Sommaire
Préambule
Voici cinq termes qui se déduisent les uns des autres en multipliant par 2. Pour trouver le suivant, c’est facile il suffit de faire 48\times2=96. Mais si on vous demande de déterminer le 100ème terme de cette suite, cela devient plus compliqué. Cette fiche de cours doit pouvoir nous permettre de répondre à cette question et bien d’autres.
Définition (générer une suite géométrique par récurrence)
On dit qu’une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est géométrique quand il existe un réel q appelé raison de la suite tel que, pour tout entier naturel n , u_{n+1}=q\times {u_n} .
Propriété (générer une suite géométrique par formule explicite)
Activité d’approche
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_1 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_1=u_0\times q^{…}
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_2 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_2=u_0\times q^{…}
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_3 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_3=u_0\times q^{…}
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_0\times q^{…}
Propriété 1
quand on exprime u_n en fonction de u_0
Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n , u_n=u_0q^n .
Activité d’approche
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_1 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_1q^{…}
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_2 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_2q^{…}
Propriété 2
quand on exprime u_n en fonction de u_p
Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n ,
u_n=u_pq^{n-p} .
Exercice n°1
Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont géométriques et si oui indiquer la raison.
- u_0=2 et u_{n+1}=0.5u_n
2. u_0=1 et u_{n+1}=3u_{n}+1
3. u_0=0.8 et u_{n+1}=(u_{n})^2
Exercice n°2
Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont géométriques et si oui indiquer la raison.
- u_{n}=2^n , pour n \in \mathbf{N}
2. u_{n}=3n, pour n \in \mathbf{N}
3. u_{n}=-2\times3^n
Variations d’une suite géométrique
Exemple n°1 : u_0 est positif et q>1
On considère la suite géométrique définie par
u_0=0.5 et u_{n+1}=3u_{n}.
On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).
Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n augmentent. On dit que la suite est croissante.
Exemple n°2 : u_0 est positif et 0<q<1
On considère la suite géométrique définie par
u_n=2(\frac{1}{2})^n.
On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).
Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n diminuent. On dit que la suite est décroissante.
Exemple n°3 : u_0 est négatif et 0<q<1
On considère la suite géométrique définie par
u_0=0.5 et u_{n+1}=3u_{n}.
On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).
Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n augmentent. On dit que la suite est croissante.
Exemple n°4 : u_0 est négatif et q>1
On considère la suite géométrique définie par
u_n=-\frac{1}{8}\times {2^n}.
On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).
Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n diminuent. On dit que la suite est décroissante.
Propriété 3
Soit une suite géométrique u_n de raison q et de premier u_0 .
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°3).
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n est croissante.
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°4).
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°1).
Exercice n°3
Pour chacune des suites géométriques ci-dessous, déterminer la raison q et le premier terme u_0. Puis à l’aide de la propriété n°3, en déduire les variations de la suite.
- u_0=-2 et u_{n+1}=3u_{n}
2. u_{n}=-2\times(\frac{1}{3})^n , n \in \mathbf{N}
3. u_0=5 et u_{n+1}=6u_{n}
4. u_{0}=14 et u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n .
5. u_{0}=2 et u_{n+1}=-\frac{1}{2}u_n .
On passe de u_0 à u_1 en multipliant une fois par la raison q :
u_1=u_0\times q\\u_1=u_0q
On passe de u_0 à u_2 en multipliant deux fois par la raison q :
u_2=u_0\times q\times q\\u_2=u_0q^2
On passe de u_0 à u_3 en multipliant trois fois par la raison q :
u_3=u_0\times q\times q\times q\\u_3=u_0q^3
On passe de u_0 à u_n en multipliant n fois par la raison q :
u_n=u_0\times q\times q\times q\times q………..\times q\\u_n=u_0q^n
On passe de u_0 à u_n en multipliant n fois par la raison q .
Comme on a barré une raison sur le schéma, on passe de u_1 à u_n en multipliant (n-1) fois la raison q
u_n=u_1\times q^{n-1}
On passe de u_0 à u_n en multipliant n fois par la raison q .
Comme on a barré deux raisons sur le schéma, on passe de u_2 à u_n en multipliant par (n-2) fois la raison q
u_n=u_2\times q^{n-2}
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite est géométrique de raison 0.5.
De plus, on reconnaît une relation par récurrence du type u_{n+1}=q\times u_n avec q=0.5.
Voici la réponse attendue :
L’ écriture u_0=2 et u_{n+1}=0.5u_n est l’écriture par récurrence d’une suite géométrique de raison 0.5 et de premier terme u_0=2.
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas géométrique car pour passer de 1 à 4 on multiplie par 4 et pour passer de 4 à 13 on multiplie par \frac{13}{4} qui n’est pas égal à 4.
Voici la réponse attendue :
La suite définie par u_0=1 et u_{n+1}=3u_n+1 n’est pas géométrique car \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .
