Extrait du sujet du 16 juin 2015 donné en Asie au Bac S
Le plan est muni du repère orthonormé direct (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})
On donne le nombre complexe j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}
Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés du nombre j.
1. a. Résoudre dans l’ensemble \mathbf{C} des nombres complexes l’équation z^2+ z +1 = 0.
b. Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation
2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle.
3. Démontrer les égalités suivantes :
a. j^3=1
b. j^2=-1-j
4. On note P,Q,R les images respectives des nombres complexes 1,j,j^2 dans le plan.
a. Calculer \frac{j^2-1}{j-1} et mettre le résultat sous forme exponentielle.
b. En déduire la nature du triangle PQR.
Utiliser la TI 83 Premium CE ( on peut utiliser la calculatrice car tous les coefficients sont réels ).
Au clavier
A l’écran
Appuyer sur la touche resol du clavier, sélectionner 2: PlySmlt2 dans le menu déroulant, valider par entrer puis sélectionner 1: RACINES D’UN POLYNOME valider par entrer. Sélectionner le degré du polynôme, ici 2. Sélectionner a+bi.
Appuyer sur la touche graph du clavier ( située sous SUIV de l’écran ), saisir l’équation. Attention, après avoir saisi le coefficient ou l’opération, toujours valider par entrer.
Appuyer sur la touche graph ( située sous RESOL de l’écran ) clavier, les solutions apparaissent.
On veut résoudre l’équation z^2+z+1=0.
C’est une équation du second degré d’inconnue z.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=1 et c=1.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1,1,1.
\Delta=1²-4\times{1}\times{1}\\\Delta=1-4\\\Delta=-3
comme \Delta<0 , l’équation admet deux solutions complexes conjuguées z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} et z_2=\overline{z_1}=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}
Je calcule z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1,1,(-3).
z_1=\frac{-1-i\sqrt{-(-3)}}{2\times 1}\\z_1=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\\z_1=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i
Pour calculer z_2, on utilise z_2=\overline{z_1}.
z_2=\overline{z_1}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
Je conclus S=\{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i;-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\}
On a montré précédemment que l’équation z^2+z+1=0 a pour ensemble solution
S=\{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i;-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\}.
Comme j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, j\in S donc j est solution de l’équation z^2+z+1=0.
Déterminer le module d’un complexe avec la TI 83 premium CE.
Au clavier
A l’écran
Appuyer sur la touche math du clavier de la calculatrice.
Se déplacer dans la colonne CMPLX.
Sur la 5ème ligne sélectionner abs( , puis saisir à la suite le nombre complexe.
Déterminer l’argument d’un complexe avec la TI 83 premium CE.
Au clavier
A l’écran
Appuyer sur la touche math du clavier de la calculatrice.
Se déplacer dans la colonne CMPLX.
Sur la 4ème ligne sélectionner angle( , puis saisir à la suite le nombre complexe.
1.Calculons le module du nombre complexe j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
On remplace a par la partie rélle de j qui vaut -\frac{1}{2} et b par la partie imaginaire de j qui vaut \frac{\sqrt{3}}{2} dans
|z|=\sqrt{a^2+b^2}.
|j|=\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\\\hspace{0.5cm}=\sqrt{\frac{1^2}{2^2}+\frac{\sqrt{3}^2}{2^2}}\\\hspace{0.5cm}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}\\\hspace{0.5cm}=\sqrt{\frac{4}{4}}\\\hspace{0.5cm}=\sqrt{1}\\\hspace{0.5cm}=1
2. Calculons un argument du nombre complexe j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i c’est-à-dire qu’on cherche un réel \Theta tel que
cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}
On remplace a par la partie rélle de j qui vaut -\frac{1}{2} et b par la partie imaginaire de j qui vaut \frac{\sqrt{3}}{2} et |j| par 1 dans
cos(\Theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\Theta)=\frac{b}{|z|}.
cos(\Theta)=\frac{-\frac{1}{2}}{1} et sin(\Theta)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}
cos(\Theta)=-\frac{1}{2} et sin(\Theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Pour déterminer, par le calcul, une valeur de \Theta, il y a plusieurs méthodes :
méthode n°1 : on utilise les touches cos^{-1} et sin^{-1} de la calculatrice.
cos(\Theta)=-\frac{1}{2}
\Theta=cos^{-1}(-\frac{1}{2})
La calculatrice donne \Theta=\frac{2\pi}{3}
En réalité on obtient :
\Theta=\frac{2\pi}{3} ou \Theta=-\frac{2\pi}{3}
sin(\Theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}
\Theta=sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})
La calculatrice donne \Theta=\frac{\pi}{3}
En réalité on obtient :
\Theta=\frac{\pi}{3} ou \Theta=\pi-(\frac{\pi}{3})
\Theta=\frac{\pi}{3} ou \Theta=\frac{2\pi}{3}
La solution commune aux deux équations est : \Theta=\frac{2\pi}{3}.
Donc arg(z)=\frac{2\pi}{3}[2\pi].
méthode n°2 : on utilise le cercle trigonométrique ci-dessous
On place -\frac{1}{2} sur l’axe des abscisses, \frac{\sqrt{3}}{2} sur l’axe des ordonnées et on lit l’angle correspondant, ici \frac{2\pi}{3}. attention il y a une infinité de mesures : \frac{2\pi}{3}+2k\pi.
A l’aide du cercle trigonométrique, on obtient : arg(j)=\frac{2\pi}{3}[2\pi].
