x \in ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
5. f(x)=\frac{2}{3}x^3+\sqrt{x}
pour x \in ]0;+\infty[
6. f(x)=2\sqrt{x}+\frac{4}{x} \\x \in ]0;+\infty[
Exercice n°2 (dérivée d’un produit)
Calculer f'(x) dans chaque cas.
Visionner la vidéo si nécessaire (c’est la correction du1.)
- f(x)=x^2\sqrt{x}
pour x \in ]0;+\infty[
2. f(x)=(\sqrt{x}-1)(x^3-2)
pour pour x \in ]0;+\infty[
3. f(x)= (2x-1)(x+1)
pour x \in \mathbf{R}
Exercice n°3 (dérivée de l’inverse)
Calculer f'(x) dans chaque cas.
Visionner la vidéo si nécessaire (c’est la correction du1.)
- f(x)= \frac{1}{-5x+10} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
2. f(x)= \frac{1}{x^2-2x+4} pour x\in \mathbf{R}
3. f(x)= \frac{5}{x^3+1} pour x\in \mathbf{R}
Exercice n°4 (dérivée d’un quotient)
Calculer f'(x) dans chaque cas.
Visionner la vidéo si nécessaire (c’est la correction du1.)
- f(x)= \frac{2x-1}{x-2} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
2. f(x)=\frac{3x+2}{x+3}
pour x \in \mathbf{R} privé de -3
3. f(x)=\frac{2x-1}{x^2+x}
pour x \in ]0;+\infty[
Valider avec l’application Calcul Formel de géogébra
Par exemple, pour vérifier le résultat de l’exo 1.1, taper
f(x)=x^2+2x+1 sur la ligne 1 puis cliquer sur l’onglet f' ( le 9ème en partant de la gauche).
S’affiche alors Dérivée: f'(x)=2x+2
f(x)= x^2+2x+1 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^2 , 2x et 1.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , 2x et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^2
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
(x^2)'=2x
Je calcule la dérivée de 2x .
C’est le produit de la constante 2 par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(2x)'=2\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=2\times 1
\hspace{0.9cm}=2
Je calcule la dérivée de 1 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(1)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^2+2x+1)'\\f'(x)= (x^2)'+(2x)'+(1)'\\f'(x)= 2x+2(x)'+0\\f'(x)= 2x+2\times 1\\f'(x)= 2x+2
f(x)= -4x^2+\sqrt{2}x+4 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
-4x^2 , \sqrt{2}x et 4.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes -4x^2 , \sqrt{2}x et 4 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de -4x^2
C’est le produit de la constante -4 par la fonction carré x^2. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(-4x^2)'=-4\times (x^2)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-4\times 2x
\hspace{0.9cm}=-8x
Je calcule la dérivée de \sqrt{2}x .
C’est le produit de la constante \sqrt{2} par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(\sqrt{2}x)'=\sqrt{2}\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=\sqrt{2}\times 1
\hspace{0.9cm}=\sqrt{2}
Je calcule la dérivée de 4 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(4)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (-4x^2+\sqrt{2}x+4)'\\\hspace{0.9cm}=(-4x^2)'+(\sqrt{2}x)'+(4)'\\\hspace{0.9cm}= -4(x^2)'+\sqrt{2}(x)'+0\\\hspace{0.9cm}= -4\times 2x+\sqrt{2}\times 1\\\hspace{0.9cm}= -8x+\sqrt{2}
f(x)= 2x^3-\frac{x}{3}+8.2 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
2x^3 , -\frac{x}{3} et 8.2.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 2x^3 , -\frac{x}{3} et 8.2 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de 2x^3
C’est le produit de la constante 2 par la fonction cube x^3. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(2x^3)'=2\times (x^3)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=2\times 3x^2
\hspace{0.9cm}=6x^2
Je calcule la dérivée de -\frac{x}{3} .
C’est le produit de la constante -\frac{1}{3} par la fonction identité x. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(-\frac{1}{3}x)'=-\frac{1}{3}\times (x)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=-\frac{1}{3}\times 1
\hspace{0.9cm}=-\frac{1}{3}
Je calcule la dérivée de 8.2 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous.
