Exercice n°1
Déterminer dans chaque cas, les parties réelle et imaginaire des complexes suivants.
z=3+2i
z=-1+i
z=-2i+6
z=9
Exercice n°2 :
On considère z_1=2-3i et z_2=-2+i
Déterminer la forme algébrique des complexes suivants.
z_1+z_2
z=3z_1
z_1\times z_2
z_1^2
Exercice n°3
On considère z_1=\sqrt{2}+i et z_2=\sqrt{3}-i
Déterminer la forme algébrique des complexes suivants.
z_1+z_2
z=\sqrt{2}z_2
z_1\times z_2
z_1^2
Exercice n°4 : Résoudre les équations suivantes dans \mathbf{C}.
On pourra conjecturer la ou les solutions à l’aide de la fenêtre active Géogébra ci-dessous. Quand on clique sur la première ligne pour saisir l’équation, le pavé numérique apparaît. Pour obtenir le i, il faut cliquer sur l’onglet f(x).
1+3i+z=2+5i
3+2z=3-4i
5i-3z=3-i
6+2i+2z=8+4i
Exercice n°5
Déterminer la forme algébrique de l’inverse des nombres complexes suivants.
z=1-i
z=3+3i
1+i\sqrt{3}
\sqrt{2}-i\sqrt{2}
Exercice n°6 : Déterminer dans chaque cas, la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants.
z_1=\frac{2}{1+i}
z_2=\frac{5-i}{1+2i}
z_3=\frac{\sqrt{3}+2i}{\sqrt{3}+i}
z_4=\frac{1+5i}{-2+i}
Exercice n°7 : Résoudre les équations suivantes dans \mathbf{C}.
On pourra conjecturer la ou les solutions à l’aide de la fenêtre active Géogébra ci-dessus.
(1-i)z=1+i
iz=3+2i
(2+i)z=2-2i
2iz=3-4i
3+2i est la somme des deux termes : 3 et 2i ( on prend soin, si c’est nécessaire, d’écrire en deuxième le terme en i)
Le terme de la somme 3 est la partie réelle.
Dans le deuxième terme de la somme 2i, i est multiplié par 2, donc la partie imaginaire est 2.
Pour z=3+2i,
Re(z)=3 et Im(z)=2
-1+i est la somme des deux termes : -1 et i ( on prend soin, si c’est nécessaire, d’écrire en deuxième le terme en i)
Le terme de la somme -1 est la partie réelle.
Dans le deuxième terme de la somme i, i est multiplié par 1, donc la partie imaginaire est 1.
Pour z=-1+i,
Re(z)=-1 et Im(z)=1
-2i+6 est la somme des deux termes : 6 et -2i ( on prend soin, si c’est nécessaire, d’écrire en deuxième le terme en i)
Le terme de la somme 6 est la partie réelle.
Dans le deuxième terme de la somme -2i, i est multiplié par -2, donc la partie imaginaire est -2.
Pour z=-2i+6,
Re(z)=6 et Im(z)=-2
On peut imaginer que 9 est la somme des deux termes : 9 et 0
Le terme de la somme 9 est la partie réelle.
Dans le deuxième terme de la somme 0, i est multiplié par 0, donc la partie imaginaire est 0.
Pour z=9,
Re(z)=9 et Im(z)=0
z_1=2-3i et z_2=-2+i
On veut déterminer la forme algébrique de z_1+z_2.
z_1+z_2=2-3i-2+i\\\hspace{1.15cm}=-2i
On vérifie avec la TI 83 Premium CE
z_1=2-3i et z_2=-2+i
On veut déterminer la forme algébrique de 3z_1.
3z_1=3(2-3i)\\\hspace{0.6cm}=6-9i
On vérifie à l’aide de la calculatrice TI 83 Premium CE
z_1=2-3i et z_2=-2+i
On veut déterminer la forme algébrique de z_1\times z_2.
z_1\times z_2=(2-3i)\times (-2+i)
Plutôt que d’appliquer la formule, on préfère développer.
\hspace{1.15cm}=2\times(-2)+2\times(i)-3i\times(-2)-3i\times i\\\hspace{1.15cm}=-4+2i+6i-3i^2\\\hspace{1.15cm}=-4+8i-3\times(-1)\\\hspace{1.15cm}=-4+8i+3\\\hspace{1.15cm}=-1+8i
On vérifie à l’aide de la calculatrice TI 83 Premium CE
z_1=2-3i et z_2=-2+i
On veut déterminer la forme algébrique de z_1^2.
z_1^2=(2-3i)^2
On utilise l’identité remarquable (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 avec a=2 et b=3i.
