La suite est définie par récurrence
Recommandation
On calcule le terme suivant en fonction du précédent donc pour calculer, par exemple, u_7 il faut connaître u_6 et pour connaître u_6 il faut connaître u_5, ….
On voit que cette formule convient pour calculer les premiers termes d’une suite mais pas des termes éloignés.
Méthode 1 (par le calcul) :
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_7, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 6 dans la formule u_{n+1}=f(u_n) puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
Méthode 2 ( avec la calculatrice TI 83 Premium CE Python):
Par exemple : générons la suite
u_{0}=10 et u_{n+1}=2*u_{n}+1
Méthode 3 ( avec un tableur):
Lorsque la suite (u_n) est définie par récurrence, une seule colonne est nécessaire pour générer la suite.
Par exemple : générons la suite
u_{0}=10 et u_{n+1}=2*u_{n}+6
Dans la cellule A1 : saisir la valeur u_0 c’est-à-dire 10
Dans la cellule A2 : saisir la formule =2*A1+6 puis recopier la formule vers le bas.
Voici une fenêtre active géogébra où on peut utiliser le tableur pour conjecturer ou vérifier les résultats obtenus pour le calcul des termes de la suite dans les exercices ci-dessous.
Exercice 1
Calculer u_1 ,u_2 et u_3 .(Comme on demande de calculer, il faut utiliser la méthode n°1. Cependant on peut conjecturer d’abord avec la calculatice et ensuite vérifier avec un tableur )
u_{n+1}=3u_{n}+4 et u_0=-1
Exercice 2
Calculer u_1 ,u_2 et u_3 .(Comme on demande de calculer, il faut utiliser la méthode n°1. Cependant on peut conjecturer d’abord avec la calculatice et ensuite vérifier avec un tableur )
u_{n+1}=-2u_{n}+1 et u_0=2
Exercice 3
Calculer u_1 ,u_2 et u_3 .(Comme on demande de calculer, il faut utiliser la méthode n°1. Cependant on peut conjecturer d’abord avec la calculatice et ensuite vérifier avec un tableur )
u_{n+1}=\frac{1}{u_{n}}+1 et u_0=10
La suite est définie par formule explicite
Méthode 1 (par le calcul) :
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_6, il faut remplacer tous les n par l’entier , ici 6 dans la formule u_{n}=f(n) puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
Méthode 2 ( avec la calculatrice TI 83 Premium CE Python):
Méthode 3 (avec un tableur):
Lorsque la suite (u_n) est définie par formule explicite, deux colonnes sont nécessaires pour générer la suite : une pour les indices n et une autre pour les termes de la suite (u_n)
Par exemple : générons la suite
u_{n}=2n^2 pour n\geq 2
Attention : il y a un piège, la suite commence au rang ou indice 2.
Dans la cellule A1 : saisir la valeur du premier rang ou indice, ici 2.
Dans la cellule B1 : saisir la formule =2*A1^2 puis recopier la formule vers le bas.
Voici une fenêtre active géogébra où on peut utiliser le tableur pour conjecturer ou vérifier les résultats obtenus pour le calcul des termes de la suite dans les exercices ci-dessous.
