Sommaire
Rappels de première
Dérivées des fonctions de référence
On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions de référence sur leurs ensembles de définition
Fonction | f(x) | Dérivable sur… | f'(x) |
constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
Opérations et dérivation
On rappelle les formules suivantes valables pour les fonctions sur leurs ensembles de définition
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Exercice n°1 :
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= x^3-2x^2+5 pour x\in \mathbf{R}
2. f(x)= 5x^2-2x+\sqrt{5} pour x\in \mathbf{R}
3. f(x)= \frac{3}{x-1} pour x\in \mathbf{R} privé de 1
4. f(x)= 8\sqrt{x} pour x\in [0;+\infty[
5. f(x)= x^2\sqrt{x} pour x\in [0;+\infty[
6. f(x)= x^3e^x pour x\in \mathbf{R}
7. f(x)= \frac{2x-1}{x-2} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
8. f(x)= \frac{3x-4}{x^2-1} pour x\in \mathbf{R} privé de -1 et de 1
Propriété n°1 :
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
La fonction u^2:x\rightarrow(u(x))^2 est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x)
Exercice n°2 :
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= (2x-1)^2 pour x\in \mathbf{R}
2.f(x)= (e^x+x)^2 pour x\in \mathbf{R}
Propriété n°2 :
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}}
Exercice n°3 :
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= e^{x^2-6} pour x\in \mathbf{R}
2. f(x)= e^{\sqrt{x}} pour x\in [0;+\infty[
Propriété n°3 :
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .
Soient a et b deux réels.
Soit J l’intervalle contenant les réels x tels que ax+b appartienne à I
Soit g définie sur J par g(x)=f(ax+b) .
La fonction g est dérivable sur J et pour tout réel x de J , g'(x)= af'(ax+b)
Exercice n°4 :
Déterminer f'(x) dans chaque cas.
- f(x)= \sqrt{6x-12} pour x\in [2;+\infty[
2. f(x)= (2x+5)^7 pour x\in \mathbf{R}
Propriété n°4 :
Cette propriété ne figure pas au programme mais beaucoup de manuels scolaires l’utilisent dans les exercices.
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que u(x)>0 .
La fonction \sqrt{u}:x\rightarrow\sqrt{u(x)} est dérivable sur I et pour tout réel x de I , (\sqrt{u(x)})'=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
Pour valider vos calculs de dérivées précédents avec l’application Calcul Formel de Géogébra
saisir, par exemple f(x)= x^3-2x^2+5 sur la ligne 1 puis cliquer sur le neuvième onglet
f’. Apparaît alors à l’écran Dérivée: f'(x)= 3x^2-4x
f(x)= x^3-2x^2+5 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
x^3 , -2x^2 et 5.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes x^3 , -2x^2 et 5 en utilisant le tableau n°2 ci-dessous
(x^3)'=3x^2 d’après la 4ème formule avec n=3 du tableau n°2.
(-2x^2)'=-2(x^2)' d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x^2)'=2x d’après la 3ème formule du tableau n°2.
Donc (-2x^2)'=-2\times 2x=-4x
5'=0 d’après la 1ème formule du tableau n°2.
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x^3-2x^2+5)'\\f'(x)= (x^3)'-(2x^2)'+(5)'\\f'(x)= 3x^2-4x
f(x)= 5x^2-2x+\sqrt{5} pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois termes :
5x^2 , -2x et \sqrt{5}.
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
Il faut donc calculer les dérivées des trois termes 5x^2 , -2x et \sqrt{5} en utilisant le tableau n°2 ci-dessous
(5x^2)'=5(x^2)' d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x^2)'=2x d’après la 3ème formule du tableau n°2.
Donc (5x^2)'=5\times 2x=10x
(-2x)'=-2(x)' d’après la 2ème formule du tableau n°1 et (x)'=1 d’après la 2ème formule du tableau n°2.
Donc (-2x)'=-2\times 1=-2
\sqrt{5}'=0 d’après la 1ème formule du tableau n°2.
