Exercice n°5 ( Asie 7 juin 2021 )
Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH de côté 8 et de centre I.
P est défini par \overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} , Q est défini par \overrightarrow{AQ}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE} et R est défini par \overrightarrow{FR}=\frac{1}{4}\overrightarrow{FG}.
L’espace est rapporté au repère orthonormé (A;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}) où \overrightarrow{i}=\frac{1}{8}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{j}=\frac{1}{8}\overrightarrow{AD} et \overrightarrow{k}=\frac{1}{8}\overrightarrow{AE}
Partie I
1. Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont (8;2;8).
Lire graphiquement les coordonnées des points P et Q.
Lors de la construction du point R, ses coordonnées sont apparues dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran R=(8,2,8).Idem pour les points P et Q.
2. Montrer que le vecteur \overrightarrow{n}(1;-5,1) est un vecteur normal au plan (PQR).
3. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (PQR) est x-5y+z-6=0.
Pour conjecturer une équation cartésienne du plan (PQR) à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le huitième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Plan passant par 3 points dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point P puis sur le point Q et sur le point R . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une équation cartésienne du plan (PQR) :x-5y+z=6.
Partie II
On note L le projeté orthogonal du point I sur le plan (PQR).
1. Justifier que les coordonnées du point I sont (4;4;4).
Lors de la construction du point I, ses coordonnées sont apparues dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran I=(4,4,4).
2. Donner une représentation paramétrique de la droite d perpendiculaire au plan (PQR)
et passant par I.
Pour conjecturer une représentation paramétrique de la droite d à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Orthogonale dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point I puis sur le plan (PQR) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une représentation paramétrique de la droite d : X=(4,4,4)+\lambda (12,-60,12).
3. Montrer que les coordonnées du point L sont (\frac{14}{3};\frac{2}{3};\frac{14}{3})
Pour conjecturer les coordonnées du point L à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Intersection dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur la droite d puis sur le plan (PQR) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît J=intersection(f,p) : (4.67,0.67,4.67).
Remarque : on peut renommer J en L.
4. Calculer la distance du point I au plan (PQR).
Pour conjecturer la distance IL à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le onzième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point 0 puis sur le point H. Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît la distance 3.46.
Pour déterminer les coordonnées d’un point, il faut :
Partir de l’origine A pour se rendre au point en se déplaçant d’abord suivant la direction du premier vecteur du repère ( ici \overrightarrow{i}) puis suivant la direction du deuxième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{j}) et enfin suivant la direction du troisième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{k}).
On part de A pour se rendre en P, on se déplace de 6\overrightarrow{i} puis de 0\overrightarrow{j} et de 0\overrightarrow{k}.
Donc P(6;0;0) dans le repère (A; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}).
On part de A pour se rendre en Q, on se déplace de 0\overrightarrow{i} puis de 0\overrightarrow{j} et de 6\overrightarrow{k}.
Donc Q(0;0;6) dans le repère (A; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}; \overrightarrow{k}).
Pour montrer que le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan (PQR), on va montrer qu’il est orthogonal aux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{PQ} et \overrightarrow{PR}.
On commence par calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{PQ} et \overrightarrow{PR}.
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{PQ}.
Je repère les coordonnées des points P et Q.
\hspace{0.2cm}x_{P}\hspace{0.05cm}y_{P}\hspace{0.05cm}z_{P}\hspace{2.1cm}x_{Q}\hspace{0.05cm}y_{Q}\hspace{0.05cm}z_{Q}
P(6;0;0)\hspace{2cm}Q(0;0;6)
J’écris la formule :
\overrightarrow{PQ}(x_{Q}-x_{P};y_{Q}-y_{P};z_{Q}-z_{P})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{PQ}(0-6;0-0;6-0)
\overrightarrow{PQ}(-6;0;6)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{PR}.
Je repère les coordonnées des points P et R.
\hspace{0.2cm}x_{P}\hspace{0.05cm}y_{P}\hspace{0.05cm}z_{P}\hspace{2.1cm}x_{R}\hspace{0.05cm}y_{R}\hspace{0.05cm}z_{R}
P(6;0;0)\hspace{2cm}R(8;2;8)
J’écris la formule :
\overrightarrow{PR}(x_{R}-x_{P};y_{R}-y_{P};z_{R}-z_{P})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{PR}(8-6;2-0;8-0)
\overrightarrow{PR}(2;2;8)
Ensuite on calcule les produit scalaires \overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ} et \overrightarrow{n}.\overrightarrow{PR}.
On calcule le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}.
\overrightarrow{n}(1;-5;1).
\overrightarrow{PQ}(-6;0;6).
Pour calculer \overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}, on remplace :
x par 1 , y par (-5) , z par 1.
x' par (-6) , y' par 0 , z' par 6, dans :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}=1\times (-6)+(-5)\times 0+1\times 6\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}=-6+ 0+ 6\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}=0
Donc les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{PQ} sont orthogonaux.
On calcule le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{PR}.
\overrightarrow{n}(1;-5;1).
\overrightarrow{PR}(2;2;8).
Pour calculer \overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}, on remplace :
x par 1 , y par (-5) , z par 1.
x' par 2 , y' par 2 , z' par 8, dans :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PR}=1\times 2+(-5)\times 2+1\times 8\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PR}=2-10+8\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{PR}=0
Donc les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{PR} sont orthogonaux.