(8.2)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (2x^3-\frac{x}{3}+8.2)'\\\hspace{0.9cm}=(2x^3)'-(\frac{x}{3})'+(8.2)'\\\hspace{0.9cm}= 2(x^3)'-\frac{1}{3}(x)'+0\\\hspace{0.9cm}= 2\times 3x^2-\frac{1}{3}\times 1\\\hspace{0.9cm}= 6x^2-\frac{1}{3}
f(x)= x^3+\frac{1}{x} pour x \in ]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux termes :
x^3 et \frac{1}{x}.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des deux termes x^3 et \frac{1}{x}. en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^3
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
(x^3)'=3x^2
Je calcule la dérivée de \frac{1}{x} .
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne inverse du deuxième tableau.
(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^3+\frac{1}{x})'\\\hspace{0.9cm}=(x^3)'+(\frac{1}{x})'\\\hspace{0.9cm}= 3x^2-\frac{1}{x^2}
f(x)= \frac{2}{3}x^3+\sqrt{x} pour x \in ]0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux termes :
\frac{2}{3}x^3 et \sqrt{x}.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des deux termes \frac{2}{3}x^3 et \sqrt{x} en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de \frac{2}{3}x^3
C’est le produit de la constante \frac{2}{3} par la fonction cube x^3. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(\frac{2}{3}x^3)'=\frac{2}{3}\times (x^3)'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne cube du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=\frac{2}{3}\times 3x^2
\hspace{0.9cm}=2x^2
Je calcule la dérivée de \sqrt{x} .
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne racine carrée du deuxième tableau.
(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (\frac{2}{3}x^3+\sqrt{x})'\\\hspace{0.9cm}=(\frac{2}{3}x^3)'+(\sqrt{x})'\\\hspace{0.9cm}= \frac{2}{3}(x^3)'+\frac{1}{2\sqrt{x}}\\\hspace{0.9cm}= \frac{2}{3}\times 3x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}\\\hspace{0.9cm}= 2x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}
f(x)= 2\sqrt{x}+\frac{4}{x} pour x \in ]0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux termes :
2\sqrt{x} et \frac{4}{x}.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des deux termes 2\sqrt{x} et \frac{4}{x} en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de 2\sqrt{x}
C’est le produit de la constante 2 par la fonction racine carrée \sqrt{x}. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(2\sqrt{x})'=2\times {(\sqrt{x})'}
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne racine carrée du deuxième tableau.
\hspace{0.9cm}=2\times{ \frac{1}{2\sqrt{x}}}
\hspace{0.9cm}=\frac{1}{\sqrt{x}}
Je calcule la dérivée de \frac{4}{x} .
C’est le produit de la constante 4 par la fonction inverse \frac{1}{x}. J’utilise la deuxième ligne du premier tableau.
(\frac{4}{x})'=4\times (\frac{1}{x})'
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne inverse du deuxième tableau.
(\frac{4}{x})'=4\times (-\frac{1}{x^2})
(\frac{4}{x})'=-\frac{4}{x^2}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (2\sqrt{x}+\frac{4}{x})'\\\hspace{0.9cm}= (2\sqrt{x})'+(\frac{4}{x})'\\\hspace{0.9cm}= 2(\sqrt{x})'+4(\frac{1}{x})'\\\hspace{0.9cm}= 2\times \frac{1}{2\sqrt{x}}+4\times ({-\frac{1}{x^2}})\\\hspace{0.9cm}= \frac{1}{\sqrt{x}} -\frac{4}{x^2}
f(x)= x^2\sqrt{x} pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x^2 et v(x)=\sqrt{x}.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x^2 est une fonction de référence, on utilise la ligne carré du tableau n°2 ci-dessous
u'(x)=2x
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=\sqrt{x}est une fonction de référence, on utilise la ligne racine carrée du tableau n°2 ci-dessous
v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x^2, v par \sqrt{x}, u' par 2x et v' par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=2x\times{\sqrt{x}}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x^2\sqrt{x})'\\f'(x)=(x^2)'\times{\sqrt{x}}+x^2\times{\sqrt{x}'} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
On peut s’arrêter là…Pour les plus curieux, poursuivez !
