AVERTISSEMENT : Tout ce qui est fait dans l’activité permet de donner du sens aux deux façons de générer des suites : par récurrence et par formule explicite. En aucun cas, on ne vous donnera des exercices de ce type en devoir.
Sommaire
Activité d’approche
Dans chaque cas, déterminer le dernier terme et faire une phrase en français pour expliquer comment on l’a trouvé.
Suite n°1
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …
Suite n°2
-1 , -3 , -5 , -7 , -9 , -11 , -13 , …
Suite n°3
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , …
Suite n°4
1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 , …
Suite n°5
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , …
Suite n°6
1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \frac{1}{5} , \frac{1}{6} , \frac{1}{7} , …
Suite n°7
0 , \frac{1}{2} , \frac{4}{5} , \frac{9}{10} , \frac{16}{17} , \frac{25}{26} , …
Suite n°8
0 , 2 , 8 , 18 , 32 , 50 , 72 , …
Suite n°9
-12 , -7 , -2 , 3 , 8 , 13 , 18 , …
Suite définie par récurrence
Poursuite de l’activité d’approche :
On se propose de remplacer terme précédent par u_{n} et terme suivant par u_{n+1} dans les phrases obtenues dans l’activité d’approche. Puis on demande d’identifier le premier terme de la suite qu’on désignera dans la plupart des cas par la notation u_{0} .
Compléter les pointillés dans chaque cas.
Suite n°1
u_{0}= … \\u_{n+1}= …
Suite n°2
u_{0}= … \\u_{n+1}= …
Suite n°3
u_{0}= … \\u_{n+1}= …
Suite n°4
u_{0}= … \\u_{n+1}= …
Suite n°9
u_{0}= … \\u_{n+1}= …
Définition :
On dit qu’une suite (u_n) est définie par récurrence lorsqu’on connaît le premier terme par exemple u_0 et lorsqu’on connaît une relation qui exprime le terme suivant en fonction du précédent c’est-à-dire une relation du type u_{n+1 }= f(u_n).
Suite définie par formule explicite
Poursuite de l’activité d’approche :
On se propose d’exprimer u_{n} en fonction de n.
Intéressons-nous à la suite n°1. Voici un tableau avec sur la première ligne les rangs ou les indices des termes de la suite et sur la deuxième ligne les termes de la suite correspondants.
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Puis on exprime les nombres du bas en fonction des nombres du haut.
D’abord en langue française :
Ici les nombres du bas sont égaux aux nombres du haut .
Puis avec une égalité mathématique avecu_n à gauche et une expression en fonction de n à droite:
u_n=n
Faire pour les suites suivantes ce qu’on a fait pour la suite n°1.
Suite n°2
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | -1 | -3 | -5 | -7 | -9 | -11 | -13 |
u_{n}= …
Suite n°3
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
u_{n}= …
Suite n°4
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | 1 | 0.1 | 0.01 | 0.001 | 0.0001 | 0.00001 | 0.000001 |
u_{n}= …
Suite n°5
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
u_n | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
u_{n}= …
Suite n°6
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| u_n | 1 | \frac{1}{2} | \frac{1}{3} | \frac{1}{4} | \frac{1}{5} | \frac{1}{6} | \frac{1}{7} |
u_{n}= …
Suite n°7
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
u_n | 0 | \frac{1}{2} | \frac{4}{5} | \frac{9}{10} | \frac{16}{17} | \frac{25}{26} | \frac{36}{37} |
u_{n}= …
Suite n°8
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
u_n | 0 | 2 | 8 | 18 | 32 | 50 | 72 |
u_{n}= …
Suite n°9
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
u_n | -12 | -7 | -2 | 3 | 8 | 13 | 18 |
u_{n}= …
Définition :
On dit qu’une suite (u_n) est définie par formule explicite lorsqu’on connaît une relation qui exprime le terme de la suite (u_n) en fonction de son rang ou de son indice n c’est-à-dire une relation du type u_n= f(n).
Suite n°1 :
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
Pour obtenir 7 on a ajouté 6+1 car pour la suite n°1, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 1.
Suite n°2
-1 , -3 , -5 , -7 , -9 , -11 , -13 , -15
Pour obtenir -15 on a ajouté -13+(-2) car pour la suite n°2, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute -2.
Suite n°3
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128
Pour obtenir 128 on a multiplié 64\times 2 car pour la suite n°3, pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par 2.
Suite n°4
1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 ,0.0000001
Pour obtenir 0.0000001 on a multiplié 0.000001\times 0.1 car pour la suite n°4, pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par 0.1.
Suite n°5
1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64
On a constaté qu’il s’agit de la suite des carrés des nombres entiers. Donc le dernier terme est 64 qui est le carré de 8.
