Sommaire
Exercice n°1
Soit ABC un triangle rectangle en A.
On a BA=3 et AC=5.
On veut calculer la mesure en degrés de l’angle aigu \widehat{C}.
- Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [AC] pour l’angle \widehat{C}.
2. Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [AB] pour l’angle \widehat{C}.
3. Ecrire les trois relations trigonométriques dans le triangle rectangle ABC pour l’angle \widehat{C}. Puis choisir celle qui nous permettra de trouver la mesure en degrés de l’angle \widehat{C} et la déterminer.
Exercice n°2
Soit ABC un triangle rectangle en A.
On a AB=5 et BC=7.78.
On veut calculer la mesure en degrés de l’angle aigu \widehat{B}.
- Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [AB] pour l’angle \widehat{B}.
2. Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [BC] pour l’angle \widehat{B}.
3. Ecrire les trois relations trigonométriques dans le triangle rectangle ABC pour l’angle \widehat{B}. Puis choisir celle qui nous permettra de trouver la mesure en degrés de l’angle \widehat{B} et la déterminer.
Exercice n°3
Soit ABC un triangle rectangle en B.
On a AC=6.39 et CB=2.18.
On veut calculer la mesure en degrés de l’angle aigu \widehat{A}.
- Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [AC] pour l’angle \widehat{A}.
2. Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [BC] pour l’angle \widehat{A}.
3. Ecrire les trois relations trigonométriques dans le triangle rectangle ABC pour l’angle \widehat{A}. Puis choisir celle qui nous permettra de trouver la mesure en degrés de l’angle \widehat{A} et la déterminer.
Exercice n°4
Soit ABC un triangle rectangle en B.
On a AC=9.12 et \widehat{A}=64°.
On veut calculer la distance AB.
- Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [AC] pour l’angle \widehat{A}.
2. Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [AB] pour l’angle \widehat{A}.
3. Ecrire les trois relations trigonométriques dans le triangle rectangle ABC pour l’angle \widehat{A}. Puis choisir celle qui nous permettra de trouver la distance AB et la déterminer.
Exercice n°5
Soit ABC un triangle rectangle en A.
On a BA=4.09 et \widehat{B}=35°.
On veut calculer la distance BC.
- Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [BA] pour l’angle \widehat{B}.
2. Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [BC] pour l’angle \widehat{B}.
3. Ecrire les trois relations trigonométriques dans le triangle rectangle ABC pour l’angle \widehat{B}. Puis choisir celle qui nous permettra de trouver la distance BC et la déterminer.
Exercice n°6
Soit ABC un triangle rectangle en B.
On a BA=6 et \widehat{A}=45°.
On veut calculer la distance BC.
- Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [BA] pour l’angle \widehat{A}.
2. Dans le triangle rectangle ABC, que représente le côté [BC] pour l’angle \widehat{A}.
3. Ecrire les trois relations trigonométriques dans le triangle rectangle ABC pour l’angle \widehat{A}. Puis choisir celle qui nous permettra de trouver la distance BC et la déterminer.
Exercice n°7
On considère un angle aigu de mesure \alpha tel que cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}. Calculer sin\alpha.
Exercice n°8
On considère un angle aigu de mesure \alpha tel que sin\alpha=0.6. Calculer cos\alpha.
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AC] est le côté de l’angle droit qui touche l’angle \widehat{C} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AC] représente le côté adjacent à l’angle \widehat{C} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AB] est le côté de l’angle droit qui ne touche pas l’angle\widehat{C} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AB] représente le côté opposé à l’angle \widehat{C} .
J’utilise :
SOPHY CACHE TOA
SinOPposéHYpothéuse CosAdjaCentHypothénusE TanOpposéAdjacent
sin\widehat{C}= \frac{AB}{BC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
cos\widehat{C}= \frac{AC}{BC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
tan\widehat{C}= \frac{AB}{AC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}).
Dans l’énoncé , on sait que AC=5 et BA=3 On utilise donc :
tan\widehat{C}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}
Pour trouver la mesure de l’angle \widehat{C}, on utilise la calculatrice.
\widehat{C}=tan^{-1}(\frac{3}{5})\\\widehat{C}=31°
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AB] est le côté de l’angle droit qui touche l’angle \widehat{B} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AB] représente le côté adjacent à l’angle \widehat{B} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BC] est le côté qui ne touche pas l’angle droit .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BC] représente l’hypothénuse.
J’utilise :
SOPHY CACHE TOA
SinOPposéHYpothéuse CosAdjaCentHypothénusE TanOpposéAdjacent
sin\widehat{B}= \frac{AC}{BC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
cos\widehat{B}= \frac{AB}{BC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
tan\widehat{B}= \frac{AC}{AB}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}).
Dans l’énoncé , on sait que AB=5 et BC=7.78 On utilise donc :
cos\widehat{B}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{7.78}
Pour trouver la mesure de l’angle \widehat{B}, on utilise la calculatrice.
\widehat{B}=cos^{-1}(\frac{5}{7.78})\\\widehat{B}=50°
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AC] est le côté qui ne touche pas l’angle droit.
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AC] représente l’hypothénuse.
Dans le triangle rectangle ABC le côté [CB] est le côté de l’angle droit qui ne touche pas l’angle \widehat{A} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [CB] représente le côté opposé à l’angle \widehat{A} .
J’utilise :
SOPHY CACHE TOA
SinOPposéHYpothéuse CosAdjaCentHypothénusE TanOpposéAdjacent
sin\widehat{A}= \frac{CB}{AC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
cos\widehat{A}= \frac{AB}{AC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
tan\widehat{A}= \frac{CB}{AB}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}).