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (5x^2-2x+\sqrt 5)'\\f'(x)= (5x^2)'-(2x)'+(\sqrt5)'\\f'(x)= 10x-2
f(x)= \frac{3}{x-1} pour x\in \mathbf{R} privé de 1
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit d’un réel par une fonction avec k=3 et u(x)=\frac{1}{x-1}.
On va utiliser la ligne n°2 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
On répond à la question suivante : u(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est l’inverse d’une fonction avec v(x)=x-1. On va utiliser la 4ème ligne du tableau n°1.
On calcule v'(x)=(x)'-(1)'=1-0=1.
Puis pour calculer u'(x), on remplace v(x) par x-1 et v'(x) par 1 dans -\frac{v'}{v^2}.
Ainsi u'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace k par 3 et u'(x) par -\frac{1}{(x-1)^2} dans la formule k\times u'
f'(x)=3\times{(-\frac{1}{(x-1)^2})}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{3}{x-1})'\\f'(x)=3\times{(\frac{1}{(x-1)})'} \\f'(x)=3\times{(-\frac{1}{(x-1)^2})} \\f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}
f(x)= 8\sqrt{x} pour x\in [0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit d’un réel par une fonction k\times u avec k=8 et u(x)=\sqrt{x}.
On va utiliser la ligne n°2 du tableau n°1 ci-dessous.
2.on veut calculer la dérivée u'(x)
C’est une fonction de référence, on utilise la 6ème ligne du tableau n°2 ci-dessous
Dérivées des fonctions de référence
La dernière ligne concerne une fonction qu’on étudiera en Terminale.
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
Ainsi u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace k par 8 et u'(x) par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule k\times u'
f'(x)=8\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (8\sqrt{x})'\\f'(x)=8\times{\sqrt{x}'} \\f'(x)=8\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=\frac{8}{2\sqrt{x}} \\f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}
f(x)= x^2\sqrt{x} pour x\in [0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x^2 et v(x)=\sqrt{x}.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x^2 est une fonction de référence, on utilise la 3ème ligne du tableau n°2 ci-dessous
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=\sqrt{x}est une fonction de référence, on utilise la 6ème ligne du tableau n°2 ci-dessous
Ainsi u'(x)=2x
Ainsi v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x^2, v par \sqrt{x}, u' par 2x et v' par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=2x\times{\sqrt{x}}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x^2\sqrt{x})'\\f'(x)=(x^2)'\times{\sqrt{x}}+x^2\times{\sqrt{x}'} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}}
On peut simplifier le deuxième terme de la somme par \sqrt{x}
f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{x}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{\sqrt{x}^2}\times{\frac{1}{2\sqrt{x}}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+{x}\times{\sqrt{x}}\times{\frac{1}{2}} \\f'(x)=2x\sqrt{x}+\frac{x\sqrt{x}}{2}
On peut mettre au même dénominateur, ici 2
f'(x)={2x\sqrt{x}}\times{\frac{2}{2}}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{{2x\sqrt{x}}\times 2}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{4x\sqrt{x}}{2}+\frac{x\sqrt{x}}{2} \\f'(x)=\frac{5x\sqrt{x}}{2}
f(x)= x^3e^x pour x\in \mathbf{R}
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x^3 et v(x)=e^x.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x^3 est une fonction de référence, on utilise la 4ème ligne du tableau n°2 ci-dessous en remplaçant n par 3.