Exercice 4
Calculer u_0 ,u_5 et u_{10} .(Comme on demande de calculer, il faut utiliser la méthode n°1. Cependant on peut conjecturer d’abord avec la calculatice et ensuite vérifier avec un tableur )
u_{n}=2n+1 pour n \in \mathbf{N}
Exercice 5
Calculer u_0 ,u_4 et u_{8} .(Comme on demande de calculer, il faut utiliser la méthode n°1. Cependant on peut conjecturer d’abord avec la calculatice et ensuite vérifier avec un tableur )
u_{n}=3\times 2^n pour n \in \mathbf{N}
Exercice 6
Calculer u_1 ,u_7 et u_{9} .(Comme on demande de calculer, il faut utiliser la méthode n°1. Cependant on peut conjecturer d’abord avec la calculatice et ensuite vérifier avec un tableur )
u_{n}=n^2-2n pour n \in \mathbf{N}
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_1, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 0 dans la formule u_{n+1}=3u_n+4 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{0+1}=3u_0+4
u_{1}=3u_0+4
On remplace u_0 par sa valeur -1
u_{1}=3\times{(-1)}+4
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{1}=-3+4
u_{1}=1
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_2, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 1 dans la formule u_{n+1}=3u_n+4 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{1+1}=3u_1+4
u_{2}=3u_1+4
On remplace u_1 par sa valeur 1
u_{2}=3\times 1+4
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{2}=3+4
u_{2}=7
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_3, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 2 dans la formule u_{n+1}=3u_n+4 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{2+1}=3u_2+4
u_{3}=3u_2+4
On remplace u_2 par sa valeur 7
u_{3}=3\times 7+4
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{3}=21+4
u_{3}=25
générons la suite
u_{0}=-1 et u_{n+1}=3*u_{n}+4
Dans la cellule A1 : saisir la valeur (u_0) c’est-à-dire -1
Dans la cellule A2 : saisir la formule =3*A1+4 puis recopier la formule vers le bas.
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_1, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 0 dans la formule u_{n+1}=-2u_n+1 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{0+1}=-2u_0+1
u_{1}=-2u_0+1
On remplace u_0 par sa valeur 2
u_{1}=-2\times{2}+1
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{1}=-4+1
u_{1}=-3
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_2, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 1 dans la formule u_{n+1}=-2u_n+1 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{1+1}=-2u_1+1
u_{2}=-2u_1+1
On remplace u_1 par sa valeur -3
u_{2}=-2\times{(-3)}+1
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{2}=6+1
u_{2}=7
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_3, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 2 dans la formule u_{n+1}=-2u_n+1 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{2+1}=-2u_2+1
u_{3}=-2u_2+1
On remplace u_2 par sa valeur 7
u_{3}=-2\times{7}+1
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{3}=-14+1
u_{3}=-13
générons la suite
u_{0}=2 et u_{n+1}=-2u_{n}+1
Dans la cellule A1 : saisir la valeur u_{0} c’est-à-dire 2
Dans la cellule A2 : saisir la formule =-2*A1+1 puis recopier la formule vers le bas.
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_1, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 0 dans la formule u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n} puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{0+1}=1+\frac{1}{u_0}\\u_1=1+\frac{1}{u_0}
On remplace u_0 par sa valeur 10
u_1=1+\frac{1}{10}
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations.Pour ajouter les deux fractions, on met au même dénominateur, ici 10.
u_1=1\times {\frac{10}{10}}+\frac{1}{10}\\u_1=\frac{10}{10}+\frac{1}{10}\\u_1=\frac{11}{10}
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_2, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 1 dans la formule u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n} puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{1+1}=1+\frac{1}{u_1}\\u_2=1+\frac{1}{u_1}
On remplace u_1 par sa valeur \frac{11}{10}
u_2=1+\frac{1}{\frac{11}{10}}
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations, on effectue d’abord la division. Diviser par \frac{11}{10} revient à multiplier par \frac{10}{11}
u_2=1+1\times{\frac{10}{11}}\\u_2=1+\frac{10}{11}
Pour ajouter les deux fractions, on met au même dénominateur, ici 11.
u_2=1\times {\frac{11}{11}}+\frac{10}{11}\\u_2=\frac{11}{11}+\frac{10}{11}\\u_2=\frac{21}{11}
C’est une suite définie par récurrence.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_3, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici 2 dans la formule u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n} puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{2+1}=1+\frac{1}{u_2}\\u_3=1+\frac{1}{u_2}
On remplace u_2 par sa valeur \frac{21}{11}
u_3=1+\frac{1}{\frac{21}{11}}
Puis on calcule en respectant la priorité des opérations, on effectue d’abord la division. Diviser par \frac{21}{11} revient à multiplier par \frac{11}{21}
u_3=1+1\times{\frac{11}{21}}\\u_3=1+\frac{11}{21}
Pour ajouter les deux fractions, on met au même dénominateur, ici 21.
u_3=1\times {\frac{21}{21}}+\frac{11}{21}\\u_2=\frac{21}{21}+\frac{11}{21}\\u_2=\frac{32}{21}
générons la suite
u_{0}=10 et u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n}
Dans la cellule A1 : saisir la valeur u_0 c’est-à-dire 10
Dans la cellule A2 : saisir la formule =1+\frac{1}{A1} puis recopier la formule vers le bas.