Le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal à \overrightarrow{PQ} et \overrightarrow{PR}, donc il est normal au plan (PQR)
On veut déterminer une équation cartésienne du plan (PQR) de vecteur normal \overrightarrow{n}.
On utilise le résultat du cours suivant : Un plan P de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 où d est un nombre réel.
Comme \overrightarrow{n} a pour coordonnées (1;-5;1).
On remplace a par 1 et b par (-5) et c par 1 dans l’équation ax+by+cz+d=0.
Une équation cartésienne de (PQR) est de la forme :
1\times x+(-5)\times y+1\times z+d=0
x-5y+z+d=0
Pour déterminer d, il faut remplacer x, y et z par les coordonnées d’un point du plan et résoudre l’équation dont d est l’inconnue.
(PQR) passe par P(6;0;0), on remplace x par 6, y par 0 et z par 0 dans x-5y+z+d=0.
6-5\times 0+ 0+d=0
6+d=0
d=-6
Une équation cartésienne du plan (PQR) est x-5y+z-6=0
I est le centre du cube donc c’est le milieu de [AG].
A(0;0;0) et G(8;8;8).
On remplace x_A, y_A et z_A par 0, x_G par 8, y_G par 8 et z_G par 8 dans
x_I=\frac{x_A+x_G}{2}\hspace{2cm}y_I=\frac{y_A+y_G}{2}\hspace{2cm}z_I=\frac{z_A+z_G}{2}
x_I=\frac{0+8}{2}\hspace{2.4cm}y_I=\frac{0+8}{2}\hspace{2.4cm}z_I=\frac{0+8}{2}\\x_I=4\hspace{2.8cm}y_I=4\hspace{2.8cm}z_I=4
Donc I(4;4;4).
On veut déterminer une représentation paramétrique de la droite d perpendiculaire au plan (PQR)
et passant par I.
Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite d, il faut un vecteur directeur et un point de cette droite.
Comme d est orthogonale au plan (PQR), alors le vecteur normal au plan \overrightarrow{n}(1;-5;1) est un vecteur directeur de la droite d.
De plus la droite d passe par le point I(4;4;4).
On remplace x_I par 4, y_I par 4, z_I par 4 ,a par 1, b par (-5) et c par 1 dans la représentation paramétrique :
On a déterminé une représentation paramétrique de la droite d.
L est le projeté orthogonal du point I sur le plan (PQR).
L\in d donc ses coordonnées vérifient le système
L\in (PQR) donc ses coordonnées vérifient l’équation x-5y+z-6=0
Comme L est le point d’intersection de la droite d et du plan (PQR). On résout donc le système suivant
On remplace x,y,z en fonction de t dans la quatrième équation que l’on résout.
(4+t)-5(4-5t)+(4+t)-6=0\\4+t-20+25t+4+t-6=0\\27t-18=0\\27t=18\\t=\frac{18}{27}\\t=\frac{2}{3}
Pour trouver les valeurs de x,y,z, on remplace t par \frac{2}{3} dans les 3 premières équations.
x=4+\frac{2}{3}\\x=4\times \frac{3}{3}+\frac{2}{3}\\x= \frac{12}{3}+\frac{2}{3}\\x= \frac{14}{3}
y=4-5\times \frac{2}{3}\\y=4-\frac{10}{3}\\y=4\times \frac{3}{3}-\frac{10}{3}\\y= \frac{12}{3}-\frac{10}{3}\\y= \frac{2}{3}
z=4+\frac{2}{3}\\z=4\times \frac{3}{3}+\frac{2}{3}\\z= \frac{12}{3}+\frac{2}{3}\\z= \frac{14}{3}
Donc L a pour coordonnées (\frac{14}{3};\frac{2}{3};\frac{14}{3}).
Puisque L est le projeté orthogonal de I sur le plan (PQR) , la distance de I à ce plan
est la distance IL.
Je repère les coordonnées des points I et L.
\hspace{0.4cm}x_{I}\hspace{0.05cm}y_{I}\hspace{0.05cm}z_{I}\hspace{2.4cm}x_{L}\hspace{0.05cm}y_{L}\hspace{0.05cm}z_{L}
I(4;-4;4)\hspace{2cm}L(\frac{14}{3};\frac{2}{3};\frac{14}{3})
J’écris la formule :
IL=\sqrt{(x_{L}-x_{I})^2+(y_{L}-y_{I})^2;(z_{L}-z_{I})^2}
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
IL=\sqrt{(\frac{14}{3}-4)^2+(\frac{2}{3}-4)^2+(\frac{14}{3}-4)^2}\\IL=\sqrt{(\frac{14}{3}-\frac{12}{3})^2+(\frac{2}{3}-\frac{12}{3})^2+(\frac{14}{3}-\frac{12}{3})^2}\\IL=\sqrt{(\frac{2}{3})^2+(-\frac{10}{3})^2+(\frac{2}{3})^2}\\IL=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{100}{9}+\frac{4}{9}}\\IL=\sqrt{\frac{108}{9}}\\IL=\sqrt{12}\\IL=2\sqrt{3}
Donc la distance de I au plan (PQR) vaut 2\sqrt{3}