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=e^xest une fonction de référence, on utilise la 7ème ligne du tableau n°2 ci-dessous
Ainsi u'(x)=3x^2
Ainsi v'(x)=e^x
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x^3, v par e^x, u' par 3x^2 et v' par e^x dans la formule u'\times v+u\times v'
f'(x)=3x^2\times{e^x}+{x^3}\times{e^x}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (x^3e^x)'\\f'(x)=(x^3)'\times{e^x}+x^3\times{e^x'} \\f'(x)=3x^2e^x+x^3e^x
On peut mettre e^x en facteur
f'(x)=e^x(3x^2+x^3)
f(x)= \frac{2x-1}{x-2} pour x\in \mathbf{R} privé de 2
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=2x-1 et v(x)=x-2.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2x-1 est une est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(2x-1)'
u'(x)=(2x)'-(1)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (2x)' par 2(x)'
u'(x)=2(x)'-(1)'
On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=2\times1+0
u'(x)=2
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x-2 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x-2)'
v'(x)=(x)'-(2)'
On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=1-0
v'(x)=1
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 2x-1, v par x-2, u' par 2 et v' par 1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
f'(x)=\frac{2\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{1}}{(x-2)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{2x-1}{x-2})'\\f'(x)=\frac{(2x-1)'\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{(x-2)'}}{(x-2)^2}\\f'(x)=\frac{2\times{(x-2)}-{(2x-1)}\times{1}}{(x-2)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x-4-(2x-1)}{(x-2)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{2x-4-2x+1}{(x-2)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=-\frac{3}{(x-2)^2}
f(x)= \frac{3x-4}{x^2-1} pour x\in \mathbf{R} privé de -1 et 1
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=3x-4 et v(x)=x^2-1.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=3x-4 est une est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
u'(x)=(3x-4)'
u'(x)=(3x)'-(4)'
On utilise la ligne 2 du tableau 1 pour remplacer (3x)' par 3(x)'
u'(x)=3(x)'-(4)'
On utilise les lignes 1 et 2 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
u'(x)=3\times1+0
u'(x)=3
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=x^2-1 est une somme, on utilise la 1ère ligne du tableau n°1
v'(x)=(x^2-1)'
v'(x)=(x^2)'-(1)'
On utilise les lignes 2 et 3 du tableau 2 ci-dessous pour finir le calcul.
v'(x)=2x-0
v'(x)=2x
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 3x-4, v par x^2-1, u' par 3 et v' par 2x dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
f'(x)=\frac{3\times{(x^2-1)}-{(3x-4)}\times{2x}}{(x^2-1)^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{3x-4}{x^2-1})'\\f'(x)=\frac{(3x-4)'\times{(x^2-1)}-{(3x-4)}\times{(x^2-1)'}}{(x^2-1)^2}\\f'(x)=\frac{3\times{(x^2-1)}-{(3x-4)}\times{2x}}{(x^2-1)^2}
On développe les deux produits au numérateur. Petit conseil, pour éviter les erreurs de signe laisser le deuxième développement entre parenthèses.
f'(x)=\frac{3x^2-3-(6x^2-8x)}{(x-2)^2}
Enlever les parenthèses. Attention il y a un signe moins devant, on change le signe de ce qu’il y a entre parenthèses.
f'(x)=\frac{3x^2-3-6x^2+8x}{(x^2-1)^2}
On réduit au numérateur
f'(x)=\frac{-3x^2+8x-3}{(x^2-1)^2}
f(x)= (2x-1)^2 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le carré d’une fonction : u^2 avec u(x)=2x-1.
D’après le cours : La fonction u^2:x\rightarrow(u(x))^2 est dérivable , (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x)
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(2x-1)'
u'(x)=(2x)'-(1)'
u'(x)=2(x)'-(1)'
u'(x)=2\times1-0
u'(x)=2
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x-1 et u'(x) par 2 dans la formule 2\times u'(x) \times u(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=2\times 2 \times (2x-1)
f'(x)=4 \times (2x-1)
f'(x)=8x-4
f(x)= (e^x+x)^2 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le carré d’une fonction : u^2 avec u(x)=e^x+x.
D’après le cours : La fonction u^2:x\rightarrow(u(x))^2 est dérivable , (u^2)'(x)=2\times u'(x) \times u(x)
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(e^x+x)'
u'(x)=(e^x)'+(x)'
u'(x)=e^x+1
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par e^x+x et u'(x) par e^x+1 dans la formule 2\times u'(x) \times u(x) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=2\times (e^x+1) \times (e^x+x)
f'(x)=2(e^x+1)(e^x+x)
f(x)= e^{x^2-6} pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou e^{u(x)} ? (la liste s’allonge)
C’est de la forme e^{u(x)} avec u(x)=x^2-6.
