Exercice n°1 : centres étrangers 11 Mai 2022
Partie A
Soit h la fonction définie sur \mathbf{R}par
h(x)=e^x-x
1. Déterminer les limites de h en -\infty et +\infty.
2. Étudier les variations de h et dresser son tableau de variation.
3. En déduire que :
si a et b sont deux réels tels que 0<a<b alors h(a)-h(b)<0.
Partie B
Soit f la fonction définie sur \mathbf{R}par
f(x)=e^x
On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthomormé..
1. Déterminer une équation de la tangente T à C_f au point d’abscisse 0.
Dans la suite de l’exercice on s’intéresse à l’écart entre T et C_f au voisinage de 0.
Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de T et C_f de même abscisse.
On s’intéresse aux points d’abscisse \frac{1}{n}, avec n entier naturel non nul.
On considère alors la suite (u_n) définie pour tout entier naturel non nul n par :
u_n=exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1.
2. Déterminer la limite de la suite (u_n).
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul n,
u_{n+1}-u_n=h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n}).
où h est la fonction définie à la partie A.
b. En déduire le sens de variation de la suite (u_n).
4. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à 10^{-9} des premiers termes de la suite (u_n).
Donner la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle l’écart entre T et C_f semble être inférieur à 10^{-2}..
On veut calculer lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^x-x.
Regardons d’abord avec la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les h(x) quand les x deviennent très petits.
Il semble que les h(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}e^x=0.
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}-x=+\infty
Par somme, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^x-x=+\infty.
Donc lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}h(x)=+\infty
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}e^x-x.
Regardons d’abord avec la courbe de la calculatrice, vers quelle valeur se rapprochent les h(x) quand les x deviennent très grands.
Il semble que les h(x) se rapprochent de +\infty.
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme, f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}e^x=+\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-x=-\infty.
Le théorème sur la somme ne permet pas de conclure car on obtient la forme indéterminée, (+\infty)+(-\infty).
Obtenir une forme indéterminée ne signifie pas qu’il n’y a pas de limite, cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On va utiliser un autre théorème. Pour cela on change la forme de e^x-x. Si on connaît son cours et les croissances comparées, on sait qu’il faut mettre x en facteur pour faira apparaître \frac{e^x}{x}.
e^x-x=x( \frac{e^x}{x}-1)
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit, fg.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x}=+\infty, d’après les croissances comparées.
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{e^x}{x}-1=+\infty.
Par produit, lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}x( \frac{e^x}{x}-1)=+\infty
lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}e^x-x=+\infty
Donc lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}h(x)=+\infty.
Partie 1 : calcul de h'(x)
On peut conjecturer le résultat à l’aide de Géogébra . Pour cela saisir g(x)=e^x-x dans une fenêtre Calcul Formel et cliquer sur l’onglet f'.
h(x)= e^x-x.
1.On veut calculer h'(x).
On répond à la question suivante : h(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux fonctions u+v avec u(x)=e^x et v(x)=-x.
On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=e^x est une fonction de référence, on utilise la 8ième ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence ».
u'(x)=(e^x)'
u'(x)=e^x
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=-x est une fonction de référence, on utilise la 2ième ligne du tableau « Dérivées des fonctions de référence ».
v'(x)=(-x)'
v'(x)=-(x)'
v'(x)=-1
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée h'(x)
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
h'(x)= (e^x-x)'\\h'(x)= (e^x)'-(x)'\\h'(x)=e^x-1
Partie 2 : étude du signe de h'(x)
On cherche pour quelles valeurs de x, h'(x) est positif.
h'(x)>0 si e^x-1>0
h'(x)>0 si e^x>1
h'(x)>0 si x>0
Partie 3 : tableau de variations de h
Comme h'(x) est positif sur ]0;+\infty[ , la fonction h est croissante sur ]0;+\infty[.
Comme h'(x) est négatif sur ]-\infty;0[ , la fonction h est décroissante sur ]-\infty;0[.
h(0)=e^0-0=1.
Il ne reste plus qu’à dresser le tableau de variations de h sur ]-\infty;+\infty[.
De -\infty à 0, la courbe descend donc h est bien décroissante.
De 0 à +\infty, la courbe monte donc h est bien croissante.
0<a<b
Comme h est croissante sur [0;+\infty[, les nombres et les images varient dans le même sens.
h(0)<h(a)<h(b)
Or h(0)=1, donc :
1<h(a)<h(b).
Et donc h(a)-h(b)<0.
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche f(x) en haut à gauche du clavier de la calculatrice.
En général le mode fonction est activé par défaut.
Si ce n’est pas le cas, taper sur la touche mode et sélectionner FONCTION sur la 5ème ligne. Puis quitter avec 2nde mode
On programme la fonction en complétant la ligne Y1= . Pour saisir x taper au clavier sur la touche X,T,O,n.
Pour afficher la courbe, taper sur la touche graphe. On peut modifier les paramètres de l’affichage de la fenêtre, pour cela faire fenêtre et effectuer les modifications souhaitées, par exemple Xmin=-8, Xmax=10, Ymin=-1 et Ymax=10.
