Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :
• 20 % des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons;
• 2 % des casques non contrefaits présentent un défaut de conception;
• 10 % des casques contrefaits présentent un défaut de conception.
L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les évènements suivants :
• C : « le casque est contrefait »;
• D : « le casque présente un défaut de conception »;
• C et D désignent respectivement les évènements contraires de C et D.
Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à 10^{-3} près si nécessaire.
Partie 1
1. Calculer p(C\cap D). On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
2. Démontrer que p(D)=0.036.
3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?
Partie 2
On commande n casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.
1. Dans cette question, n=35.
a. Justifier que X suit une loi binomiale B(n,p) où n=35 et p=0.036.
b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
c. Calculer p(X\leq 1).
2. Dans cette question, n n’est pas fixé.
Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieur à 0.99?
Dans l’arbre ci-contre les branches primaires mènent à C et \overline{C} qui seront les conditions. Les branches secondaires mènent à D et \overline{D} qui seront les évènements.
« 20 % des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons » donc p(C)=0.2
p(\overline{C})=1-0.2=0.8.
« 10 % des casques contrefaits présentent un défaut de conception »
On reformule « Sachant que le casque est contrefait C la probabilité qu’il présente un défaut est 0.1. »
donc p_C(D)=0.1
« La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1 »
p_C(D)+p_C(\overline{D})=1\\p_C(\overline{D})=1-p_C(D)\\\hspace{1cm}=1-0.1\\\hspace{1cm}=0.9
« 2 % des casques non contrefaits présentent un défaut de conception »
On reformule « Sachant que le casque est non contrefait \overline{C} la probabilité qu’il présente un défaut est 0.02. »
donc p_{\overline{C}}(D)=0.02
« La somme des probabilités sur les branches issues d’un même noeud est égale à 1 »
p_{\overline{C}}(D)+p_{\overline{C}}(\overline{D})=1\\p_{\overline{C}}(\overline{D})=1-p_{\overline{C}}(D)\\\hspace{1cm}=1-0.02\\\hspace{1cm}=0.98
On calcule p(C\cap D) avec la formule p(C\cap D)=p(C)\times p_C(D).
p(C\cap D)=0.2\times 0.1=0.02
On applique la formule des probabilités totales ( la probabilité d’un événement est la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à cet évènement).
p(D)=p(C\cap D)+p(\overline{C}\cap D)\\\hspace{0.85cm}=0.02+p(\overline{C})\times p_{\overline{C}}(D)\\\hspace{0.85cm}=0.02+0.8\times 0.02\\\hspace{0.85cm}=0.02+0.016\\\hspace{0.85cm}=0.036
Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?
On reformule : sachant que le casque a un défaut, quelle est la probabilité qu’il soit contrefait?
La condition est le casque a un défaut.
Pour calculer p_{D}(C), on ne peut pas utiliser l’arbre car pour l’arbre la condition est C ou \overline{C}. On applique donc la formule du cours.
p_{D}(C)=\frac{p(C\cap D)}{p(D)}
p_{D}(C)=\frac{0.02}{0.036}\\\hspace{1cm}=0.556
On peut modéliser cette expérience par un schéma de Bernoulli : on répète 35 fois de façon indépendante une expérience de Bernoulli à deux issues : D: le casque a un défaut et \overline{D}: le casque n’a pas de défaut.
p(D)=0.036. C’est le paramètre p, la probabilité du succès.
Il y a 35 répétitions indépendantes de l’expérience de Bernoulli donc
n=35.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres (0.036;35).
On veut déterminer, la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception. .
On a vu dans la question 2.a. qu’il s’agit d’une loi binomiale du type B(35;0.036).
On applique le cours p(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k} où q=1-p en remplaçant k par 1, p par 0.036 et q par 1-0.036=0.964.
p(X=1)=\binom{35}{1}\times (0.036)^1\times 0.964^{34}\\p(X=1)=0.362
On a obtenu le résultat avec la TI 83 de la manière suivante:
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche 2nde puis sur la touche var. Dans le menu déroulant, on sélectionne la ligne
A:binomFdp(
On valide avec entrer
Sur la ligne NbreEssais, on saisit le nombre de répétitions c’est-à-dire n.
Sur la ligne p, on saisit la probabilité du succès.
Sur la ligne valeur de x, on saisit le nombre de succès souhaité.
Faire entrer deux fois.
On veut calculer p(X\leq 1).
p(X\leq 1)=0.639
On a obtenu le résultat avec la calculatrice TI 83 Premium CE de la manière suivante :
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche 2nde puis sur la touche var. Dans le menu déroulant, on sélectionne la ligne
B:binomFRép(
On valide avec entrer
Sur la ligne NbreEssais, on saisit le nombre de répétitions c’est-à-dire n.
Sur la ligne p, on saisit la probabilité du succès.
Sur la ligne valeur de x, on saisit le nombre de succès souhaité.
Faire entrer deux fois.
Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieur à 0.99?
Il faut donc résoudre p(X\geq 1)>0.99.
Lorsque dans un énoncé, il y a au moins un, on pense à l’évènement contraire pas du tout.
p(X\geq 1)=1-p(X=0).
On remplace p(X\geq 1) par 1-p(X=0) dans p(X\geq 1)>0.99
1-p(X=0)>0.99
On applique le cours p(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k} où q=1-p en remplaçant k par 0, p par 0.036 et q par 1-0.036=0.964.
1-\binom{n}{0}\times (0.036)^0\times 0.964^{n}>0.99\\1-0.964^{n}>0.99\\-0.964^{n}>-1+0.99\\-0.964^{n}>-0.01\\0.964^{n}<0.01\\ln(0.964^{n})<ln(0.01)\\n ln(0.964)<ln(0.01)
On divise par ln(0.964) qui est négatif donc l’inégalité change de sens.
n >\frac{ln(0.01)}{ln(0.964)}
n >125.6
Il faut donc commander au moins 126 casques pour que la probabilité d’en avoir au moins un défectueux soit supérieure à 0.99.