\hspace{0.5cm}=2^2-2\times2\times 3i+(3i)^2\\\hspace{0.5cm}=4-12i+9i^2\\\hspace{0.5cm}=4-12i-9\\\hspace{0.5cm}=-5-12i
On vérifie avec la TI 83 Premium CE
z_1=\sqrt{2}+i et z_2=\sqrt{3}-i
On veut déterminer la forme algébrique de z_1+z_2.
z_1+z_2=\sqrt{2}+i+\sqrt{3}-i\\\hspace{1.15cm}=\sqrt{2}+\sqrt{3}
On vérifie avec la TI 83 Premium CE
z_1=\sqrt{2}+i et z_2=\sqrt{3}-i
On veut déterminer la forme algébrique de \sqrt{2}z_2.
\sqrt{2}z_2=\sqrt{2}(\sqrt{3}-i)\\\hspace{0.9cm}=\sqrt{2}\times \sqrt{3} -\sqrt{2}i\\\hspace{0.9cm}=\sqrt{6}-\sqrt{2}i
On vérifie à l’aide de la calculatrice TI 83 Premium CE
z_1=\sqrt{2}+i et z_2=\sqrt{3}-i
On veut déterminer la forme algébrique de z_1\times z_2.
z_1\times z_2=(\sqrt{2}+i)\times (\sqrt{3}-i)
Plutôt que d’appliquer la formule, on préfère développer
\hspace{1.15cm}=\sqrt{2}\times \sqrt{3}-\sqrt{2}\times i+i\times \sqrt{3}-i^2\\\hspace{1.15cm}=\sqrt{6}-i\sqrt{2}+i\sqrt{3}+1\\\hspace{1.15cm}=\sqrt{6}+1+i(-\sqrt{2}+\sqrt{3})
On vérifie à l’aide de la calculatrice TI 83 Premium CE
z_1=\sqrt{2}+i et z_2=\sqrt{3}-i
On veut déterminer la forme algébrique de z_1^2.
z_1^2=(\sqrt{2}+i)^2
On utilise l’identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 avec a=\sqrt{2} et b=i.
\hspace{0.5cm}=\sqrt{2}^2+2\times\sqrt{2}\times i+i^2\\\hspace{0.5cm}=2+2\sqrt{2}i-1\\\hspace{0.5cm}=1+2\sqrt{2}i
On vérifie avec la TI 83 Premium CE
On veut résoudre l’équation 1+3i+z=2+5i dans \mathbf{C}.
C’est une équation du premier degré, on doit remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
Dans le membre de gauche, 1+3i n’est pas à sa place, on enlève 1+3i de chaque côté.
z=2+5i-1-3i\\z=1+2i
L’ensemble solution est S=\{1+2i\}
La solution correspond à ce qu’on a conjecturé précédemment avec Géogébra.
On veut résoudre l’équation 3+2z=3-4i dans \mathbf{C}.
C’est une équations du premier degré, on doit remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
Dans le membre de gauche, 3 n’est pas à sa place, on enlève 3 de chaque côté.
2z=3-4i-3\\2z=-4i
Dans le membre de gauche, 2 n’est pas à sa place, on divise par 2 de chaque côté.
z=\frac{-4i}{2}\\z=-2i
L’ensemble solution est S=\{-2i\}
On veut résoudre l’équation 5i-3z=3-i dans \mathbf{C}.
C’est une équation du premier degré, on doit remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
Dans le membre de gauche, 5i n’est pas à sa place, on enlève 5i de chaque côté.
-3z=3-i-5i\\-3z=3-6i
Dans le membre de gauche, -3 n’est pas à sa place, on divise par -3 de chaque côté.
z=\frac{3-6i}{-3}\\z=-1+2i
L’ensemble solution est S=\{-1+2i\}
On veut résoudre l’équation 6+2i+2z=8+4i dans \mathbf{C}.
C’est une équation du premier degré, on doit remettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
Dans le membre de gauche, 6+2i n’est pas à sa place, on enlève 6+2i de chaque côté.
2z=8+4i-6-2i\\2z=2+2i
Dans le membre de gauche, 2 n’est pas à sa place, on divise par 2 de chaque côté.
z=\frac{2+2i}{2}\\z=1+i
L’ensemble solution est S=\{1+i\}
On veut déterminer l’inverse de z=1-i.
On identifie la partie réelle de z : a=1 et la partie imaginaire de z : b=-1.
On remplace a par 1 et b par -1 dans \frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{(-b)}{a^2+b^2}i
\frac{1}{z}=\frac{1}{1^2+(-1)^2}+\frac{-(-1)}{1^2+(-1)^2}i
\frac{1}{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i
On vérifie le résultat avec la TI 83 Premium CE
On veut déterminer l’inverse de z=3+3i.
On identifie la partie réelle de z : a=3 et la partie imaginaire de z : b=3.