En effet,
\frac{u_1}{u_0}=\frac{4}{1}=4
et \frac{u_2}{u_1} =\frac{13}{4}.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique montrer que \frac{u_1}{u_0}\ne \frac{u_2}{u_1} suffit.
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est géométrique en montrant que \frac{u_1}{u_0}= \frac{u_2}{u_1}
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas géométrique car pour passer de 0.8 à 0.64 on multiplie par 0.8 et pour passer de 0.64 à 0.4096 on multiplie par 0.64 qui n’est pas égal à 0.8.
Voici la réponse attendue :
La suite définie par u_0=0.8 et u_{n+1}=u_n^2 n’est pas géométrique car \frac{u_1}{u_0} \ne \frac{u_2}{u_1} .
En effet,
\frac{u_1}{u_0}=\frac{0.64}{0.8}=0.8
et \frac{u_2}{u_1} =\frac{0.4096}{0.64}=0.64.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique montrer que \frac{u_1}{u_0}\ne \frac{u_2}{u_1} suffit.
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est géométrique en montrant que \frac{u_1}{u_0}= \frac{u_2}{u_1}
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite est géométrique de raison 2.
De plus, on reconnaît une formule explicite du type u_{n}=u_0\times q^n avec u_{0}=1 et q=2.
Voici la réponse attendue :
L’ écriture u_{n}=2^n est l’écriture par formule explicite d’une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u_0=1.
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas géométrique .
Voici la réponse attendue :
La suite définie par u_{n}=3n n’est pas géométrique car comme u_0 =0 tous les termes devraient être nuls ce qui n’est pas le cas.
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite est géométrique de raison 3.
De plus, on reconnaît une formule explicite du type u_{n}=u_0\times q^n avec u_{0}=-2 et q=3.
Voici la réponse attendue :
L’ écriture u_{n}=-2\times 3^n est l’écriture par formule explicite d’une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u_0=-2.
L’écriture u_{0}=-2 et u_{n+1}=3u_n définit par récurrence une suite géométrique.
La forme générale est u_{n+1}=q\times u_n .
Donc u_0=-2 et q=3
La raison vaut 3 , elle est supérieure à 1 et u_0=-2 donc u_0 est négatif.
la suite (u_n) est décroissante d’après la propriété du cours ci-dessous.
Propriété 3
Soit une suite géométrique u_n de raison q et de premier u_0 .
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°3).
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n est croissante.
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°4).
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°1).
L’écriture u_{n}=-2\times {(\frac{1}{3})^n} définit de façon explicite une suite géométrique.
La forme générale est u_{n}=u_o\times q^n .
Donc u_0=-2 et q=\frac{1}{3}
La raison vaut \frac{1}{3} , elle est comprise entre 0 et 1 et u_0=-2 donc u_0 est négatif.
la suite (u_n) est croissante d’après la propriété du cours ci-dessous.
Propriété 3
Soit une suite géométrique u_n de raison q et de premier u_0 .
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°3).
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n est croissante.
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°4).
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°1).
L’écriture u_{0}=5 et u_{n+1}=6u_n définit par récurrence une suite géométrique.
La forme générale est u_{n+1}=q\times u_n .
Donc u_0=5 et q=6
La raison vaut 6 , elle est supérieure à 1 et u_0=5 donc u_0 est positif.
la suite (u_n) est croissante d’après la propriété du cours ci-dessous.
Propriété 3
Soit une suite géométrique u_n de raison q et de premier u_0 .
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°3).
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n est croissante.
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°4).
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°1).
L’écriture u_{n}= (\frac{1}{2})^n définit de façon explicite une suite géométrique.
La forme générale est u_{n}=u_0\times q^n .
Donc u_0=1 et q=\frac{1}{2}
La raison vaut \frac{1}{2} , elle est comprise entre 0 et 1 et u_0=1 donc u_0 est positif.
la suite (u_n) est décroissante d’après la propriété du cours ci-dessous.
Propriété 3
Soit une suite géométrique u_n de raison q et de premier u_0 .
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°3).
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n est croissante.
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°4).
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°1).
L’écriture u_{0}=2 et u_{n+1}=-\frac{1}{2}u_n définit par récurrence une suite géométrique.
La forme générale est u_{n+1}=q\times u_n .
Donc u_0=2 et q=-\frac{1}{2}
La raison vaut -\frac{1}{2} , elle est négative et u_0=2 donc u_0 est positif.
la suite (u_n) n’est pas monotone d’après la propriété du cours ci-dessous.
Propriété 3
Soit une suite géométrique u_n de raison q et de premier u_0 .
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n n’est pas monotone.
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°3).
Si 0</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">q</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°2).
Si q=1 la suite u_n est constante.
Si r</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n est croissante.
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe négatif la suite u_n est strictement décroissante (
exemple n°4).
Si q</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">1 et si u_0 est de signe positif la suite u_n est strictement croissante (
exemple n°1).