On peut simplifier le deuxième terme de la somme par \sqrt{x}
f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{x}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{\sqrt{x}^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{\sqrt{x}}\times{\frac{1}{2}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x\sqrt{x}}{2}
On peut mettre au même dénominateur, ici 2
f'(x)={2x\sqrt{x}}\times{\frac{2}{2}}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{{2x\sqrt{x}}\times 2}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{4x\sqrt{x}}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{5x\sqrt{x}}{2}
f(x)= (\sqrt{x}-1)(x^3+2) pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=\sqrt{x}-1 et v(x)=x^3+2.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=\sqrt{x}-1 est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau
u'(x)=(\sqrt{x}-1)'
\hspace{0.9cm}=(\sqrt{x})'-(1)'
\hspace{0.9cm}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-0
\hspace{0.9cm}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x^3+2 est une somme, on utilise la ligne n°1 du premier tableau
v'(x)=(x^3+2)'
\hspace{0.9cm}=(x^3)'+(2)'
\hspace{0.9cm}=3x^2+0
\hspace{0.9cm}=3x^2
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par \sqrt{x}-1, v par x^3+2, u' par \frac{1}{2\sqrt{x}} et v' par 3x^2 dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(x^3+2)}+{(\sqrt{x}-1)}\times{3x^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= ((\sqrt{x}-1)(x^3+2))'\\f'(x)=(\sqrt{x}-1)'\times{(x^3+2)}+(\sqrt{x}-1)\times{(x^3+2)'} \\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\times{(x^3+2)}+(\sqrt{x}-1)\times{3x^2}
On peut s’arrêter là…Pour les plus curieux, poursuivez !
f'(x)=\frac{x^3}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{2\sqrt{x}}+3x^2\sqrt{x}-3x^2
On simplifie la première fraction en haut et en bas par \sqrt{x} et la deuxième par 2
f'(x)=\frac{x^2\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}+3x^2\sqrt{x}-3x^2\\f'(x)=\frac{7x^2\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}-3x^2
f(x)= (2x-1)(x+1)
On peut développer et dériver une somme.
f(x)= 2x^2+2x-x+1\\\hspace{0.8cm}= x^2+x+1
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^2 , x et 1.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{1}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^2 , x et 1 en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de x^2
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne carré du deuxième tableau.
(x^2)'=2x
Je calcule la dérivée de x .
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne identité du deuxième tableau.
(x)'=1
Je calcule la dérivée de 1 .
C’est une fonction de référence , j’utilise la ligne constante du tableau ci-dessous).
(1)'=0
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (x^2+x+1)'\\f'(x)= (x^2)'+(x)'+(1)'\\f'(x)= 2x+1+0\\f'(x)= 2x+1
f(x)= \frac{1}{-5x+10} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est l’inverse d’une fonction \frac{1}{ u} avec u(x)=-5x+10 .
On va utiliser la ligne n°4 ( inverse) du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=-5x+10 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(-5x+10)'
u'(x)=(-5x)'+(10)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (-5x)' par -5(x)'
u'(x)=-5(x)'+(10)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=-5\times1+0
u'(x)=-5
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par -5x+10, u' par -5 dans la formule -\frac{u'}{u^2}
f'(x)=-\frac{-5}{(-5x+10)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{1}{-5x+10})'\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(-5x+10)'}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(-5x)'+(10)'}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{-5(x)'+0}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{{-5}\times{1}}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{-5}{(-5x+10)^2}\\\hspace{0.8cm}=\frac{5}{(-5x+10)^2}
f(x)= \frac{1}{x^2-2x+4} pour x\in \mathbf{R}
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est l’inverse d’une fonction \frac{1}{ u} avec u(x)=x^2-2x+4 .
On va utiliser la ligne n°4 ( inverse) du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x^2-2x+4 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(x^2-2x+4)'
u'(x)=(x^2)'-(2x)'+(4)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (2x)' par 2(x)'
u'(x)=(x^2)'-2(x)'+(4)'
On utilise les lignes 1 (constante) ,2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=2x-2\times 1+0
u'(x)=2x-2
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x^2-2x+4, u' par 2x-2 dans la formule -\frac{u'}{u^2}
f'(x)=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+4)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{1}{x^2-2x+4})'\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^2-2x+4)'}{(x^2-2x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^2)'-(2x)'+(4)'}{(x^2-2x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2x-2(x)'+0}{(x^2-2x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2x-{2}\times{1}}{(x^2-2x+4)^2}\\\hspace{0.8cm}=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+4)^2}
f(x)= \frac{5}{x^3+1} pour x\in \mathbf{R}
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
La tentation de répondre quotient est grande, cependant le numérateur ne dépend pas de x donc on va plutôt dire que c’est le produit d’un réel par une fonction.