Pour tracer la tangente en zéro, appuyer sur 2nde et sur prgm. Sélectionner 5: Tangente( et faire entrer
On cherche la tangente en zéro, taper 0 puis faire entrer .
L’équation de la tangente s’affiche en bas de l’écran.
On veut déterminer la tangente T au point d’abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbf{R} par f(x)=e^x.
1.Je calcule f(0) en remplaçant tous les x par 0 dans
f(x)=e^x
f(0)=e^0
\hspace{0.8cm}=1
2.a.Je calcule f'(x)
f(x)=e^x est une fonction de référence
f'(x)=(e^x)'\\f'(x)=e^x
2.b.Puis on calcule f'(0) en remplaçant tous les x par 0 dans f'(x)=e^x
f'(0)=e^0
\hspace{0.8cm}=1
3.Je remplace a,f(a),f'(a) par 0,1,1 dans y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=1(x-0)+1
y=x+1
L’équation de la tangente T est y=x+1.
On s’intéresse à la suite u_n=exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1.
On conjecture la limite en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.
Pour étudier le comportement de la suite (u_n) lorsque les valeurs de n deviennent très grandes, il faut descendre dans le tableau . Il semble que les valeurs de (u_n) se rapprochent de 0.
Le nuage de points de coordonnées (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) se rapprochent de 0.
Il semble que quand n se rapproche de +\infty, les (u_n) se rapprochent de 0.
u_n=exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1
On veut calculer \lim_{n\to{+\infty}}u_n
On répond à la question suivante : u_n est-elle une somme, un produit ou un quotient ?
C’est la somme de trois termes :
exp(\frac{1}{n}) , -\frac{1}{n} et -1.
\lim_{n\to{+\infty}}\frac{1}{n}=0
Donc \lim_{n\to{+\infty}}exp(\frac{1}{n})=1
\lim_{n\to{+\infty}}-\frac{1}{n}=0
\lim_{n\to{+\infty}}-1=-1 car il ne dépend pas de n
On applique ensuite le théorème du cours sur la somme , colonne 3 puis colonne 3.
Le terme général est une somme
| \lim_{n\to{+\infty}}u_n= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim_{n\to{+\infty}}v_n= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim_{n\to{+\infty}}u_n+v_n= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
Le terme général est un produit
| \lim_{n\to{+\infty}} u_n= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim_{n\to{+\infty}} v_n= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim_{n\to{+\infty}} u_nv_n= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
Le terme général est quotient
| \lim_{n\to{+\infty}}u_n= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim_{n\to{+\infty}}v_n= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim_{n\to{+\infty}}\frac{u_n}{v_n}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
D’après le théorème sur la somme : \lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1=0
Donc \lim_{n\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}u_n=0
On veut démontrer que, pour tout entier naturel non nul n,
u_{n+1}-u_n=h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n}).
où h est la fonction définie à la partie A.
On peut montrer que u_{n+1}-u_n et h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n}) sont égales à une même troisième quantité.
u_{n+1}-u_n\\=(exp(\frac{1}{n+1})-\frac{1}{n+1}-1)-(exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1)\\=exp(\frac{1}{n+1})-\frac{1}{n+1}-1-exp(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}+1\\=exp(\frac{1}{n+1})-\frac{1}{n+1}-exp(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}
h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n})\\=(exp(\frac{1}{n+1})-\frac{1}{n+1})-(exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n})\\=exp(\frac{1}{n+1})-\frac{1}{n+1}-exp(\frac{1}{n})+\frac{1}{n}
Comme u_{n+1}-u_n et h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n}) sont égales à une même troisième quantité.
Alors
pour tout entier naturel non nul n,
u_{n+1}-u_n=h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n}).
On veut déduire de ce qui précède, le sens de variation de la suite (u_n).
On va étudier le signe de u_{n+1}-u_n.
On a vu que u_{n+1}-u_n=h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n}), on va donc étudier le signe de h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n}).
On a montré précédemment que :
si a et b sont deux réels tels que 0<a<b alors h(a)-h(b)<0.
On remplace a par \frac{1}{n+1} et b par \frac{1}{n}.
Comme 0<\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} alors h(\frac{1}{n+1})-h(\frac{1}{n})<0
Et donc u_{n+1}-u_n<0.
Ainsi la suite (u_n) est décroissante.
On s’intéresse à la suite u_n=exp(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}-1.
On conjecture les variations en utilisant la table de valeurs et le graphique de la TI 83.
Lorsque les valeurs de n grandissent, les valeurs de u_n diminuent.
Le nuage de points de coordonnées (n;u_n) ci-dessus permet de dire que valeurs de (u_n) diminuent.
Il semble que la suite (u_n) soit décroissante.
A partir du rang 8, u_n<10^{-2}.
Donc la plus petite valeur de l’entier naturel npour laquelle l’écart entre T et Cf semble être
inférieur à 10^{-2} est 8.