Sommaire
Propriété
Soient a, b et c trois entiers relatifs non nuls.
L’équation diophantienne ax+by=c où les inconnues x et y sont des entiers relatifs admet des solutions si et seulement si c est un multiple du PGCD(a;b).
Exemples
- Comme PGCD(14;21)=7, l’équation 14x+21y=28 admet au moins un couple d’entiers solutions car 28 est un multiple de 7.
- Comme PGCD(3;5)=1, l’équation 3x+5y=2 admet au moins un couple d’entiers solutions car 2 est un multiple de 1.
- Comme PGCD(4;6)=2, l’équation 4x+6y=1 n’admet pas de couple d’entiers solutions car 1 n’est pas un multiple de 2.
Exercice n°1
Parmi les équations diophantiennes suivantes, quelles sont celles qui admettent au moins une solution.
On utilisera la calculatrice pour déterminer le PGCD dans chaque cas.
126x+98y=28
26x+39y=24
544x-628y=4
34x+161y=-12
Exercice n°2
Déterminer une solution particulière pour chacune des équations diophantiennes suivantes ( on suppose qu’elles admettent au moins un couple solution ).
24x+17y=1
11x-3y=1
5x+13y=3
19x-2y=5
Exemple n°1 : résoudre une équation diophantienne
On considère l’équation suivante 4x+3y=2.
1.Démontrer que cette équation admet des solutions.
Comme PGCD(4;3)=1, l’équation 4x+3y=2 admet au moins un couple d’entiers solutions car 2 est un multiple de 1.
2. Déterminer une solution particulière de l’équation.
La méthode à utiliser n’est pas précisée dans la question donc on peut utiliser la méthode de notre choix, par exemple : le calcul mental.
Le couple (2;-2) est solution car 4\times 2+3\times (-2)=8-6=2.
3. Déterminer l’ensemble des couples solutions de cette équation.
On soustrait membre à membre ces deux égalités :
4x+3y=2\\4\times 2+3\times (-2)=2\\4x-4\times 2+3y-3\times (-2)=2-2
On réduit
4x-4\times 2+3y-3\times (-2)=0
On factorise
4(x-2)+3(y+2)=0\\4(x-2)=-3(y+2)\\4 et 3 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss, 4 divise y+2.
Donc il existe un entier relatif k tel que y+2=4k.
Donc y=4k-2
On remplace y+2 par 4k dans 4(x-2)=-3(y+2).
4(x-2)=-3\times 4k\\x-2=-3k\\x=-3k+2
Les couples solutions sont de la forme (-3k+2;4k-2) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 4x+3y=2.
4(-3k+2)+3(4k-2)=-12k+8+12k-6=2
Exemple n°2 : résoudre une équation diophantienne
On considère l’équation suivante 15x+8y=5.
1.Démontrer que cette équation admet des solutions.
Comme PGCD(15;8)=1, l’équation 15x+8y=5 admet au moins un couple d’entiers solutions car 5 est un multiple de 1.
2.a. Déterminer une solution particulière de l’équation 15x+8y=1
La méthode à utiliser n’est pas précisée dans la question donc on peut utiliser la méthode de notre choix, par exemple : le calcul mental.
Le couple (-1;2) est solution car 15\times (-1)+8\times 2=-15+16=1.
2.b. En déduire une solution particulière de 15x+8y=5.
Dans la question précédente, on a établi que :
15\times (-1)+8\times 2=1
On multiplie cette égalité par 5 de chaque côté.
5 \times (15\times (-1)+8\times 2)=5 \times 1\\15\times (-5)+8\times 10=5
Le couple solution est (-5;10).
3. Déterminer l’ensemble des couples solutions de 15x+8y=5.
On soustrait membre à membre ces deux égalités :
15x+8y=5\\15\times (-5)+8\times 10=5\\15x-15\times (-5)+8y-8\times 10=5-5
On réduit
15x-15\times (-5)+8y-8\times 10=0
On factorise
15(x+5)+8(y-10)=0\\15(x+5)=-8(y-10)\\15 et 8 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss, 15 divise y-10.
Donc il existe un entier relatif k tel que y-10=15k.
Donc y=15k+10
On remplace y-10 par 15k dans 15(x+5)=-8(y-10).
15(x+5)=-8\times 15k\\x+5=-8k\\x=-8k-5
Les couples solutions sont de la forme (-8k-5;15k+10) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 15x+8y=5.
15(-8k-5)+8(15k+10)=-120k-75+120k+80=5
Exercice n°3
Soit l’équation 3x-4y=6
- Déterminer une solution particulière de l’équation 3x-4y=6.