D’après le cours : La fonction e^u:x\rightarrow e^{u(x)} est dérivable et (e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}}
Calcul de u'(x)
u(x) est une somme
u'(x)=(x^2-6)'
u'(x)=(x^2)'-(6)'
u'(x)=2x-0
u'(x)=2x
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par x^2-6 et u'(x) par 2x dans la formule u'(x) \times {e^{u(x)}} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(e^{x^2-6})'
f'(x)=(x^2-6)' e^{x^2-6}
f'(x)=2xe^{x^2-6}
f(x)= e^{\sqrt{x}} pour x\in [0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou e^{u(x)} ? (la liste s’allonge)
C’est de la forme e^{u(x)} avec u(x)=\sqrt{x}.
D’après le cours :(e^u)'(x)= u'(x) \times {e^{u(x)}}
Calcul de u'(x)
u(x) est une fonction de référence
u'(x)=(\sqrt{x})'
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par \sqrt{x} et u'(x) par \frac{1}{2\sqrt{x}} dans la formule u'(x) \times {e^{u(x)}} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(e^{\sqrt{x}})'
f'(x)=(\sqrt{x})' e^{\sqrt{x}}
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\sqrt{x}}
f(x)= \sqrt{6x-12} pour x\in [2;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction , e^{u(x)} ou f_1(ax+b) ? (la liste s’allonge)
Ici on avait un problème de notation. La lettre f est utilisée dans l’énoncé de l’exercice, on ne peut ni prendre f' (c’est la dérivée) ni prendre F ( cette notation est réservée aux primitives ) c’est pourquoi on a choisi f_1.
C’est de la forme f_1(ax+b) avec f_1(x)=\sqrt{x} , a=6 et b=-12.
D’après le cours : La fonction g est dérivable et g'(x)= a{f_1}'(ax+b)
Calcul de {f_1}'(x)
f_1(x) est une fonction de référence
{f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Remarque : pour calculer {f_1}'(6x-12), on remplace tous les x par 6x-12 dans {f_1}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}. Ainsi {f_1}'(6x-12)=\frac{1}{2\sqrt{6x-12}}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant a par 6, b par -12 et {f_1}'(ax+b) par \frac{1}{2\sqrt{6x-12}} dans la formule a{f_1}'(ax+b) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(\sqrt{6x-12})'
f'(x)=6\times {\frac{1}{2\sqrt{6x-12}}} \\f'(x)=\frac{6}{2\sqrt{6x-12}} \\f'(x)=\frac{3}{\sqrt{6x-12}}
f(x)= (2x+5)^7 pour x\in \mathbf{R}
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction , e^{u(x)} ou f_1(ax+b) ? (la liste s’allonge)
Ici on avait un problème de notation. La lettre f est utilisée dans l’énoncé de l’exercice, on ne peut ni prendre f' (c’est la dérivée) ni prendre F ( cette notation est réservée aux primitives ) c’est pourquoi on a choisi f_1.
C’est de la forme f_1(ax+b) avec f_1(x)=x^7 , a=2 et b=5.
D’après le cours : La fonction g est dérivable et g'(x)= a{f_1}'(ax+b)
Calcul de {f_1}'(x)
f_1(x) est une fonction de référence
{f_1}'(x)=7x^{7-1}
{f_1}'(x)=7x^6
Remarque : pour calculer {f_1}'(2x+5), on remplace tous les x par 2x+5 dans {f_1}'(x)=7x^6. Ainsi {f_1}'(2x+5)=7(2x+5)^6
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant a par 2, b par 5 et {f_1}'(ax+b) par 7(2x+5)^6 dans la formule a{f_1}'(ax+b) .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=((2x+5)^7)'
f'(x)=2\times {7(2x+5)^6} \\f'(x)=14(2x+5)^6