Sommaire
Attention, cette partie ne concerne que le cas où \Delta est positif.
Propriété :
Si x_1 et x_2 sont les solutions de l’équation ax^2+bx+c=0 alors x_1+x_2=-\frac{b}{a} et {x_1}\times{x_2}=\frac{c}{a}.
Démonstration :
L’hypothèse est : x_1 et x_2 sont les solutions de l’équation ax^2+bx+c=0.
On peut écrire que :
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
ou a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2+bx+c
On développe le membre de gauche :
a(x^2-x\times x_2-x_1\times x+x_1\times x_2)=ax^2+bx+c\\ax^2-ax\times x_2-ax_1\times x+ax_1\times x_2=ax^2+bx+c
On ordonne le polynôme à gauche suivant les puissances décroissantes:
ax^2+x(-ax_1-ax_2)+ax_1x_2=ax^2+bx+c
Les coefficients de x^2 sont égaux donc a=a.
Les coefficients de x sont égaux donc -ax_1-ax_2=bdonc -a(x_1+x_2)=b donc x_1+x_2=-\frac{b}{a}.
Les coefficients constants sont égaux donc ax_1x_2=c donc x_1x_2=\frac{c}{a} .
La vidéo ci-dessous présente les exemples n°1, n°2 et n°3 situés plus bas.
Exemple n°1
On veut résoudre x^2-4x+3=0.
Ici on a a=1, b=-4 et c=3.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par (-4).
-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4.
Donc la somme des racines vaut 4.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par 3.
\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3.
Donc le produit des racines vaut 3.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 4 et dont le produit vaut 3, il s’agit de 3 et de 1.
Donc S=\{1;3\}.
Exemple n°2
On veut résoudre x^2+x-2=0.
Ici on a a=1, b=1 et c=-2.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par 1.
-\frac{b}{a}=-\frac{1}{1}=-1.
Donc la somme des racines vaut -1.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par -2.
\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2.
Donc le produit des racines vaut -2.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut -1 et dont le produit vaut -2, il s’agit de -2 et de 1.
Donc S=\{-2;1\}.
Exemple n°3
Soit la fonction polynôme P(x)=-2x^2+5x+7.
Dans cet exemple, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
1.Déterminer une racine évidente.
Lorsqu’on pose ce genre de question, on attend de l’élève qu’il trouve parmi les valeurs « évidentes » -3; -2; -1; 1; 2; 3, l’antécédent de zéro.
Je remplace x par (-1) dans -2x^2+5x+7\\-2\times(-1)^2+5\times(-1)+7=-2\times1-5+7\\\hspace{4.2cm}=-2-5+7\\\hspace{4.2cm}=0
Donc (-1) est racine évidente de la fonction polynôme P(x)=-2x^2+5x+7.
2. Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.
On détermine par le calcul la somme des racines et le produit des racines.
Ici on a a=-2, b=5 et c=7.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par (-2) et b par 5.
-\frac{b}{a}=-\frac{5}{(-2)}=\frac{5}{2}.
Donc la somme des racines vaut \frac{5}{2}.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par (-2) et c par 7.
\frac{c}{a}=\frac{7}{(-2)}=-\frac{7}{2}.
Donc le produit des racines vaut -\frac{7}{2}.
L’un des nombres est -1 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme \frac{5}{2}et leur produit vaut -\frac{7}{2}, donc l’autre nombre est \frac{7}{2}.
Donc S=\{-1;\frac{7}{2}\}
Exercice n°1
Résoudre les équations suivantes sans utiliser le discriminant.
- x^2-7x+10=0.
2. x^2-5x+6=0.
3. 3x^2-3x-18=0.
4. 4x^2-16=0.
5. -2x^2+x=0.
6. x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0.
Exercice n°2
Soit la fonction polynôme P(x)=3x^2+x-2.
Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
- Déterminer une racine évidente.
2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.
Exercice n°3
Soit la fonction polynôme P(x)=2x^2+2x-24.
Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
- Déterminer une racine évidente.
2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.
Exercice n°4
Soit la fonction polynôme P(x)=5x^2+5x-150.
Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
- Montrer que -6 est une racine de P.
2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.
Exercice n°5
Soit la fonction polynôme P(x)=x^2+2x-80.
Dans cet exercice, on cherche les racines de P sans calculer le discriminant.
- Montrer que 8 est une racine de P.
2. Sans calculer le discrimant, donner l’autre racine de P.
On veut résoudre x^2-7x+10=0.
Ici on a a=1, b=-7 et c=10.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par -7.
-\frac{b}{a}=-\frac{(-7)}{1}=7.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par 10.
\frac{c}{a}=\frac{10}{1}=10.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 7 et dont le produit vaut 10, il s’agit de 2 et de 5.
On veut résoudre x^2-5x+6=0.
Ici on a a=1, b=-5 et c=6.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par -5.
-\frac{b}{a}=-\frac{(-5)}{1}=5.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par 6.
\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 5 et dont le produit vaut 6, il s’agit de 2 et de 3.
On veut résoudre 3x^2-3x-18=0.
Ici on a a=3, b=-3 et c=-18.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 3 et b par -3.
-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{3}=1.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 3 et c par -18.
\frac{c}{a}=\frac{-18}{3}=-6.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 1et dont le produit vaut -6, il s’agit de -2 et de 3.
On veut résoudre 4x^2-16=0.