2. Déterminer l’ensemble des solutions entières.
Exercice n°4
Soit l’équation 13x-23y=1
- Déterminer une solution particulière de l’équation 13x-23y=1 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
2. Déterminer l’ensemble des solutions entières.
Exercice n°5
Soit l’équation 16x+21y=797
- a.Déterminer une solution particulière de l’équation 16x+21y=1 en utlisant l’algorithme d’Euclide.
- b .En déduire une solution particulière de l’équation 16x+21y=797.
2. Résoudre l’équation 16x+21y=797
Exercice n°6
On veut résoudre le système suivant dans \mathbf{Z}.
1. Montrer que résoudre ce système revient à résoudre l’équation 11u-4v=2 où u et v sont des entiers relatifs.
2. Résoudre l’équation 11u-4v=2
3. En déduire les solutions du système
On détermine le PGCD(126,98) à l’aide de la calculatrice.
Comme PGCD(126,98)=14, il divise 28.
Donc l’équation 126x+98y=28 admet au moins un couple d’entiers relatifs solution.
On détermine le PGCD(26,39) à l’aide de la calculatrice.
Comme PGCD(26,39)=13, il ne divise pas 24.
Donc l’équation 26x+39y=24 n’admet pas de couple d’entiers relatifs solution.
Déterminer le PGCD(544,-628) à l’aide de la calculatrice revient à déterminer le PGCD(544,628).
Comme PGCD(544,-628)=4, il divise 4.
Donc l’équation 544x-628y=4 admet au moins un couple d’entiers relatifs solution.
Déterminer le PGCD(34,161) à l’aide de la calculatrice.
Comme PGCD(34,161)=1, il divise -12.
Donc l’équation 34x+161y=-12 admet au moins un couple d’entiers relatifs solution.
24x+17y=1 admet pour solution particulière le couple (5;-7) car
24\times 5+17\times(-7)=120-119=1.
On veut déterminer x et y tels que 24x+17y=1.
On exprime une des deux inconnues, par exemple y en fonction de x.
y=-\frac{24}{17}x+\frac{1}{17}.
On programme la TI 83 Premium CE.
Au clavier
A l’écran
Appuyer sur la touche f(x) puis saisir à côté de Y1 , -\frac{24}{17}x+\frac{1}{17}. Valider avec entrer.
Appuyer sur la touche 2nde puis la touche graphe. Au besoin paramétrer le tableur : 2nde fenêtre, DébutTBL=0 et Tbl=1.
Puis chercher la première valeur entière dans la seconde colonne en parcourant le tableur.
On a trouvé x=5 et y=-7.
On veut déterminer x et y tels que 24x+17y=1.
On écrit l’algorithme d’Euclide en rajoutant une colonne.
On écrit la dernière égalité de la dernière colonne :
1=7-2\times 3
On remplace 3 par 17-2\times 7
1=7-2\times (17-2\times 7)
On développe
1=7-2\times 17+4\times 7
On réduit
1=5\times 7-2\times 17
On remplace 7 par 24-1\times 17
1=5\times (24-1\times 17)-2\times 17
On développe
1=5\times 24-5\times 17-2\times 17
On réduit
1=5\times 24-7\times 17
Donc x=5 et y=-7.
11x-3y=1 admet pour solution particulière le couple (2;7) car
11\times 2+3\times 7=22-21=1.
On veut déterminer x et y tels que 11x-3y=1.
On exprime une des deux inconnues, par exemple y en fonction de x.
y=\frac{11}{3}x-\frac{1}{3}.
On programme la TI 83 Premium CE.
Au clavier
A l’écran
Appuyer sur la touche f(x) puis saisir à côté de Y1 , \frac{11}{3}x-\frac{1}{3}. Valider avec entrer.
Appuyer sur la touche 2nde puis la touche graphe. Au besoin paramétrer le tableur : 2nde fenêtre, DébutTBL=0 et Tbl=1.
Puis chercher la première valeur entière dans la seconde colonne en parcourant le tableur.
On a trouvé x=2 et y=7.
On veut déterminer x et y tels que 11x-3y=1.
On écrit l’algorithme d’Euclide en rajoutant une colonne.
On écrit la dernière égalité de la dernière colonne :
1=3-1\times 2
On remplace 2 par 11-3\times 3
1=3-1\times (11-3\times 3)
On développe
1=3-11+3\times 3
On réduit
1=-11+4\times 3
1=-1\times 11-(-4)\times 3
Donc x=-1 et y=-4.
Remarque : avec la calculatrice, ce couple aussi était solution, voir ci-dessous..
5x+13y=3 admet pour solution particulière le couple (-2;1) car
5\times (-2)+13\times 1=-10+13=3.