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_0, il faut remplacer tous les n par l’entier 0, dans la formule
u_{n}=2n+1 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{0}=2\times 0+1
u_{0}=1
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_5, il faut remplacer tous les n par l’entier 5, dans la formule
u_{n}=2n+1 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{5}=2\times 5+1
u_{5}=10+1
u_{5}=11
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_{10}, il faut remplacer tous les n par l’entier 10, dans la formule
u_{n}=2n+1 puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{10}=2\times {10}+1
u_{10}=20+1
u_{10}=21
Lorsque la suite (u_n) est définie par formule explicite, deux colonnes sont nécessaires pour générer la suite : une pour les indices n et une autre pour les termes de la suite (u_n)
Par exemple : générons la suite
u_{n}=2n+1 pour n\in \mathbf{N}
Dans la cellule A1 : saisir la valeur du premier rang ou indice, ici 0. Puis dans la cellule A2 : saisir la formule
=A1+1 puis recopier la formule vers le bas.
Dans la cellule B1 : saisir la formule =2*A1+1 puis recopier la formule vers le bas.
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_0, il faut remplacer tous les n par l’entier 0, dans la formule
u_{n}=3\times 2^n puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{0}=3\times 2^0
u_{0}=3\times 1
u_{0}=3
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_4, il faut remplacer tous les n par l’entier 4, dans la formule
u_{n}=3\times 2^n puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{4}=3\times 2^4
u_{4}=3\times 16
u_{4}=48
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_8, il faut remplacer tous les n par l’entier 8, dans la formule
u_{n}=3\times 2^n puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{8}=3\times 2^8
u_{8}=3\times 256
u_{8}=768
Lorsque la suite (u_n) est définie par formule explicite, deux colonnes sont nécessaires pour générer
la suite : une pour les indices n et une autre pour les termes de la suite (u_n)
Par exemple : générons la suite
u_{n}=3\times {2^n} pour n\in \mathbf{N}
Dans la cellule A1 : saisir la valeur du premier rang ou indice, ici 0. Puis dans la cellule A2 : saisir la formule
=A1+1 puis recopier la formule vers le bas.
Dans la cellule B1 : saisir la formule =3*PUISSANCE(2;A1) puis recopier la formule vers le bas.
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_1, il faut remplacer tous les n par l’entier 1, dans la formule
u_{n}=n^2-2n puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{1}=1^2-2\times 1
u_{1}=1-2
u_{1}=-1
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_7, il faut remplacer tous les n par l’entier 7, dans la formule
u_{n}=n^2-2n puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{7}=7^2-2\times 7
u_{7}=49-14
u_{7}=35
C’est une suite définie par formule explicite.
Lorsqu’on veut calculer, par exemple u_9, il faut remplacer tous les n par l’entier 9, dans la formule
u_{n}=n^2-2n puis on calcule en respectant la priorité des opérations.
u_{9}=9^2-2\times 9
u_{9}=81-18
u_{9}=63
Lorsque la suite (u_n) est définie par formule explicite, deux colonnes sont nécessaires pour générer
la suite : une pour les indices n et une autre pour les termes de la suite (u_n)
Par exemple : générons la suite
u_{n}=n^2-2n pour n\in \mathbf{N}
Dans la cellule A1 : saisir la valeur du premier rang ou indice, ici 0. Puis dans la cellule A2 : saisir la formule
=A1+1 puis recopier la formule vers le bas.
Dans la cellule B1 : saisir la formule = PUISSANCE(A1 ; 2) -2*A1puis recopier la formule vers le bas.