3. On en déduit la forme exponentielle
j=1\times e^{i\frac{2\pi}{3}}\\j=e^{i\frac{2\pi}{3}}
Déterminer la forme exponentielle d’un complexe avec la TI 83 premium CE.
Au clavier
A l’écran
Saisir le nombre complexe
Appuyer sur la touche math du clavier de la calculatrice.
Se déplacer dans la colonne CMPLX.
Sur la 7ème ligne sélectionner Polaire , puis valider avec entrer
On veut démontrer l’égalité suivante : j^3=1.
Doit-on remplacer j par la forme algébrique -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i ou par la forme exponentielle e^{i\frac{2\pi}{3}} ?
Réponse : pour calculer des additions et des soustractions, on utilise la forme algébrique. Pour calculer un produit, un quotient ou une puissance, on utilise la forme exponentielle. Donc comme on calcule j^3 et que c’est une puissance, on j par e^{i\frac{2\pi}{3}}.
j^3=(e^{i\frac{2\pi}{3}})^3\\\hspace{0.5cm}=e^{i\frac{2\pi}{3}\times 3}\\\hspace{0.5cm}=e^{i2\pi}\\\hspace{0.5cm}=1
On veut démontrer l’égalité suivante : j^2=-1-j.
On sait que j est solution de l’équation z^2+z+1=0 donc
j^2+j+1=0
On enlève j+1 de chaque côté de l’égalité
j^2=-j-1 ou j^2=-1-j.
On veut calculer \frac{j^2-1}{j-1} et mettre le résultat sous forme exponentielle.
On a intérêt à remplacer j^2-1 par (j-1)(j+1) puis simplifier.
\frac{j^2-1}{j-1}=\frac{(j-1)(j+1)}{j-1}\\\hspace{0.75cm}=j+1
Comment on va faire une addition : j+1, on remplace j par sa forme algébrique -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i .
\hspace{0.75cm}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i +1\\\hspace{0.75cm}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
1.Calculons le module du nombre complexe \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
On remplace a par la partie rélle qui vaut \frac{1}{2} et b par la partie imaginaire qui vaut \frac{\sqrt{3}}{2} dans
|z|=\sqrt{a^2+b^2}.
|\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i|=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\\\hspace{1.5cm}=\sqrt{\frac{1^2}{2^2}+\frac{\sqrt{3}^2}{2^2}}\\\hspace{1.5cm}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}\\\hspace{1.5cm}=\sqrt{\frac{4}{4}}\\\hspace{1.5cm}=\sqrt{1}\\\hspace{1.5cm}=1
2. On cherche un réel \theta tel que
cos(\theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\theta)=\frac{b}{|z|}
On remplace a par la partie rélle qui vaut \frac{1}{2} et b par la partie imaginaire qui vaut \frac{\sqrt{3}}{2} et |\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i| par 1 dans
cos(\theta)=\frac{a}{|z|} et sin(\theta)=\frac{b}{|z|}.
cos(\theta)=\frac{1}{2} et sin(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Pour déterminer, par le calcul, une valeur de \theta, il y a plusieurs méthodes :
méthode n°1 : on utilise les touches cos^{-1} et sin^{-1} de la calculatrice.
cos(\theta)=\frac{1}{2}
\theta=cos^{-1}(\frac{1}{2})
La calculatrice donne \theta=\frac{\pi}{3}
En réalité on obtient :
\theta=\frac{\pi}{3} ou \theta=-\frac{\pi}{3}
sin(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}
\theta=sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})
La calculatrice donne \theta=\frac{\pi}{3}
En réalité on obtient :
\theta=\frac{\pi}{3} ou \theta=\pi-\frac{\pi}{3}
La solution commune aux deux équations est : \theta=\frac{\pi}{3}.
Donc arg(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{\pi}{3}[2\pi].
méthode n°2 : on utilise le cercle trigonométrique ci-dessous
On place \frac{1}{2} sur l’axe des abscisses, \frac{\sqrt{3}}{2} sur l’axe des ordonnées et on lit l’angle correspondant, ici \frac{\pi}{3}. attention il y a une infinité de mesures : \frac{\pi}{3}+2k\pi.
A l’aide du cercle trigonométrique, on obtient : arg(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\frac{\pi}{3}[2\pi].
3. Mise sous forme exponentielle
La forme exponentielle de \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i est 1\times e^{\frac{\pi}{3}} ou e^{\frac{\pi}{3}}
On a montré que
\frac{j^2-1}{j-1}=e^{i\frac{\pi}{3}}
Donc \frac{z_R-z_P}{z_Q-z_P}=e^{i\frac{\pi}{3}}
Ces deux complexes sont égaux donc
Leurs modules sont égaux
|\frac{z_R-z_P}{z_Q-z_P}|=|e^{i\frac{\pi}{3}}|
\frac{|z_R-z_P|}{|z_Q-z_P|}=1
On interprète le module de la différence de deux complexes comme une distance.
\frac{PR}{PQ}=1
PR=PQ
Leurs arguments sont égaux
arg(\frac{z_R-z_P}{z_Q-z_P})=arg(e^{i\frac{\pi}{3}})
arg(\frac{z_R-z_P}{z_Q-z_P})=\frac{\pi}{3}
On interprète l’argument du rapport de différences de complexes comme un angle.
(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})=\frac{\pi}{3}
Donc le triangle PQR est équilatéral.