On veut déterminer x et y tels que 5x+13y=3.
On exprime une des deux inconnues, par exemple y en fonction de x.
y=-\frac{5}{13}x+\frac{3}{13}.
On programme la TI 83 Premium CE.
Au clavier
A l’écran
Appuyer sur la touche f(x) puis saisir à côté de Y1 , -\frac{5}{13}x+\frac{3}{13}. Valider avec entrer.
Appuyer sur la touche 2nde puis la touche graphe. Au besoin paramétrer le tableur : 2nde fenêtre, DébutTBL=-3 et Tbl=1.
Puis chercher la première valeur entière dans la seconde colonne en parcourant le tableur.
On a trouvé x=-2 et y=1.
On veut déterminer x et y tels que 5x+13y=3
On écrit l’algorithme d’Euclide en rajoutant une colonne.
On écrit la dernière égalité de la dernière colonne :
1=3-1\times 2
On remplace 2 par 5-1\times 3
1=3-1\times (5-1\times 3)
On développe
1=3-5+3
On réduit
1=2\times 3-5
On remplace 3 par 13-2\times 5
1=2\times (13-2\times 5)-5
On développe
1=2\times 13-4\times 5-5
On réduit
1=-5\times 5+2\times 13
On obtient donc l’égalité -5\times 5+2\times 13=1
Il faut multiplier l’égalité précédente par 3 pour obtenir 3 à gauche du signe égal.
3\times(-5\times 5+2\times 13)=3\times 1\\-15\times 5+6\times 13=3
Donc x=-15 et y=6.
Si on remonte dans le tableur de la calculatrice, on voit que ce couple convient aussi.
19x-2y=5 admet pour solution particulière le couple (1,7) car
19\times 1-2\times 7=19-14=5.
Remarque : il y a bien sûr d’autres couples solutions.
On veut déterminer x et y tels que 19x-2y=5.
On exprime une des deux inconnues, par exemple y en fonction de x.
y=\frac{19}{2}x-\frac{5}{2}.
On programme la TI 83 Premium CE.
Au clavier
A l’écran
Appuyer sur la touche f(x) puis saisir à côté de Y1 , \frac{19}{2}x-\frac{5}{2}. Valider avec entrer.
Appuyer sur la touche 2nde puis la touche graphe. Au besoin paramétrer le tableur : 2nde fenêtre, DébutTBL=0 et Tbl=1.
Puis chercher la première valeur entière dans la seconde colonne en parcourant le tableur.
On choisit par exemple x=1 et y=7.
Il y a d’autres couples solutions bien sûr.
On veut déterminer x et y tels que 19x-2y=5
On écrit l’algorithme d’Euclide en rajoutant une colonne.
On écrit la dernière égalité de la dernière colonne :
1=19-9\times 2
Ou
19-9\times 2=1
On multiplie l’égalité précédente par 5 pour obtenir 5 à droite du signe égal.
5\times(19-9\times 2)=5\times 1\\5\times19-45\times 2=5\times 1
Donc x=5 et y=45.
On regarde dans le tableur de la calculatrice, on voit que ce couple convient aussi.
La méthode à utiliser n’est pas précisée dans la question donc on peut utiliser la méthode de notre choix, par exemple : le calcul mental.
3x-4y=6 admet pour solution particulière le couple (2;0) car
3\times 2-4\times 0=6-0=6.
On veut déterminer l’ensemble des couples solutions de l’équation 3x-4y=6.
On soustrait membre à membre ces deux égalités :
3x-4y=6\\3\times 2+-4\times 0=6\\3x-3\times 2-4y-(-4)\times 0=6-6
On réduit
3x-3\times 2-4y-(-4)\times 0=0
On factorise
3(x-2)-4(y-0)=0\\3(x-2)=4y\\3 et 4 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss, 3 divise y.
Donc il existe un entier relatif k tel que y=3k.
Donc y=3k
On remplace y par 3k dans 3(x-2)=4y.
3(x-2)=4\times 3k\\x-2=4k\\x=4k+2
Les couples solutions sont de la forme (4k+2;3k) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 3x-4y=6.
3(4k+2)-4(3k)=12k+6-12k=6
On veut déterminer x et y tels que 13x-23y=1
On écrit l’algorithme d’Euclide en rajoutant une colonne.
On écrit la dernière égalité de la dernière colonne :
1=10-3\times 3
On remplace 3 par 13-1\times 10
1=10-3\times (13-1\times 10)
On développe
1=10-3\times 13+3\times 10
On réduit
1=-3\times 13+4\times 10
On remplace 10 par 23-1\times 13
1=-3\times 13+4\times (23-1\times 13)
On développe
1=-3\times 13+4\times 23-4\times 13
On réduit
1=-7\times 13+4\times 23
Donc x=-7 et y=-4.
