Exercice n°1 ( sujet 0 session 2021 )
On considère le cube ABCDEFGH de côté 1, le milieu I de [EF] et et J le symétrique de E par rapport à F.
Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormé (A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}).
1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points I et J.
Pour afficher les coordonnées du point J, par exemple, cliquer droit sur le point J de la fenêtre active Géogébra ci-dessus. Apparaît alors Point J(2;0;1).
b. En déduire les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{DJ} , \overrightarrow{BI} et \overrightarrow{BG}.
Pour conjecturer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{DJ}, par exemple, à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le troisième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Vecteur dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point D puis sur le point J. Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaissent les coordonnées du vecteur \overrightarrow{DJ}.
c. Montrer que \overrightarrow{DJ} est un vecteur normal au plan (BGI).
d. Déterminer une équation cartésienne du plan (BGI).
Pour conjecturer une équation cartésienne du plan (BGI) à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le huitième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Plan passant par 3 points dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point B puis sur le point G et sur le point I . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît l’équation cartésienne du plan (BGI) :x-0.5y+0.5z=1 .
2. On note d la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d.
Pour conjecturer une représentation paramétrique de la droite d à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le quatrième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Orthogonale dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point F puis sur le plan (BGI) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît une représentation paramétrique de la droite d : X=(1,0,1)+\lambda (1,-0.5,0.5).
b. L est le point d’intersection de la droite d et du plan (BGI). Déterminer les coordonnées de L par le calcul.
Pour conjecturer les coordonnées du point L à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le deuxième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Intersection dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur la droite d puis sur le plan (BGI) . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît K=intersection(f,p) : (0.67,0.17,0.83).
Remarque : on peut renommer K en L.
3. On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule
V=\frac{1}{3}\times B\times h
où B est l’aire d’une base et h la hauteur associée à cette base.
a. Calculer le volume de la pyramide FBGI.
Pour conjecturer le volume de la pyramide FBGI à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Saisir dans la colonne Algèbre Pyramide(I,F,G,B), apparaît alors en dessous le nombre 0.08 qui est son volume.
b. En déduire l’aire du triangle BGI.
Pour conjecturer l’aire du triangle BGI à l’aide de la fenêtre active géogébra ci-dessus. Cliquer sur le cinquième onglet en haut à partir de la gauche et sélectionner Polygone dans le menu déroulant. Dans le repère cliquer sur le point B puis sur le point G et sur le point I . Dans la colonne Algèbre située à gauche, apparaît l’aire du triangle BGI : 0.61 .
Pour déterminer les coordonnées du point I, il faut :
Partir de l’origine A pour se rendre au point I en se déplaçant d’abord suivant la direction du premier vecteur du repère ( ici \overrightarrow{AB}) puis suivant la direction du deuxième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{AD}) et enfin suivant la direction du troisième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{AE}).
On part de A, on se déplace de \frac{1}{2}\times\overrightarrow{AB} puis de 0\times\overrightarrow{AD} et de 1\times\overrightarrow{AE}.
Donc I(\frac{1}{2};0;1) dans le repère (A; \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AE}).
Pour déterminer les coordonnées du point J, il faut :
Partir de l’origine A pour se rendre au point J en se déplaçant d’abord suivant la direction du premier vecteur du repère ( ici \overrightarrow{AB}) puis suivant la direction du deuxième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{AD}) et enfin suivant la direction du troisième vecteur du repère ( ici \overrightarrow{AE}).
On part de A, on se déplace de 2\times\overrightarrow{AB} puis de 0\times\overrightarrow{AD} et de 1\times\overrightarrow{AE}.
Donc J(2;0;1) dans le repère (A; \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AE}).
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{DJ}.
Je repère les coordonnées des points D et J.
\hspace{0.2cm}x_{D}\hspace{0.05cm}y_{D}\hspace{0.05cm}z_{D}\hspace{2.1cm}x_{J}\hspace{0.05cm}y_{J}\hspace{0.05cm}z_{J}
D(0;1;0)\hspace{2cm}J(2;0;1)
J’écris la formule :
\overrightarrow{DJ}(x_{J}-x_{D};y_{I}-y_{D};z_{I}-z_{D})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{DJ}(2-0;0-1;1-0)
\overrightarrow{DJ}(2;-1;1)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BI}.