Suite n°6
1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \frac{1}{5} , \frac{1}{6} , \frac{1}{7} , \frac{1}{8}
On a constaté qu’il s’agit de la suite des inverses des nombres entiers. Donc le dernier terme est \frac{1}{8} qui est l’inverse de 8.
Suite n°7
0 , \frac{1}{2} , \frac{4}{5} , \frac{9}{10} , \frac{16}{17} , \frac{25}{26} , \frac{36}{37}
On a constaté qu’il s’agit de la suite des carrés des nombres entiers divisés par le nombre entier qui suit le carré du nombre. Donc le dernier terme est \frac{36}{37} qui est le carré de 6 divisé par le carré de 6 plus 1 c’est-à-dire :36+1.
Suite n°8
0 , 2 , 8 , 18 , 32 , 50 , 72 , 98
On a constaté qu’il s’agit de la suite des doubles des carrés des nombres entiers . Donc le dernier terme est 98 qui est le double du carré de 7.
Suite n°9
-12 , -7 , -2 , 3 , 8 , 13 , 18 , 23
Pour obtenir 23 on a ajouté 18+5 car pour la suite n°9, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 5.
Suite n°1 :
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
Pour obtenir 7 on a ajouté 6+1 car pour la suite n°1, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 1.
Le premier terme est 0, on note u_0=0
Pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 1.
On obtient u_{n+1}=u_{n}+1
Suite n°2
-1 , -3 , -5 , -7 , -9 , -11 , -13 , -15
Pour obtenir -15 on a ajouté -13+(-2) car pour la suite n°2, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute -2.
Le premier terme est -1, on note u_0=-1.
Pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute -2
u_{n+1}=u_{n}-2.
Suite n°3
1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128
Pour obtenir 128 on a multiplié 64\times 2 car pour la suite n°3, pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par 2.
Le premier terme est 1, on note u_0=1.
Pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par 2
u_{n+1}=2\times u_{n}.
Suite n°4
1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 ,0.0000001
Pour obtenir 0.0000001 on a multiplié 0.000001\times 0.1 car pour la suite n°4, pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par 0.1.
Le premier terme est 1, on note u_{0}=1.
Pour passer du terme précédent au terme suivant on multiplie par 0.1.
u_{n+1}=0.1\times u_{n}.
Suite n°9
-12 , -7 , -2 , 3 , 8 , 13 , 18 , 23
Pour obtenir 23 on a ajouté 18+5 car pour la suite n°9, pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 5
Le premier terme vaut -12 on note u_0=-12
Pour passer du terme précédent au terme suivant on ajoute 5
u_{n+1}=u_{n}+5
Suite n°2
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | -1 | -3 | -5 | -7 | -9 | -11 | -13 |
On multiplie les nombres du haut par -2 et on ajoute -1.
u_{n}= -2\times n-1 \\u_{n}= -2n-1
Suite n°3
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
Les nombres du bas s’obtiennent en calculant 2 exposant les nombres du haut.
u_{n}= 2^n
Suite n°4
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| u_n | 1 | 0.1 | 0.01 | 0.001 | 0.0001 | 0.00001 | 0.000001 |
On obtient les nombres du bas en faisant 10 exposant (opposés des nombres du haut) ou en calculant l’inverse de 10 exposant (les nombres du haut)
u_{n}= 10^{-n} ou u_{n}= \frac{1}{10^{n}}
Suite n°5
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
u_n | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
Les nombres du bas sont les carrés des nombres du haut .
u_{n}=n^2
Suite n°6
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| u_n | 1 | \frac{1}{2} | \frac{1}{3} | \frac{1}{4} | \frac{1}{5} | \frac{1}{6} | \frac{1}{7} |
Les nombres du bas sont les inverses des nombres du haut.
u_{n}= \frac{1}{n}
Suite n°7
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
u_n | 0 | \frac{1}{2} | \frac{4}{5} | \frac{9}{10} | \frac{16}{17} | \frac{25}{26} | \frac{36}{37} |
Les nombres du bas sont des fractions qui ont pour numérateur les carrés des nombres du haut et pour dénominateur les carrés des nombres du haut +1
u_{n}= \frac{n^2}{n^2+1}
Suite n°8
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
u_n | 0 | 2 | 8 | 18 | 32 | 50 | 72 |
Les nombres du bas sont les doubles des carrés des nombres du haut.
u_{n}=2n^2
Suite n°9
u_0=-12
Pour aller de u_0 à u_1 on ajoute une fois 5 donc u_1=u_0+5.
Pour aller de u_0 à u_2 on ajoute deux fois 5 donc u_2=u_0+5\times 2.
Pour aller de u_0 à u_3 on ajoute trois fois 5 donc u_3=u_0+5\times 3.
…
Pour aller de u_0 à u_n on ajoute n fois 5 donc u_n=u_0+5\times n.
u_n=-12+5\times n