Sommaire
Préambule
Voici cinq termes qui se déduisent les uns des autres en ajoutant 3. Pour trouver le suivant, c’est facile il suffit de faire 14+3=17. Mais si on vous demande de déterminer le 100ème terme de cette suite, cela devient plus compliqué. Cette fiche de cours doit pouvoir nous permettre de répondre à cette question et bien d’autres.
Définition (générer une suite arithmétique par récurrence)
On dit qu’une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique quand il existe un réel r appelé raison de la suite tel que, pour tout entier naturel n , u_{n+1}=u_n+r .
Propriété (générer une suite arithmétique par formule explicite)
Activité d’approche
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_1 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_1=u_0+….\times r
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_2 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_2=u_0+….\times r
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_3 puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_3=u_0+….\times r
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_0 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_0+….\times r
Propriété 1
quand on exprime u_n en fonction de u_0
Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique si et seulement si pour tout entier naturel n , u_n=u_0+nr .
Activité d’approche
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_1 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_1+….\times r
A l’aide du schéma ci-contre, expliquer comment on passe de u_2 à u_n puis compléter les pointillés dans l’égalité suivante :
u_n=u_2+….\times r
Propriété 2
quand on exprime u_n en fonction de u_p
Une suite (u_n) définie sur \mathbf{N} est arithmétique si et seulement si pour tout entier naturel n ,
u_n=u_p+(n-p)r .
Exercice n°1
Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont arithmétiques et si oui indiquer la raison.
- u_0=-2 et u_{n+1}=-2+u_{n}
2. u_0=0 et u_{n+1}=3u_{n}-1
3. u_0=0 et u_{n+1}=-u_{n}+9
Exercice n°2
Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justifiant si elles sont arithmétiques et si oui indiquer la raison.
- u_{n}=-2+n , pour n \in \mathbf{N}
2. u_{n}=2n-5, pour n \in \mathbf{N}
3. u_{n}=n^2-100
Variations d’une suite arithmétique
On considère la suite arithmétique définie par
u_0=-2 et u_{n+1}=-2+u_{n}.
On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).
Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n diminuent. On dit que la suite est décroissante.
Remarque : ici la raison vaut -2, elle est négative.
On considère la suite arithmétique définie par
u_n=3+2n.
On programme la calculatrice et sur le graphique, on fait apparaître les points de coordonnées (n;u_n).
Il semble que quand les abscisses n augmentent les ordonnées u_n augmentent aussi. On dit que la suite est croissante.
Remarque : ici la raison vaut 2, elle est positive.
Propriété 3
Soit une suite arithmétique u_n de raison r.
Si r</p> <p class="wp-block-paragraph"><</p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n est décroissante.
Si r=0 la suite u_n est constante.
Si r</p> <p class="wp-block-paragraph">></p> <p class="wp-block-paragraph">0 la suite u_n est croissante.
Exercice n°3
Pour chacune des suites arithmétiques ci-dessous, déterminer la raison et en déduire les variations.
- u_0=-2 et u_{n+1}=7+u_{n}
2. u_{n}=-2+6n , n \in \mathbf{N}
3. u_0=0 et u_{n+1}=u_{n}-9
4. u_{n}=5-3n , n \in \mathbf{N}
On passe de u_0 à u_1 en ajoutant une fois la raison r :
u_1=u_0+1\times r\\u_1=u_0+r
On passe de u_0 à u_2 en ajoutant deux fois la raison r :
u_2=u_0+2\times r\\u_2=u_0+2r
On passe de u_0 à u_3 en ajoutant trois fois la raison r :
u_3=u_0+3\times r\\u_3=u_0+3r
On passe de u_0 à u_n en ajoutant n fois la raison r :
u_n=u_0+n\times r\\u_n=u_0+nr
On passe de u_0 à u_n en ajoutant n fois la raison r .
Comme on a barré une raison sur le schéma, on passe de u_1 à u_n en ajoutant (n-1) fois la raison r
u_n=u_1+(n-1)\times r\\u_n=u_1+(n-1)r
On passe de u_0 à u_n en ajoutant n fois la raison r .
