Soit k un nombre réel.
On considère la suite (u_n) définie par son premier terme u_0 et pour tout entier naturel n, u_{n+1}=ku_n(1-u_n).
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de k.
Partie 1
Dans cette partie, k=1.9 et u_0=0.1.
On a donc, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=1.9u_n(1-u_n).
1. On considère la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=1.9x(1-x).
a. Étudier les variations de f sur [0;1].
b. En déduire que si x \in [0;1] alors f(x) \in [0;1].
2. Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite (u_n) construits à partir de la courbe C_fde la fonction f et de la droite D d’équation y=x.
Conjecturer le sens de variation de la suite (u_n) et sa limite éventuelle.
3. a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2}.
b. En déduire que la suite (u_n) converge.
c. Déterminer sa limite.
Partie 2
Dans cette partie, k=\frac{1}{2} et u_0=\frac{1}{4}
On a donc, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n(1-u_n) et u_0=\frac{1}{4}.
On admet que pour tout entier naturel n : 0\leq u_n \leq (\frac{1}{2})^n.
1. Démontrer que la suite (u_n) converge et déterminer sa limite.
2. On considère la fonction Python algo (p) où p désigne un entier naturel non nul :
Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul p, la boucle while ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande algo (p) de renvoyer une valeur.
La fonction f est définie sur [0;1] par f(x)=1.9x(1-x).
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u.v avec u(x)=1.9x et v(x)=1-x.
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u'(x)=(1.9x)'
u'(x)=1.9(x)'
u'(x)=1.9\times 1
u'(x)=1.9
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v'(x)=(1-x)'
v'(x)=(1)'-(x)'
v'(x)=0-1
v'(x)=-1
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (1.9x(1-x))'\\f'(x)= (1.9x)'(1-x)+1.9x(1-x)'\\f'(x)= 1.9(1-x)+1.9x\times(-1)\\f'(x)=1.9-1.9x-1.9x\\f'(x)=1.9-3.8x
Partie 2 : étude du signe de f'(x)
Comme f'(x) est de la forme ax+b avec a=-3.8 et b=1.9. On utilise le résultat du cours vu en seconde.
-\frac{b}{a}=-\frac{1.9}{(-3.8)}=\frac{1}{2} et le signe de a est négatif, donc :
On en déduit le signe de f'(x) sur [0;1] :
Partie 3 : tableau de variations de f
Comme
f(0)=1.9\times0 \times(1-0)=0\\f(\frac{1}{2})=1.9\times \frac{1}{2}\times(1-\frac{1}{2})=0.475\\f(1)=1.9\times 1\times(1-1)=0.
D’après le tableau de variations suivant :
Sur [0;1], f admet 0 pour minimum et 0.475 pour maximum.
Donc si x \in [0;1] alors f(x) \in [0;1].
La suite (u_n) semble croissante et semble converger vers l’abscisse du point d’intersection de C_f et D.
On veut montrer par récurrence que 0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2} pour n \in \mathbf{N} .
Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.
0\leq u_0\leq u_1\leq \frac{1}{2} vraie car u_0=0.1 et u_1=1.9\times 0.1\times(1-0.1)= 0.171
Transmission ou hérédité : .
0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2}\\f(0)\leq f(u_n) \leq f(u_{n+1})\leq f(\frac{1}{2})\\0\leq f(u_n) \leq f(u_{n+1})\leq 0.475\leq \frac{1}{2}\\0 \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1})\leq \frac{1}{2}\\0\leq u_{n+1} \leq u_{n+2}\leq \frac{1}{2}
étape n°1 : j’écris la propriété au rang n en haut.
étape n°4 : Comme f est croissante sur [0;\frac{1}{2}], les nombres et leurs images varient dans le même sens.
étape n°5 : on remplace f(0) par 0 et f(\frac{1}{2}) par 0.475 qui est inférieur à \frac{1}{2}.
étape n°3 : je remplace u_{n+1} par f(u_n) et u_{n+2} par f(u_{n+1})
étape n°2 : j’écris la propriété au rang n+1 en bas.
Conclusion : J’écris la propriété au rang n et je rajoute pour tout n.
0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2} pour n \in \mathbf{N}
On veut en déduire que la suite (u_n) converge.
On a montré par récurrence que 0\leq u_n \leq u_{n+1}\leq \frac{1}{2} pour n \in \mathbf{N}.
La suite (u_n) est croissante car u_n \leq u_{n+1} pour n \in \mathbf{N}.
La suite (u_n) est majorée car u_n \leq \frac{1}{2} pour n \in \mathbf{N}.
La suite (u_n) est croissante et majorée par \frac{1}{2} donc la suite (u_n) converge.
On a vu précédemment que la suite (u_n) converge. Si on nomme l sa limite, elle vérifie f(l)=l.
Il faut donc résoudre l’équation
1.9l(1-l)=l
On fait tout passer à gauche.
1.9l(1-l)-l=0
Au lieu de développer, on met l en facteur.
l(1.9-1.9l-1)=0\\l(-1.9l+0.9)=0
On applique la règle du produit nul.
l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}-1.9l+0.9=0\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}-1.9l=-0.9\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}l=\frac{-0.9}{-1.9}\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}l=\frac{0.9}{1.9}=\frac{9}{19}
On a vu précédemment que la suite est croissante, donc tous les termes sont plus grands que u_0=0.1 donc on ne garde que la valeur \frac{9}{19}.
Donc
lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}u_n=\frac{9}{19}.
On a admis que pour tout entier naturel n : 0\leq u_n \leq (\frac{1}{2})^n.
La suite géométrique (\frac{1}{2})^n)) converge vers 0 car 0<\frac{1}{2}<1.
Donc d’après le théorème des gendarmes :
lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}u_n=0.
Et donc la suite (u_n) converge vers 0.
La boucle s’arrête quand u est inférieur ou égal à 10^{-p}, c’est-à-dire pour la première valeur de n vérifiant u_n\leq 10^{-p}. Comme lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}u_n=0, il y a une première valeur n_0 à partir de laquelle u_n\leq 10^{-p} pour tout n>n_0.
La boucle while ne tourne donc pas indéfiniment, ce qui permet à la commande algo(p) de renvoyer une valeur.