Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.
H est le projeté orthogonal de B sur (AC).
Le but du problème est d’établir l’égalité suivante : c^2=a^2+b^2-2abcos\widehat{ACB}
- On se place dans le triangle rectangle BHC.
a. Compléter les pointillés dans l’égalité cos{\widehat{ACB}}=\frac{…}{…} et dans l’égalité sin{\widehat{ACB}}=\frac{…}{…}.
b. En déduire que CH={a}\times {cos{\widehat{ACB}}} et que BH={a}\times {sin{\widehat{ACB}}}.
2. On remarque que AH=AC-CH, en utilisant l’énoncé et les résultats de la question précédente, exprimer AH en fonction de b, de a et de cos\widehat{ACB}.
3. Appliquer le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHB et en déduire l’égalité suivante :
c^2=(b-acos\widehat{ACB})^2+(asin\widehat{ACB})^2
4. En déduire l’égalité cherchée :c^2=a^2+b^2-2abcos\widehat{ACB}
On va écrire les relations trigonométriques dans le triangle rectangle BHC
Dans le triangle BHC rectangle en H,
l’hypothénuse est le côté \left[BC\right] ,
le côté adjacent à l’angle \widehat{ACB} est le côté \left[CH\right] et
le côté opposé à l’angle \widehat{ACB} est le côté \left[BH\right].
On peut utiliser le moyen mnémotechnique suivant SOpHy CAcHe TOA.
CAcHe donne Cos=\frac{Adjacent}{Hypothénuse}
cos\widehat{ACB}=\frac{CH}{CB}, on sait que BC=a donc cos\widehat{ACB}=\frac{CH}{a}
SOpHy donneSin=\frac{Opposé}{Hypothénuse}
sin\widehat{ACB}=\frac{BH}{CB}, on sait que BC=a donc sin\widehat{ACB}=\frac{BH}{a}
On utilise les résultats de la question précédente.
Comme cos\widehat{ACB}=\frac{CH}{a}
On peut écrire que
\frac{CH}{a}=cos\widehat{ACB}
On multiplie de chaque côté par a et donc :
CH=acos\widehat{ACB}
Comme sin\widehat{ACB}=\frac{BH}{a}
On peut écrire que
\frac{BH}{a}=sin\widehat{ACB}
On multiplie de chaque côté par a et donc :
BH=asin\widehat{ACB}
On utilise la donnée de l’énoncé suivante : AH=AC-CH
On remplace AC par b, c’est une donnée de l’énoncé.
On remplace CH par acos\widehat{ACB}, c’est un résultat obtenu à la question 1.b.
On obtient :
AH=b-acos\widehat{ACB}.
Dans le triangle AHB rectangle en H , on applique le théorème de Pythagore :
AB^2=AH^2+HB^2
On remplace AB par c, c’est une donnée de l’énoncé.
On remplace AH par b-acos\widehat{ACB}, c’est un résultat obtenu à la question 2.
On remplace HB par asin\widehat{ACB}, c’est un résultat obtenu à la question 1.b.
On obtient :
c^2=(b-acos\widehat{ACB})^2+(asin\widehat{ACB})^2.
On veut montrer que c^2=a^2+b^2-2abcos\widehat{ACB}.
Attention : dans une démonstration, on ne peut pas utiliser ce qu’on veut démontrer (la conclusion).
Dans le cas qui nous intéresse, on sait de quoi partir : du résultat démontré dans la question précédente.
On a montré dans la question précédente que :
c^2=(b-acos\widehat{ACB})^2+(asin\widehat{ACB})^2.
On calcule d’abord les puissances : (b-acos\widehat{ACB})^2 d’abord et (asin\widehat{ACB})^2 ensuite.
1.Pour calculer (b-acos\widehat{ACB})^2 on utilise l’identité remarquable (A-B)^2=A^2-2AB+B^2.
\hspace{2cm}A=b donc A^2=b^2
\hspace{2cm}B=acos\widehat{ACB} donc B^2=(acos\widehat{ACB})^2=a^2(cos\widehat{ACB})^2=a^2cos^2\widehat{ACB}
\hspace{2cm} 2AB=2bacos\widehat{ACB})
c^2=(b^2-2abcos\widehat{ACB}+a^2cos^2\widehat{ACB})+(asin\widehat{ACB})^2.
2. pour calculer (asin\widehat{ACB})^2 , on utilise (ab)^2=a^2b^2
c^2=b^2-2abcos\widehat{ACB}+a^2cos^2\widehat{ACB}+a^2sin^2\widehat{ACB}.
Pour finir, on utilise la propriété suivante cos^2\alpha+sin^2\alpha=1.
On met d’abord a^2 en facteur dans a^2cos^2\widehat{ACB}+a^2sin^2\widehat{ACB}.
c^2=b^2-2abcos\widehat{ACB}+a^2(cos^2\widehat{ACB}+sin^2\widehat{ACB}).
c^2=b^2-2abcos\widehat{ACB}+{a^2}\times 1.
c^2=a^2+b^2-2abcos\widehat{ACB}.