On remplace a par 3 et b par 3 dans \frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{(-b)}{a^2+b^2}i
\frac{1}{z}=\frac{3}{3^2+3^2}+\frac{(-3)}{3^2+3^2}i\\\frac{1}{z}=\frac{3}{18}-\frac{3}{18}i\\\frac{1}{z}=\frac{1}{6}-\frac{1}{6}i
On vérifie le résultat avec la TI 83 Premium CE. La calculatrice donne des valeurs décimales, on n’hésite pas à calculer \frac{1}{6}.
On veut déterminer l’inverse de z=1+i\sqrt{3}.
On identifie la partie réelle de z : a=1 et la partie imaginaire de z : b=\sqrt{3}.
On remplace a par 1 et b par \sqrt{3} dans \frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{(-b)}{a^2+b^2}i
\frac{1}{z}=\frac{1}{1^2+\sqrt{3}^2}+\frac{-\sqrt{3}}{1^2+\sqrt{3}^2}i
\frac{1}{z}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i
On vérifie le résultat avec la TI 83 Premium CE.
On veut déterminer l’inverse de z=\sqrt{2}-i\sqrt{2}.
On identifie la partie réelle de z : a=\sqrt{2} et la partie imaginaire de z : b=-\sqrt{2}.
On remplace a par \sqrt{2} et b par -\sqrt{2} dans \frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{(-b)}{a^2+b^2}i
\frac{1}{z}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2+(-\sqrt{2})^2}+\frac{-(-\sqrt{2})}{\sqrt{2}^2+(-\sqrt{2})^2}i
\frac{1}{z}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}i
On vérifie le résultat avec la TI 83 Premium CE.
On veut mettre z_1=\frac{2}{1+i} sous forme algébrique.
On va multiplier par le conjugué du dénominateur 1+i c’est-à-dire 1-i en haut et en bas.
z_1=\frac{2}{1+i}\times \frac{1-i}{1-i} \\\hspace{0.42cm}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}
On utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 pour développer le dénominateur.
\hspace{0.42cm}=\frac{2-2i}{1^2-i^2}\\\hspace{0.42cm}=\frac{2-2i}{1-(-1)}\\\hspace{0.42cm}=\frac{2-2i}{2}\\\hspace{0.42cm}=1-i
On vérifie le résultat avec la TI 83 Premium CE.
On veut mettre z_2=\frac{5-i}{1+2i} sous forme algébrique.
On va multiplier par le conjugué du dénominateur 1+2i c’est-à-dire 1-2i en haut et en bas.
z_2=\frac{5-i}{1+2i}\times \frac{1-2i}{1-2i} \\\hspace{0.42cm}=\frac{(5-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}
On utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 pour développer le dénominateur.
\hspace{0.42cm}=\frac{5-10i-i+2i^2}{1^2-(2i)^2}\\\hspace{0.42cm}=\frac{5-10i-i+2\times(-1)}{1-4i^2}\\\hspace{0.42cm}=\frac{5-10i-i-2}{1-4\times(-1)}\\\hspace{0.42cm}=\frac{3-11i}{1+4}\\\hspace{0.42cm}=\frac{3-11i}{5}\\\hspace{0.42cm}=\frac{3}{5}-\frac{11}{5}i
On vérifie le résultat avec la TI 83 Premium CE.
On veut mettre z_3=\frac{\sqrt{3}+2i}{\sqrt{3}+i} sous forme algébrique.
On va multiplier par le conjugué du dénominateur \sqrt{3}-i c’est-à-dire \sqrt{3}+i en haut et en bas.
z_3=\frac{\sqrt{3}+2i}{\sqrt{3}-i}\times \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} \\\hspace{0.42cm}=\frac{(\sqrt{2}+i)(\sqrt{2}+i)}{(\sqrt{2}-i)(\sqrt{2}+i)}
On utilise l’identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 pour développer le numérateur et on utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 pour développer le dénominateur.
\hspace{0.42cm}=\frac{\sqrt{2}^2+2\sqrt{2}i+i^2}{\sqrt{2}^2-i^2}\\\hspace{0.42cm}=\frac{2+2\sqrt{2}i+(-1)}{2-(-1)}\\\hspace{0.42cm}=\frac{1+2\sqrt{2}i}{3}\\\hspace{0.42cm}=\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}i
On vérifie le résultat avec la TI 83 Premium CE. Comme la calculatrice donne des valeurs décimales, on peut éventuellement calculer \frac{1}{3} et \frac{2\sqrt{2}}{3}.
On veut mettre z_4=\frac{1+5i}{-2+i} sous forme algébrique.
On va multiplier par le conjugué du dénominateur -2+i c’est-à-dire -2-i en haut et en bas.
z_4=\frac{1+5i}{-2+i}\times \frac{-2-i}{-2-i} \\\hspace{0.42cm}=\frac{(1+5i)(-2-i)}{(-2+i)(-2-i)}
On utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 pour développer le dénominateur.