Ici on a a=4, b=0 et c=-16.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 4 et b par 0.
-\frac{b}{a}=-\frac{0}{4}=0.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 4 et c par (-16).
\frac{c}{a}=\frac{(-16)}{4}=-4.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut 0 et dont le produit vaut -4, il s’agit de -2 et de 2.
On veut résoudre -2x^2+x=0.
Ici on a a=-2, b=1 et c=0.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par -2 et b par 1.
-\frac{b}{a}=-\frac{1}{(-2)}=\frac{1}{2}.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par (-2) et c par 0.
\frac{c}{a}=\frac{0}{(-2)}=0.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut \frac{1}{2} et dont le produit vaut 0, il s’agit de 0 et de \frac{1}{2}.
On veut résoudre x^2-\frac{3}{4}x+\frac{1}{8}=0.
Ici on a a=1, b=-\frac{3}{4} et c=\frac{1}{8}.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par -\frac{3}{4}.
-\frac{b}{a}=-\frac{(-\frac{3}{4})}{1}=\frac{3}{4}.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par \frac{1}{8}.
\frac{c}{a}=\frac{\frac{1}{8}}{1}=\frac{1}{8}.
On trouve mentalement deux nombres dont la somme vaut \frac{3}{4} et dont le produit vaut \frac{1}{8}, il s’agit de \frac{1}{4} et de \frac{1}{2}.
Déterminer une racine évidente.
Lorsqu’on pose ce genre de question, on attend de l’élève qu’il teste l’égalité avec les valeurs « évidentes » -3; -2; -1; 1; 2; 3. Lorsqu’on trouve zéro, c’est que l’on a remplaçé x par la racine évidente.
Mentalement ou à l’aide de la calculatrice j’ai trouvé -1 comme racine évidente. Je justifie ma réponse par le calcul suivant.
Je remplace x par (-1) dans 3x^2+x-2 et je calcule.
3\times(-1)^2+(-1)-2=3\times1-1-2\\\hspace{3.3cm}=3-1-2\\\hspace{3.3cm}=0
Donc (-1) est racine évidente de la fonction polynôme P(x)=3x^2+x-2.
Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.
On calcule la somme des racines et le produit des racines.
Ici on a a=3, b=1 et c=-2.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 3 et b par 1.
-\frac{b}{a}=-\frac{1}{3}.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 3 et c par (-2).
\frac{c}{a}=\frac{(-2)}{3}.
L’un des nombres est -1 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme -\frac{1}{3}et leur produit vaut -\frac{2}{3}, donc l’autre nombre est \frac{2}{3}.
Déterminer une racine évidente.
Lorsqu’on pose ce genre de question, on attend de l’élève qu’il teste l’égalité avec les valeurs « évidentes » -3; -2; -1; 1; 2; 3. Lorsqu’on trouve zéro, c’est que l’on a remplaçé x par la racine évidente.
Mentalement ou à l’aide de la calculatrice, j’ai trouvé 3 comme racine évidente, je justifie ma réponse par le calcul suivant.
Je remplace x par 3 dans 2x^2+2x-24
2\times3^2+2\times3-24=2\times9+6-24\\\hspace{3.3cm}=18+6-24\\\hspace{3.3cm}=0
Donc 3 est racine évidente de la fonction polynôme P(x)=2x^2+2x-24.
Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.
On calcule la somme des racines et le produit des racines.
Ici on a a=2, b=2 et c=-24.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 2 et b par 2.
-\frac{b}{a}=-\frac{2}{2}=-1.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 2 et c par (-24).
\frac{c}{a}=\frac{(-24)}{2}=-12.
L’un des nombres est 3 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme -1 et leur produit vaut -12, donc l’autre nombre est -4.
Pour montrer que -6 est racine de P(x), il faut calculer P(-6) et obtenir 0 comme résultat.
Je remplace x par (-6) dans 5x^2+5x-150.
5\times(-6)^2+5\times(-6)-150=5\times36-30-150\\\hspace{4.3cm}=180-30-150\\\hspace{4.3cm}=0
Donc (-6) est racine de la fonction polynôme P(x)=5x^2+5x-150.
Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.
On calcule la somme des racines et le produit des racines.
Ici on a a=5, b=5 et c=-150.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 5 et b par 5.
-\frac{b}{a}=-\frac{5}{5}=-1.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 5 et c par (-150).
\frac{c}{a}=\frac{(-150)}{5}=-30.
L’un des nombres est -6 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme -1 et leur produit vaut -30, donc l’autre nombre est 5.
Pour montrer que 8 est racine de P(x), il faut calculer P(8) et obtenir 0 comme résultat.
Je remplace x par 8 dans x^2+2x-80.
8^2+2\times8-80=64+16-80\\\hspace{4.3cm}=0
Donc 8 est racine de la fonction polynôme P(x)=x^2+2x-80.
Sans calculer le discriminant, donner l’autre racine de P.
On calcule la somme des racines et le produit des racines.
Ici on a a=1, b=2 et c=-80.
On calcule -\frac{b}{a} en remplaçant a par 1 et b par 2.
-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2.
On calcule \frac{c}{a} en remplaçant a par 1 et c par (-80).
\frac{c}{a}=\frac{(-80)}{1}=-80.
L’un des nombres est 8 .On trouve mentalement l’autre nombre. Leur somme -2 et leur produit vaut -80, donc l’autre nombre est -10.