Je repère les coordonnées des points B et I.
\hspace{0.2cm}x_{B}\hspace{0.05cm}y_{B}\hspace{0.05cm}z_{B}\hspace{2.1cm}x_{I}\hspace{0.05cm}y_{I}\hspace{0.05cm}z_{I}
B(1;0;0)\hspace{2cm}I(\frac{1}{2};0;1)
J’écris la formule :
\overrightarrow{BI}(x_{I}-x_{B};y_{I}-y_{B};z_{I}-z_{B})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{BI}(\frac{1}{2}-1;0-0;1-0)
\overrightarrow{BI}(-\frac{1}{2};0;1)
On calcule les coordonnées du vecteur \overrightarrow{BG}.
Je repère les coordonnées des points B et G.
\hspace{0.2cm}x_{B}\hspace{0.05cm}y_{B}\hspace{0.05cm}z_{B}\hspace{2.1cm}x_{G}\hspace{0.05cm}y_{G}\hspace{0.05cm}z_{G}
B(1;0;0)\hspace{2cm}G(1;1;1)
J’écris la formule :
\overrightarrow{BG}(x_{G}-x_{B};y_{G}-y_{B};z_{G}-z_{B})
On prend soin de remplacer les lettres par les bons nombres. ATTENTION : quand on remplace une lettre par un nombre négatif, on le met entre parenthèses.
\overrightarrow{BG}(1-1;1-0;1-0)
\overrightarrow{BG}(0;1;1)
On remarque que \overrightarrow{BI}(-\frac{1}{2};0;1)et \overrightarrow{BG}(0;1;1) ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
On calcule le produit scalaire \overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BI}.
\overrightarrow{DJ}(2;-1;1).
\overrightarrow{BI}(-\frac{1}{2};0;1).
Pour calculer \overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BI}, on remplace :
x par 2 , y par (-1) , z par 1.
x' par (-\frac{1}{2}) , y' par 0 , z' par 1, dans :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BI}=2\times (-\frac{1}{2})+(-1)\times 0+1\times 1\\\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BI}=-1+0+1\\\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BI}=0
Donc les vecteurs \overrightarrow{DJ} et \overrightarrow{BI} sont orthogonaux.
On calcule le produit scalaire \overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BG}.
\overrightarrow{DJ}(2;-1;1).
\overrightarrow{BG}(0;1;1).
Pour calculer \overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BG}, on remplace :
x par 2 , y par (-1) , z par 1.
x' par 0 , y' par 1 , z' par 1, dans:
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BG}=2\times 0+(-1)\times 1+1\times 1\\\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BG}=0-1+1\\\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BG}=0
Donc les vecteurs \overrightarrow{DJ} et \overrightarrow{BG} sont orthogonaux.
Le vecteur \overrightarrow{DJ} est orthogonal à \overrightarrow{BI} et \overrightarrow{BG}, donc il est normal au plan (BGI)
On veut déterminer une équation cartésienne du plan (BGI) de vecteur normal \overrightarrow{DJ}.
On utilise le résultat du cours suivant : Un plan P de vecteur normal \overrightarrow{n}(a;b;c) a une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 où d est un nombre réel.
Comme \overrightarrow{DJ} a pour coordonnées (2;-1;1).
On remplace a par 2 et b par -1 et c par 1 dans l’équation ax+by+cz+d=0.
Une équation cartésienne de (BGI) est de la forme :
2x-y+z+d=0
Pour déterminer d, il faut remplacer x, y et z par les coordonnées d’un point du plan et résoudre l’équation dont d est l’inconnue.
(BGI) passe par B(1;0;0), on remplace x par 1, y par 0 et z par 0 dans 2x-y+z+d=0.
2\times 1-0+0+d=0
2+d=0
d=-2
Une équation cartésienne du plan (BGI) est 2x-y+z-2=0
d est la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite d, il faut un vecteur directeur et un point de cette droite.
Comme d est orthogonale au plan (BGI), alors le vecteur normal au plan \overrightarrow{n}(2;-1;1) est un vecteur directeur de la droite d.
De plus la droite d passe par le point F(1;0;1).