\hspace{0.42cm}=\frac{-2-i-10i-5i^2}{(-2)^2-i^2}\\\hspace{0.42cm}=\frac{-2-i-10i-5\times(-1)}{4-(-1)}\\\hspace{0.42cm}=\frac{-2-i-10i+5}{4+1}\\\hspace{0.42cm}=\frac{3-11i}{5}\\\hspace{0.42cm}=\frac{3}{5}-\frac{11}{5}i
On vérifie le résultat avec la TI 83 Premium CE. Comme la calculatrice donne des valeurs décimales, on peut éventuellement calculer \frac{3}{5} et \frac{11}{5}.
On veut mettre résoudre (1-i)z=1+i dans \mathbf{C}.
C’est une équation du premier degré. On va mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
Dans le membre de gauche, le facteur 1-i n’est pas à sa place, on divise par 1-i de chaque côté.
z=\frac{1+i}{1-i}
On va multiplier par le conjugué du dénominateur 1-i c’est-à-dire 1+i en haut et en bas.
\hspace{0.3cm}=\frac{1+i}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i} \\\hspace{0.3cm}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}
On utilise l’identité remarquable (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 pour développer le numérateur et l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 pour développer le dénominateur.
\hspace{0.3cm}=\frac{1^2+2i+i^2}{1^2-i^2}\\\hspace{0.3cm}=\frac{1+2i-1}{1-(-1)}\\\hspace{0.3cm}=\frac{2i}{1+1}\\\hspace{0.3cm}=\frac{2i}{2}\\\hspace{0.3cm}=i
Donc S=\{i\}
On veut résoudre iz=3+2i dans \mathbf{C}.
C’est une équation du premier degré. On va mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
Dans le membre de gauche, le facteur i n’est pas à sa place, on divise par i de chaque côté.
z=\frac{3+2i}{i}
On va multiplier par le conjugué du dénominateur i c’est-à-dire -i en haut et en bas.
\hspace{0.3cm}=\frac{3+2i}{i}\times \frac{-i}{-i} \\\hspace{0.3cm}=\frac{(3+2i)(-i)}{(i)(-i)}\\\hspace{0.3cm}=\frac{-3i-2i^2}{-i^2}\\\hspace{0.3cm}=\frac{-3i-2\times (-1)}{-(-1)}\\\hspace{0.3cm}=\frac{-3i+2}{1}\\\hspace{0.3cm}=-3i+2\\\hspace{0.3cm}=2-3i
Donc S=\{2-3i\}
On veut résoudre (2+i)z=2-2i dans \mathbf{C}.
C’est une équation du premier degré. On va mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
Dans le membre de gauche, le facteur 2+i n’est pas à sa place, on divise par 2+i de chaque côté.
z=\frac{2-2i}{2+i}
On va multiplier par le conjugué du dénominateur 2+i c’est-à-dire 2-i en haut et en bas.
\hspace{0.3cm}=\frac{2-2i}{2+i}\times \frac{2-i}{2-i} \\\hspace{0.3cm}=\frac{(2-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}
On utilise l’identité remarquable (a-b)(a+b)=a^2-b^2 pour développer le dénominateur.
\hspace{0.3cm}=\frac{4-2i-4i+2i^2}{2^2-i^2}\\\hspace{0.3cm}=\frac{4-2i-4i+2\times(-1)}{4-(-1)}\\\hspace{0.3cm}=\frac{4-2i-4i-2}{4+1}\\\hspace{0.3cm}=\frac{2-6i}{5}\\\hspace{0.3cm}=\frac{2}{5}-\frac{6}{5}i
Donc S=\{\frac{2}{5}-\frac{6}{5}i\}
On veut résoudre 2iz=3-4i dans \mathbf{C}.
C’est une équation du premier degré. On va mettre à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
Dans le membre de gauche, le facteur 2i n’est pas à sa place, on divise par 2i de chaque côté.
z=\frac{3-4i}{2i}
On va multiplier par le conjugué du dénominateur 2i c’est-à-dire -2i en haut et en bas.
\hspace{0.3cm}=\frac{3-4i}{2i}\times \frac{-2i}{-2i} \\\hspace{0.3cm}=\frac{(3-4i)(-2i)}{(2i)(-2i)}\\\hspace{0.3cm}=\frac{-6i+8i^2}{-4i^2}\\\hspace{0.3cm}=\frac{-6i+8\times(-1)}{-4\times(-1)}\\\hspace{0.3cm}=\frac{-6i-8}{4}\\\hspace{0.3cm}=-\frac{6}{4}i-\frac{8}{4}
On peut simplifier les fractions.
\hspace{0.3cm}=-2-\frac{3}{2}i
Donc S=\{-2-\frac{3}{2}i\}