Comme on a barré deux fois la raison sur le schéma, on passe de u_2 à u_n en ajoutant (n-2) fois la raison r
u_n=u_2+(n-2)\times r\\u_n=u_2+(n-2)r
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite est arithmétique de raison -2.
De plus, on reconnaît une relation par récurrence du type u_{n+1}=u_n+r avec r=-2.
Voici la réponse attendue :
L’ écriture u_0=-2 et u_{n+1}=-2+u_n est l’écriture par récurrence d’une suite arithmétique de raison -2 et de premier terme u_0=-2.
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas arithmétique car pour passer de 0 à -1 on enlève 1 et pour passer de -1 à -4 on enlève 3 .
Voici la réponse attendue :
La suite définie par u_0=0 et u_{n+1}=3u_n-1 n’est pas arithmétique car u_1-u_0 \ne u_2-u_1 .
En effet,
u_1-u_0=-1-0=-1
et u_2-u_1 =-4-(-1)=-4+1=-3.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que u_1-u_0 = u_2-u_1
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas arithmétique car pour passer de 0 à 9 on ajoute 9 et pour passer de 9 à 0 on enlève 9 .
Voici la réponse attendue :
La suite définie par u_0=0 et u_{n+1}=-u_n+9 n’est pas arithmétique car u_1-u_0 \ne u_2-u_1 .
En effet,
u_1-u_0=9-0=9
et u_2-u_1 =0-9=-9.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que u_1-u_0 = u_2-u_1
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite est arithmétique de raison 1.
De plus, on reconnaît une formule explicite du type u_n=u_0+nr avec u_0=-2 et r=1.
Voici la réponse attendue :
L’ écriture u_n=-2+n est l’écriture par formule explicite d’une suite arithmétique de raison -1 et de premier terme u_0=-2.
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite est arithmétique de raison 2.
De plus, on reconnaît une formule explicite du type u_n=u_0+nr avec u_0=-5 et r=2.
Voici la réponse attendue :
L’ écriture u_n=2n-5 est l’écriture par formule explicite d’une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u_0=-5.
Avant toute chose, programmer la suite à la calculatrice.
A la lecture du tableur, on constate que la suite n’est pas arithmétique car pour passer de -100 à -99 on ajoute 1 et pour passer de -99 à -96 on ajoute 3 .
Voici la réponse attendue :
La suite définie par u_n=n^2-100 n’est pas arithmétique car u_1-u_0 \ne u_2-u_1 .
En effet,
u_1-u_0=-99-(-100)=1
et u_2-u_1 =-96-(-99)=3.
Remarque : pour montrer qu’une suite n’est pas arithmétique montrer que u_1-u_0 \ne u_2-u_1 suffit.
En revanche, on ne peut pas démontrer qu’une suite est arithmétique en montrant que u_1-u_0 = u_2-u_1
L’écriture u_0=-2 et u_{n+1}=7+u_n définit par récurrence une suite arithmétique .
La forme générale est u_{n+1}=u_n+r .
Donc r=7
La raison vaut 7 , elle est positive donc la suite (u_n) est croissante.
L’écriture u_n=-2+6n définit par formule explicite une suite arithmétique .
La forme générale est u_n=u_0+nr .
Donc u_0=-2 et r=6
La raison vaut 6 , elle est positive donc la suite (u_n) est croissante.
L’écriture u_0=0 et u_{n+1}=u_n-9 définit par récurrence une suite arithmétique .
La forme générale est u_{n+1}=u_n+r .
Donc r=-9
La raison vaut -9 , elle est négative donc la suite (u_n) est décroissante.
L’écriture u_n=5-3n définit par formule explicite une suite arithmétique .
La forme générale est u_n=u_0+nr .
Donc u_0=5 et r=-3
La raison vaut -3 , elle est négative donc la suite (u_n) est décroissante.