Théorème :
Soit les réels a,b,c avec a\ne o, pour factoriser le polynôme ax²+bx+c,
on calcule \Delta=b²-4ac
si \Delta<0 , le polynôme ne peut pas âtre factorisé.
si \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} et le polynôme se factorise ainsi :
ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2
si \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
et le polynôme se factorise ainsi
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
Exemple n°1
Factoriser le polynôme suivant x^2+4x+4
Factoriser x^2+4x+4 si c’est possible.
1.Calcul de \Delta=b²-4ac
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=4 et c=4.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, 4, 4 .
\Delta=4²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=16-16\\\Delta=0
2.J’applique le théorème :
comme \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} et le polynôme se factorise ainsi :
ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par 1, 4.
x_0=-\frac{4}{2\times1}\\x_0=-\frac{4}{2}\\x_0=-2
Je factorise en remplaçant a,x_0 par 1, (-2)
x^2+4x+4=1\times{(x-(-2))^2}\\x^2+4x+4=(x+2)^2
3. Vérification à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
Exemple n°2
Factoriser le polynôme suivant 3x^2-3x-6
Factoriser 3x^2-3x-6 si c’est possible.
1.Calcul de \Delta=b²-4ac
J’identifie les coefficients a=3, b=-3 et c=-6.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 3, (-3), (-6) .
\Delta=(-3)²-4\times{3}\times{(-6)}\\\Delta=9+72\\\Delta=81
2.J’applique le théorème :
comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
et le polynôme se factorise ainsi
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 3, (-3) , 81.
x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{81}}{2\times{3}}\\x_1=\frac{3-9}{6}\\x_1=\frac{-6}{6}\\x_1=-1
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 3, (-3) , 81.
x_2=\frac{-(-3)+\sqrt{81}}{2\times{3}}\\x_2=\frac{3+9}{6}\\x_2=\frac{12}{6}\\x_2=2
Je conclus :
3x^2-3x-6=3(x-(-1))(x-2)\\3x^2-3x-6=3(x+1)(x-2)
3. Vérification à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
Exemple n°3
Factoriser le polynôme suivant x^2+3x+4
Factoriser x^2+3x+4 si c’est possible.
1.Calcul de \Delta=b²-4ac
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=3 et c=4.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1,3,4 .
\Delta=3²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=9-16\\\Delta=-7
2.J’applique le théorème :
comme \Delta<0 , le polynôme ne peut pas être factorisé.
3. Vérifications éventuelles à l’aide de l’application Calcul Formel de Géogébra.
