En 2016, une entreprise compte produire au plus 60 000 téléphones mobiles pour la France et les
vendre 800 euros l’unité. On supposera que tous les téléphones produits sont vendus. On s’intéressera dans cet exercice au bénéfice éventuel réalisé par l’entreprise.
Après plusieurs études, les coûts, en euros, liés à la production, à la distribution et à la publicité, sont
modélisés par
C(x) = 0,01x^2 +250x +2500000
(où x est le nombre d’exemplaires fabriqués et vendus).
Combien l’entreprise doit fabriquer de téléphones pour être bénéficiaire ?
Une entreprise réalise un bénéfice lorsque la recette est srictement supérieure aux coûts de production.
Question préliminaire: On note R(x) la recette générée par la vente de x téléphones.
Exprimer R(x) en fonction de x.
Méthode n°1: Déterminer pour quelles valeurs de x la courbe R est au-dessus et pas sur la courbe C.
Pour cela utiliser la fenêtre Géogébra ci-dessous. Pour modifier les graduations sur les axes, cliquer gauche dans le repère et sélectionner Graphique dans le menu déroulant. Paramétrer ensuite l’affichage de votre fenêtre.
Méthode n°2: Résoudre R(x)>C(x) par le calcul.
On peut conjecturer le résultat à l’aide de la fenêtre Géogébra avec l’application Calcul formel.
Conseil :Après avoir fait apparaître le zéro à droite, utiliser l’application Calcul Formel de Géogébra pour factoriser le membre de gauche.
Un téléphone se vend 800 euros.
Deux se vendent 2 fois 800 euros soit 1600 euros.
x téléphones se vendent x fois 800 euros.
R(x)=800x
Pour déterminer pour quelles valeurs de x, la courbe de R est au dessus de C, on place le doigt sur l’extrémité gauche de la courbe rouge (celle de R) et on la parcourt de gauche vers la doite en disant oui quand elle est strictement au dessus de la courbe verte( celle de C) et non dans le cas contraire.
Utiliser en haut le 11ème onglet à partir de la gauche pour déplacer le graphique pour répondre à la question.
On a dit oui pour les valeurs de x comprises entre 5000 et 50 000.
Donc l’entreprise doit fabriquer plus que 5000 téléphones et moins que 50000 téléphones.
Résolvons dans \mathbf{R}, l’inéquation suivante R(x)>C(x)
L’inéquation à résoudre 800x>0.01x^2+250x+2500000 est du 2nd degré car le plus grand exposant de x est 2.
La méthode proposée concerne les inéquations du second degré.
800x>0.01x^2+250x+2500000
1.Je fais tout passer à gauche, zéro apparaît à droite.
800x-0.01x^2-250x-2500000>0\\-0.01x^2+550x-2500000>0
2. Je factorise le membre de gauche.
On va utiliser L’application Calcul Formel de Géogébra.
On va plutôt utiliser -0.01(x-50000)(x-5000)>0
3. J’écris la phrase d’introduction.
Je cherche pour quelles valeurs de x, le produit -0.01(x-50000)(x-5000)est de signe(+) .
4. Je prépare mon tableau de signes.
Je résous x-50000=0\\x=50000
Je résous x-5000=0\\x=5000
Je place les valeurs 5000 et 50000 sur la première ligne du tableau en les rangeant dans le bon ordre. Je place les zéros sur les lignes en-dessous.
5. Je réponds à la phrase d’introduction.
Le produit -0.01(x-50000)(x-5000)est de signe(+) pour la deuxième colonne qui correspond aux valeurs de x comprises entre 5000 et 50000 .
Je ne prends pas les valeurs 5000 et 50000 car le produit ne peut pas être nul. Donc j’ouvre les crochets en 5000 et 50 000, ce qui signifie que les crochets sont tournés vers l’extérieur de l’intervalle.
S=]5000;50000[
L’entreprise sera bénéficiaire si elle produit plus que 5000 téléphone et moins que 50 000 téléphones.