Sommaire
Exercice n°1
Résoudre graphiquement le système suivant :
Exercice n°2
Résoudre graphiquement le système suivant :
Exercice n°3
résoudre les systèmes suivants graphiquement.
Pour valider les réponses des exos 1, 2 et 3 avec une page graphique de Géogébra.
Valider vos calculs avec la fenêtre Géogébra ci-dessous :
Exercice n°4
Résoudre, par le calcul et par substitution, le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Exercice n°5
Résoudre, par le calcul et par substitution, le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Exercice n°6
Résoudre, par le calcul et par combinaison linéaire, le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Exercice n°7
Résoudre, par le calcul et par combinaison linéaire, le système de deux équations à deux inconnues suivant :
Pour valider les réponses des exos 4, 5, 6 et 7 avec une page de calcul formel de Géogébra.
Valider vos calculs avec la fenêtre Géogébra ci-dessous :
On veut résoudre graphiquement le système :
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=x+1 on identifie le coefficient directeur a=1 et l’ordonnée à l’origine b=1 . On place 1 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;1), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je monte de 1 (a=1 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=-\frac{1}{2}x+4 on identifie le coefficient directeur a=-\frac{1}{2} et l’ordonnée à l’origine b=4 . On place4 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;4), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de \frac{1}{2} (a=-\frac{1}{2} ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le couple solution est (2;3).
On veut résoudre graphiquement le système :
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=2x-1 on identifie le coefficient directeur a=2 et l’ordonnée à l’origine b=-1 . On place -1 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;-1), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je monte de 2 (a=2 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=-x+5 on identifie le coefficient directeur a=-1 et l’ordonnée à l’origine b=5 . On place5 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;5), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de 1 (a=-1 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le couple solution est (2;3).
On veut résoudre graphiquement le système :
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=-x+1 on identifie le coefficient directeur a=-1 et l’ordonnée à l’origine b=1 . On place 1 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;1), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de 1 (a=-1 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=2x-2 on identifie le coefficient directeur a=2 et l’ordonnée à l’origine b=-2 . On place-2 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;-2), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je monte de 2 (a=2 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le couple solution est (1;0).
On veut résoudre graphiquement le système :
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=-2x on identifie le coefficient directeur a=-2 et l’ordonnée à l’origine b=0 . On place 0 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;0), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de 2 (a=-2 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=3x-5 on identifie le coefficient directeur a=3 et l’ordonnée à l’origine b=-5 . On place-5 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;-5), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je monte de 3 (a=3 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le couple solution est (1;-2).
On veut résoudre graphiquement le système :
On trace les deux droites dans le repère avec la méthode de son choix. Par exemple en utilisant ordonnée à l’origine et coefficient directeur.
Dans y=-2x+2 on identifie le coefficient directeur a=-2 et l’ordonnée à l’origine b=2 . On place 2 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;2), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je descends de 2 (a=-2 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Dans y=2x-4 on identifie le coefficient directeur a=2 et l’ordonnée à l’origine b=-4 . On place-4 sur l’axe des ordonnées. A partir du point de coordonnées (0;-4), j’avance horizontalement de 1 vers la droite et je monte de 2 (a=2 ). J’obtiens alors le deuxième point. Je trace ensuite la droite qui passe par les deux points.
Le couple solution est (\frac{3}{2};-1).
On veut résoudre par le calcul et par substitution le système suivant :
L’objectif est d’éliminer une des deux inconnues pour obtenir une équation à une seule inconnue. Je choisis d’éliminer x.
A l’aide de la 1ère équation, j’exprime x en fonction de y.
2y n’est pas à sa place, j’enlève 2y de chaque côté.
x=-2y+1
Je remplace x par (-2y+1) entre parenthèses dans la deuxième équation pour obtenir une équation du premier degré à une seule inconnue :
5(-2y+1)-2y=1
Je développe 5(-2y+1)
-10y+5-2y=1
Je réduis le membre de gauche
-12y+5=1
5 n’est pas à sa place, j’enlève 5 de chaque côté.
-12y=1-5\\-12y=-4
-12 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. Je divise par -12 de chaque côté.
y=\frac{-4}{-12}
On simplifie \frac{-4}{-12}par -4
y=\frac{1}{3}
Pour déterminer x , je remplace y par \frac{1}{3} dans, par exemple, la première équation.
x+{2}\times{\frac{1}{3}}=1
x+\frac{2}{3}=1
\frac{2}{3} n’est pas à sa place dans le membre de gauche, j’enlève \frac{2}{3} de chaque côté.
x=1-\frac{2}{3}
On met au même dénominateur, ici 3.
x={1}\times{\frac{3}{3}}-\frac{2}{3}
x=\frac{3}{3}-\frac{2}{3}
x=\frac{1}{3}
Le couple solution est (\frac{1}{3};\frac{1}{3})
On veut résoudre par le calcul et par substitution le système suivant :
L’objectif est d’éliminer une des deux inconnues pour obtenir une équation à une seule inconnue. Je choisis d’éliminer y.
