Exercice n°2 ( 15 mars 2021 sujet 2 )
Dans l’espace rapporté au repère orthonormé (O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}), on considère les pointsA(2;0;0),B(0;3;0) et C(0;0;1).
L’objectif de cet exercice est de calculer l’aire du triangle ABC.
Pour conjecturer l’aire du triangle ABC à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le cinquième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Polygone dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point A puis sur le point B et sur le point C . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît l’aire du triangle ABC : 3.5 .
1. a. Montrer que le vecteur \overrightarrow{n}(3;2;6) est normal au plan (ABC).
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 3x+2y+6z-6=0.
Pour conjecturer une équation cartésienne du plan (ABC) à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le huitième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Plan passant par 3 points dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point A puis sur le point B et sur le point C . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une équation cartésienne du plan (ABC) :-3x-2y-6z=-6 .
2. On note d la droite passant par 0 et orthogonale au plan (ABC).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d.
Pour conjecturer une représentation paramétrique de la droite d à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Orthogonale dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point O puis sur le plan (ABC) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une représentation paramétrique de la droite d : X=(0,0,0)+\lambda (-3,-2,-6).
b. Montrer que la droite d coupe le plan (ABC) au point H de coordonnées (\frac{18}{49}; \frac{12}{49};\frac{36}{49} ).
Pour conjecturer les coordonnées du point H à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Intersection dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur la droite d puis sur le plan (ABC) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît E=intersection(f,p) : (0.37,0.24,0.73).
Remarque : on peut renommer E en H.
c. Calculer la distance OH.
Pour conjecturer la distance OH à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le onzième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Distance ou longueur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point 0 puis sur le point H. Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît la distance 0.86.
3. On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule
V=\frac{1}{3}\times B\times h
où B est l’aire d’une base et h la hauteur associée à cette base.
En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide OABC, déterminer l’aire
du triangle ABC.
Pour conjecturer le volume de la pyramide OABC à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Saisir dans la colonne Algèbre Pyramide(O,A,B,C), apparaît alors en dessous le nombre 1 qui est son volume.
Pour montrer que le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan (ABC), on va montrer qu’il est orthogonal aux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
On commence par calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.
Je repère les coordonnées des points A et B.
\hspace{0.2cm}x_{A}\hspace{0.05cm}y_{A}\hspace{0.05cm}z_{A}\hspace{2.1cm}x_{B}\hspace{0.05cm}y_{B}\hspace{0.05cm}z_{B}
A(2;0;0)\hspace{2cm}B(0;3;0)
J’écris la formule :
\overrightarrow{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AB}(0-2;3-0;0-0)
\overrightarrow{AB}(-2;3;0)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AC}.
Je repère les coordonnées des points A et C.
\hspace{0.2cm}x_{A}\hspace{0.05cm}y_{A}\hspace{0.05cm}z_{A}\hspace{2.1cm}x_{C}\hspace{0.05cm}y_{C}\hspace{0.05cm}z_{C}
A(2;0;0)\hspace{2cm}C(0;0;1)
J’écris la formule :
\overrightarrow{AC}(x_{C}-x_{A};y_{C}-y_{A};z_{C}-z_{A})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{AC}(0-2;0-0;1-0)
\overrightarrow{AC}(-2;0;1)
Ensuite on calcule les produit scalaires \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}.
On calcule le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}.
\overrightarrow{n}(3;2;6).
\overrightarrow{AB}(-2;3;0).
Pour calculer \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}, on remplace :
x par 3 , y par 2 , z par 6.
x' par (-2) , y' par 3 , z' par 0, dans :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=3\times (-2)+2\times 3+6\times 0\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=-6+6+0\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0
Donc les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{AB} sont orthogonaux.
On calcule le produit scalaire \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{n}(3;2;6).
\overrightarrow{AC}(-2;0;1).
Pour calculer \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}, on remplace :
x par 3 , y par 2 , z par 6.
x' par (-2) , y' par 0 , z' par 1, dans :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=3\times (-2)+2\times 0+6\times 1\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=-6+0+6\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=0
Donc les vecteurs \overrightarrow{n} et \overrightarrow{AC} sont orthogonaux.
Le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal à \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, donc il est normal au plan (ABC)
On veut déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) de vecteur normal \overrightarrow{n}.
On utilise le résultat du cours suivant : Un plan P de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 où d est un nombre réel.