Dans l’énoncé , on sait que AC=6.39 et CB=2.18 On utilise donc :
sin\widehat{A}=\frac{CB}{AC}=\frac{2.18}{6.39}
Pour trouver la mesure de l’angle \widehat{A}, on utilise la calculatrice.
\widehat{A}=sin^{-1}(\frac{2.18}{6.39})\\\widehat{A}=20°
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AC] est le côté qui ne touche pas l’angle droit.
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AC] représente l’hypothénuse.
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AB] est le côté de l’angle droit qui touche l’angle \widehat{A} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [AB] représente le côté adjacent à l’angle \widehat{A} .
J’utilise :
SOPHY CACHE TOA
SinOPposéHYpothéuse CosAdjaCentHypothénusE TanOpposéAdjacent
sin\widehat{A}= \frac{CB}{AC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
cos\widehat{A}= \frac{AB}{AC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
tan\widehat{A}= \frac{CB}{AB}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}).
Dans l’énoncé , on sait que AC=9.12 et \widehat{A}=64° . On cherche AB. On utilise donc :
cos\widehat{A}=\frac{AB}{AC}\\cos 64=\frac{AB}{9.12}
On peut aussi écrire :
\frac{AB}{9.12}= cos 64
Je multiplie par 9.12 de chaque côté.
AB= {cos 64}\times{9.12}\\AB= 4
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BA] est le côté de l’angle droit qui touche \widehat{B} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BA] représente le côté adjacent.
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BC] ne touche pas l’angle droit.
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BC] représente l’hypothénuse .
J’utilise :
SOPHY CACHE TOA
SinOPposéHYpothéuse CosAdjaCentHypothénusE TanOpposéAdjacent
sin\widehat{B}= \frac{AC}{BC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
cos\widehat{B}= \frac{BA}{BC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
tan\widehat{B}= \frac{AC}{AB}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}).
Dans l’énoncé , on sait que BA=4.09 et \widehat{B}=35° . On cherche BC. On utilise donc :
cos\widehat{B}=\frac{BA}{BC}\\cos 35=\frac{4.09}{BC}
On fait le produit en croix.
{cos 35}\times{BC}=4.09
Je divise par cos 35 de chaque côté.
BC=\frac{4.09}{cos35}\\BC=5
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BA] est le côté de l’angle droit qui touche \widehat{A} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BA] représente le côté adjacent.
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BC] est le côté de l’angle droit qui ne touche pas l’angle \widehat{A} .
Dans le triangle rectangle ABC le côté [BC] représente le côté opposé à l’angle \widehat{A}.
J’utilise :
SOPHY CACHE TOA
SinOPposéHYpothéuse CosAdjaCentHypothénusE TanOpposéAdjacent
sin\widehat{A}= \frac{BC}{AC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
cos\widehat{A}= \frac{AB}{AC}(\frac{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{hypothénuse}).
tan\widehat{A}= \frac{BC}{AB}(\frac{côté \hspace{0.1cm}opposé\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}{côté \hspace{0.1cm}adjacent\hspace{0.1cm}à \hspace{0.1cm} l'angle}).
Dans l’énoncé , on sait que AB=6 et \widehat{A}=45° . On cherche BC. On utilise donc :
tan\widehat{A}=\frac{BC}{AB}\\cos 45=\frac{BC}{6}
On fait le produit en croix.
BC={cos 45}\times{6}\\BC=4.2
On sait que cos(\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}
On va remplacer cos(\alpha) par \frac{\sqrt{3}}{2} dans l’égalité cos^{2}(\alpha)+sin^{2}(\alpha)=1.
(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+sin^{2}(\alpha)=1.
C’est une équation du second degré.
\frac{3}{4}+sin^{2}(\alpha)-1=0.
sin^{2}(\alpha)+\frac{3}{4}-{1}\times{\frac{4}{4}}=0.
sin^{2}(\alpha)+\frac{3}{4}-\frac{4}{4}=0.
sin^{2}(\alpha)-\frac{1}{4}=0.
a^{2}=sin^{2}(\alpha) donc a=sin(\alpha)
b^{2}=\frac{1}{4} donc b=\frac{1}{2}
(sin(\alpha)-\frac{1}{2})(sin(\alpha)+\frac{1}{2})=0.
sin(\alpha)-\frac{1}{2}=0 ou sin(\alpha)+\frac{1}{2}=0\\sin(\alpha)=\frac{1}{2} ou sin(\alpha)=-\frac{1}{2}
Comme le sinus d’un angle aigu est positif,
sin(\alpha)=\frac{1}{2}
On sait que sin(\alpha)=0.6
On va remplacer sin(\alpha) par 0.6 dans l’égalité cos^{2}(\alpha)+sin^{2}(\alpha)=1.
cos^{2}(\alpha)+0.6^{2}=1.
C’est une équation du second degré.
cos^{2}(\alpha)+0.36-1=0.
cos^{2}(\alpha)-0.64=0.
a^{2}=cos^{2}(\alpha) donc a=cos(\alpha)
b^{2}=0.64 donc b=0.8
(cos(\alpha)-0.8)(cos(\alpha)+0.8)=0.
cos(\alpha)-0.8=0 ou cos(\alpha)+0.8=0\\cos(\alpha)=0.8 ou cos(\alpha)=-0.8
Comme le cosinus d’un angle aigu est positif,
cos(\alpha)=0.8