A l’aide de la 2nde équation, j’exprime y en fonction de x.
\frac{x}{4} n’est pas à sa place, j’enlève \frac{x}{4} de chaque côté.
y=-\frac{x}{4}+3
Je remplace y par (-\frac{x}{4}+3) entre parenthèses dans la première équation pour obtenir une équation du premier degré à une seule inconnue :
3x+2(-\frac{x}{4}+3)=1
Je développe 2(-\frac{x}{4}+3)
3x-{2}\times{\frac{x}{4}}+2\times3=1
Je réduis le membre de gauche
3x-\frac{x}{2}+6=1\\{3x}\times{\frac{2}{2}}-\frac{x}{2}+6=1\\\frac{6x}{2}-\frac{x}{2}+6=1\\\frac{5x}{2}+6=1
6 n’est pas à sa place, j’enlève 6 de chaque côté.
\frac{5x}{2}=1-6\\\frac{5x}{2}=-5
\frac{5}{2} n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. Je divise par \frac{5}{2}de chaque côté, ce qui revient à multiplier par l’inverse\frac{2}{5}.
x={-5}\times{\frac{2}{5}}
On simplifie par 5.
x=-2
Pour déterminer y , je remplace x par -2 dans, par exemple, la première équation.
{3}\times{(-2)}+2y=1
-6+2y=1
-6 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, j’ajoute 6 de chaque côté.
2y=1+6
2y=7
Le 2 à gauche n’est pas à sa place, je divise par 2 de chaque côté.
y=\frac{7}{2}
Le couple solution est (-2;\frac{7}{2})
Il s’agit de résoudre par le calcul et par combinaison linéaire, le système suivant :
Je décide d’éliminer les x , pour cela je dois multiplier la première équation par -2.
Ainsi on aura -4x dans la nouvelle première équation et son opposé 4x dans la deuxième équation.
ATTENTION : quand on dit que je dois multiplier la première équation par -2 , je multiplie tout par -2
J’ajoute membre à membre ces deux égalités (les x disparaissent, ce qui était le but recherché)
-10y+3y=-12-2\\-7y=-14
-7 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. On divise par-7 de chaque côté.
y=\frac{-14}{-7}\\y=2
Pour déterminer la valeur de x je remplace y par 2 dans par exemple la première équation de départ.
2x+{5}\times{2}=6\\2x+10=6
10 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un terme dans une somme. On enlève 10 de chaque côté.
2x=6-10\\2x=-4
2 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. On divise par2 de chaque côté.
x=\frac{-4}{2}\\x=-2
Le couple solution est (-2;2)
Il s’agit de résoudre par le calcul et par combinaison linéaire, le système suivant :
Je décide d’éliminer les y , pour cela je dois multiplier la première équation par -4 et la deuxième équation par 5.
Ainsi on aura -20y dans la nouvelle première équation et son opposé 20y dans la nouvelle deuxième équation.
ATTENTION : quand on dit que je dois multiplier la première équation par -4 , je multiplie tout par -4
quand on dit que je dois multiplier la deuxième équation par 5 , je multiplie tout par 5 .
J’ajoute membre à membre ces deux égalités (les y disparaissent, ce qui était le but recherché)
-8x+15x=0+30\\7x=30
7 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. On divise par 7 de chaque côté.
x=\frac{30}{7}
Pour déterminer la valeur de y je remplace x par \frac{30}{7} dans par exemple la première équation.
{2}\times{\frac{30}{7}}+5y=0
\frac{60}{7}+5y=0
\frac{60}{7} n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un terme dans une somme. On enlève \frac{60}{7} de chaque côté.
5y=-\frac{60}{7}
5 n’est pas à sa place dans le membre de gauche, c’est un facteur dans un produit. On divise par 5 de chaque côté.
y=\frac{-\frac{60}{7}}{5}
y={-\frac{60}{7}}\times{\frac{1}{5}}
Avant de multiplier numérateurs et dénominateurs, simplifions en haut et en bas par 5.
y=-\frac{12}{7}
Le couple solution est (\frac{30}{7};-\frac{12}{7})