Comme \overrightarrow{n} a pour coordonnées (3;2;6).
On remplace a par 3 et b par 2 et c par 6 dans l’équation ax+by+cz+d=0.
Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme :
3x+2y+6z+d=0
Pour déterminer d, il faut remplacer x, y et z par les coordonnées d’un point du plan et résoudre l’équation dont d est l’inconnue.
(ABC) passe par A(2;0;0), on remplace x par 2, y par 0 et z par 0 dans 3x+2y+6z+d=0.
3\times 2+2\times 0+6\times 0+d=0
6+d=0
d=-6
Une équation cartésienne du plan (ABC) est 3x+2y+6z-6=0
d est la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite d, il faut un vecteur directeur et un point de cette droite.
Comme d est orthogonale au plan (ABC) , alors le vecteur normal au plan \overrightarrow{n}(3;2;6) est un vecteur directeur de la droite d.
De plus la droite d passe par le point O(0;0;0).
On remplace x_O par 0, y_O par 0, z_O par 0, a par 3, b par 2 et c par 6 dans la représentation paramétrique :
On a déterminé une représentation paramétrique de la droite d.
Remarque : la représentation donnée par géogébra est exacte aussi car les vecteurs de coordonnées (3;2;6) et (-3;-2;-6) sont colinéaires.
H est le point d’intersection de la droite d et du plan (ABC).
H\in d donc ses coordonnées vérifient le système
H\in (ABC) donc ses coordonnées vérifient l’équation 3x+2y+6z-6=0
Comme H est le point d’intersection de la droite d et du plan (ABC). On résout donc le système suivant
On remplace x,y,z en fonction de t dans la quatrième équation que l’on résout.
3(3t)+2(2t)+6(6t)-6=0\\9t+4t+36t-6=0\\49t-6=0\\49t=6\\t=\frac{6}{49}
Pour trouver les valeurs de x,y,z, on remplace t par \frac{6}{49} dans les 3 premières équations.
x=3\times\frac{6}{49}\\x=\frac{18}{49}
y=2\times\frac{6}{49}\\x=\frac{12}{49}
z=6\times\frac{6}{49}\\x=\frac{36}{49}
Donc H a pour coordonnées (\frac{18}{49};\frac{12}{49};\frac{36}{49}).
On calcule la distance OH.
O(0;0;0)\\H(\frac{18}{49};\frac{12}{49};\frac{36}{49})
Pour calculer la distance OH, on remplace x_H par \frac{18}{49} , y_H par \frac{12}{49} , z_H par \frac{36}{49} , x_O par 0 , y_O par 0 et z_O par 0dans la formule
OH=\sqrt{(x_H-x_O)^2+(y_H-y_O)^2+(z_H-z_O)^2}
OH=\sqrt{(\frac{18}{49}-0)^2+(\frac{12}{49}-0)^2+(\frac{36}{49}-0)^2}
On effectue ce qu’il y a entre parenthèses
OH=\sqrt{(\frac{18}{49})^2+(\frac{12}{49})^2+(\frac{36}{49})^2}
On effectue les puissances
OH=\sqrt{\frac{324}{2401}+\frac{144}{2041}+\frac{1296}{2041}}
On ajoute
OH=\sqrt{\frac{1764}{2401}}\\OH=\frac{\sqrt{1764}}{\sqrt{2401}}\\OH=\frac{42}{49}
On simplifie par 7.
OH=\frac{6}{7}
Le volume de la pyramide FBGI ne change pas si on change la base.
On choisit pour base le triangle OAB. La hauteur correspondante sera [OC].
V=\frac{aire(OAB)\times OC}{3}
V=\frac{(\frac{OA\times OB}{2})\times 1}{3}
V=\frac{(\frac{2\times 3}{2})\times 1}{3}
V=\frac{3\times 1}{3}
V=1
On choisit pour base le triangle ABC. La hauteur correspondante sera [OH].
V=\frac{aire(ABC)\times OH}{3}
V=\frac{aire(ABC)\times \frac{6}{7}}{3}
V=aire(ABC)\times \frac{6}{7}\times \frac{1}{3}
V=aire(ABC)\times \frac{2}{7}
On en déduit que aire(ABC)\times \frac{2}{7}=1
Donc :
aire(ABC)=\frac{1}{\frac{2}{7}}
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :
aire(ABC)=1\times {\frac{7}{2}}
aire(ABC)=\frac{7}{2}