On remplace x_F par 1, y_F par 0, z_F par 1 ,a par 2, b par -1 et c par 1 dans la représentation paramétrique :
On a déterminé une représentation paramétrique de la droite d.
Remarque : la représentation donnée par géogébra est exacte aussi car les vecteurs de coordonnées (2;-1;1) et (1;-0.5;0.5) sont colinéaires.
L est le point d’intersection de la droite d et du plan (BGI).
L\in d donc ses coordonnées vérifient le système
L\in (BGI) donc ses coordonnées vérifient l’équation 2x-y+z-2=0
Comme L est le point d’intersection de la droite d et du plan (BGI). On résout donc le système suivant
On remplace x,y,z en fonction de t dans la quatrième équation que l’on résout.
2(1+2t)-(-t)+(1+t)-2=0\\2+4t+t+1+t-2=0\\6t+1=0\\6t=-1\\t=-\frac{1}{6}
Pour trouver les valeurs de x,y,z, on remplace t par -\frac{1}{6} dans les 3 premières équations.
x=1+2\times(-\frac{1}{6})\\x=1-\frac{1}{3}\\x=\frac{2}{3}
y=-(-\frac{1}{6})\\y=\frac{1}{6}
z=1+(-\frac{1}{6})\\x=1-\frac{1}{6}\\x=\frac{5}{6}
Donc L a pour coordonnées (\frac{2}{3};\frac{1}{6};\frac{5}{6}).
Pour déterminer le volume de la pyramide FBGI, il faut choisir une base. Ici on choisit le triangle rectangle isocèle FBG. La hauteur correspondante sera [IF].
L’aire du triangle FBG est la moitié du carré FBCG de côté 1, elle vaut \frac{1}{2}.
IF=\frac{EF}{2}=\frac{1}{2}
Pour calculer le volume de la pyramide, on remplace B par \frac{1}{2} et h par \frac{1}{2} dans la formule B par V=\frac{B\times h}{3}
V=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}{3}
V=\frac{\frac{1}{4}}{3}
V=\frac{1}{12}
Le volume de la pyramide FBGI ne change pas si on change la base. Ici on choisit le triangle BGI. La hauteur correspondante sera [FL].
V=\frac{aire(BGI)\times FL}{3}
\frac{aire(BGI)\times FL}{3}=\frac{1}{12}
On calcule la distance FL.
F(1;0;1)\\L(\frac{2}{3};\frac{1}{6};\frac{5}{6})
Pour calculer la distance FL de la pyramide, on remplace x_L par \frac{2}{3} , y_L par \frac{1}{6} , z_L par \frac{5}{6} , x_F par 1 , y_F par 0 et z_F par 1dans la formule
FL=\sqrt{(x_L-x_F)^2+(y_L-y_F)^2+(z_L-z_F)^2}
FL=\sqrt{(\frac{2}{3}-1)^2+(\frac{1}{6}-0)^2+(\frac{5}{6}-1)^2}
On effectue ce qu’il y a entre parenthèses
FL=\sqrt{(\frac{2}{3}-\frac{3}{3})^2+(\frac{1}{6})^2+(\frac{5}{6}-\frac{6}{6})^2}\\FL=\sqrt{(-\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{6})^2+(-\frac{1}{6})^2}
On effectue les puissances
FL=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}}
On ajoute en mettant au même dénominateur
FL=\sqrt{\frac{1}{9}\times \frac{4}{4}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}}\\FL=\sqrt{\frac{4}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{36}}\\FL=\sqrt{\frac{6}{36}}\\FL=\sqrt{\frac{1}{6}}
Pour déterminer l’aire de BGI , on remplace FL par \sqrt{\frac{1}{6}} dans \frac{aire(BGI)\times FL}{3}=\frac{1}{12}
\frac{aire(BGI)\times \sqrt{\frac{1}{6}}}{3}=\frac{1}{12}\\aire(BGI)\times \sqrt{\frac{1}{6}}=3\times \frac{1}{12}\\aire(BGI)\times \sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{1}{4}\\aire(BGI)=\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{6}}}\\aire(BGI)=\frac{1}{4}\times{\sqrt{6}}\\aire(BGI)=\frac{\sqrt{6}}{4}