Avec k=5 et u(x)= \frac{1}{x^3+1}
On va utiliser la ligne n°2 ( produit d’une constante par une fonction) du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)= \frac{1}{x^3+1} est l’inverse d’une fonction , on utilise la 4ème ligne du tableau n°1
u'(x)= (\frac{1}{x^3+1})'
\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^3+1)'}{(x^3+1)^2}
\hspace{0.8cm}=-\frac{(x^3)'+(1)'}{(x^3+1)^2}
\hspace{0.8cm}=-\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace k par 5, u' par -\frac{3x^2}{(x^3+1)^2} dans la formule ku'
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{5}{x^3+1})'\\\hspace{0.8cm}=5(\frac{1}{x^3+1})'\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{(x^3+1)'}{(x^3+1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{(x^3)'+(1)'}{(x^3+1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{3x^2+0}{(x^3+1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=5\times({-\frac{3x^2}{(x^3+1)^2}})\\\hspace{0.8cm}=-\frac{15x^2}{(x^3+1)^2}
f(x)= \frac{2x-1}{x-2} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=2x-1 et v(x)=x-2.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2x-1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(2x-1)'
u'(x)=(2x)'-(1)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (2x)' par 2(x)'
u'(x)=2(x)'-(1)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=2\times1+0
u'(x)=2
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x-2 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x-2)'
v'(x)=(x)'-(2)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=1-0
v'(x)=1
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 2x-1, v par x-2, u' par 2 et v' par 1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
f'(x)=\frac{2\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{1}}{(x-2)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{2x-1}{x-2})'\\f'(x)=\frac{(2x-1)'\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{(x-2)'}}{(x-2)^2}\\f'(x)=\frac{2\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{1}}{(x-2)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x-4-(2x-1)}{(x-2)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x-4-2x+1}{(x-2)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=-\frac{3}{(x-2)^2}
f(x)= \frac{3x+2}{x+3} pour x\in \mathbf{R} privé de -3
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=3x+2 et v(x)=x+3.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=3x+2 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(3x+2)'
u'(x)=(3x)'+(2)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (3x)' par 3(x)'
u'(x)=3(x)'+(2)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=3\times1+0
u'(x)=3
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x+3 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x+3)'
v'(x)=(x)'+(3)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=1+0
v'(x)=1
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 3x+2, v par x+3, u' par 3 et v' par 1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
f'(x)=\frac{3\times{(x+3)}-{(3x+2)}\times{1}}{(x+3)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{3x+2}{x+3})'\\f'(x)=\frac{(3x+2)'\times{(x+3)}-{(3x+2)}\times{(x+3)'}}{(x+3)^2}\\f'(x)=\frac{3\times{(x+3)}-{(3x+2)}\times{1}}{(x+3)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{3x+9-(3x+2)}{(x+3)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{3x+9-3x-2}{(x+3)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=\frac{7}{(x+3)^2}
f(x)= \frac{2x-1}{x^2+x} pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=2x-1 et v(x)=x^2+x.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2x-1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(2x-1)'
u'(x)=(2x)'-(1)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (2x)' par 2(x)'
u'(x)=2(x)'-(1)'
On utilise les lignes 1 (constante) et 2 (identité) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=2\times1-0
u'(x)=2
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x^2+x est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x^2+x)'
v'(x)=(x^2)'+(x)'
On utilise les lignes 2 (identité) et 3 (carré) du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=2x+1
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 2x-1, v par x^2+x, u' par 2 et v' par 2x+1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
f'(x)=\frac{2\times{(x^2+x)}-{(2x-1)}\times{(2x+1)}}{(x^2+x)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{2x-1}{x^2+x})'\\f'(x)=\frac{(2x-1)'\times{(x^2+x)}-{(2x-1)}\times{(x^2+x)'}}{(x^2+x)^2}\\f'(x)=\frac{2\times{(x^2+x)}-{(2x-1)}\times{(2x+1)}}{(x^2+x)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Le deuxième produit est une identité remarquable. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x^2+2x-(4x^2-1)}{(x^2+x)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x^2+2x-4x^2+1}{(x^2+x)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=\frac{-2x^2+2x+1}{(x^2+x)^2}