On veut déterminer l’ensemble des couples solutions de l’équation 13x-23y=1.
On soustrait membre à membre ces deux égalités :
13x-23y=1\\13\times (-7)-23\times (-4)=1\\13x-13\times (-7)-23y-(-23)\times (-4)=1-1
On réduit
13x-13\times (-7)-23y+23\times (-4)=0
On factorise
13(x+7)-23(y+4)=0\\13(x+7)=23(y+4)\\13 et 23 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss, 13 divise y+4.
Donc il existe un entier relatif k tel que y+4=13k.
Donc y=13k-4
On remplace y par 13k-4 dans 13(x+7)=23(y+4).
13(x+7)=23(13k-4+4)\\13(x+7)=23(13k)\\x+7=23k\\x=23k-7
Les couples solutions sont de la forme (23k-7;13k-4) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 13x-23y=1.
13(23k-7)-23(13k-4)=299k-91+336k+92=1
On veut déterminer x et y tels que 16x+21y=1
On écrit l’algorithme d’Euclide en rajoutant une colonne.
On écrit la dernière égalité de la dernière colonne :
1=16-3\times 5
On remplace 5 par 21-1\times 16
1=16-3\times (21-1\times 16)
On développe
1=16-3\times 21+3\times 16
On réduit
1=4\times 16+(-3)\times 21
Donc x=4 et y=-3.
On a établi dans la question précédente que (4;-3) est un couple solution de 16x+21y=1 c’est-à-dire que 16\times 4+21\times (-3)=1.
On mutiplie l’égalité par 797 de chaque côté.
797\times( 16\times 4+21\times (-3))=797\times1
On développe
797\times 16\times 4+797\times 21\times (-3)=797\\16\times 797\times 4+21\times 797\times (-3)=797\\16\times 3188+21\times (-2391)=797
Donc (3188;-2391) est un couple solution de 16x+21y=797
On veut déterminer l’ensemble des couples solutions de l’équation 16x+21y=797.
On soustrait membre à membre ces deux égalités :
16x+21y=797\\16\times 3188+21\times (-2391)=797\\16x-16\times 3188+21y-21\times (-2391)=797-797
On réduit
16x-16\times 3188+21y-21\times (-2391)=0
On factorise
16(x-3188)+21(y+2391)=0\\16(x-3188)=-21(y+2391)\\16 et 21 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss, 16 divise y+2391.
Donc il existe un entier relatif k tel que y+2391=16k.
Donc y=16k-2391
On remplace y par 16k-2391 dans 16(x-3188)=-21(y+2391).
16(x-3188)=-21(16k-2391+2391)\\16(x-3188)=-21(16k)\\x-3188=-21k\\x=-21k+3188
Les couples solutions sont de la forme (-21k+3188;16k-2391) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 16x+21y=797.
16(-21k+3188)+21(16k-2391)=-336k+51008+336k-50211=797
On veut montrer que résoudre ce système :
revient à résoudre l’équation 11u-4v=2 où u et v sont des entiers relatifs.
Comme x\equiv 1[11], il existe un entier relatif u tel que x=11u+1.
Comme x\equiv 3[4], il existe un entier relatif v tel que x=4v+3.
11u+1=x et 4v+3=x donc
11u+1=4v+3\\11u-4v=3-1\\11u-4v=2
On considère l’équation suivante 11u-4v=2.
- Comme PGCD(11;4)=1, l’équation 11u-4v=2 admet au moins un couple d’entiers solutions car 2 est un multiple de 1.
- On détermine une solution particulière de l’équation.
La méthode à utiliser n’est pas précisée dans la question donc on peut utiliser la méthode de notre choix, par exemple : le calcul mental.
Le couple (2;5) est solution car 11\times 2-4\times 5=22-20=2.
- On détermine l’ensemble des couples solutions de cette équation.
On soustrait membre à membre ces deux égalités :
11u-4v=2\\11\times 2-4\times 5=2\\11u-11\times 2-4v+4\times 5=2-2
On réduit
11u-11\times 2-4v+4\times 5=0
On factorise
11(u-2)-4(v-5)=0\\11(u-2)=4(v-5)\\11 et 4 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss, 11 divise v-5.
Donc il existe un entier relatif k tel que v-5=11k.
Donc v=11k+5
On remplace v-5 par 11k dans 11(u-2)=4(v-5).
11(u-2)=4\times 11k\\u-2=4k\\u=4k+2
Les couples solutions sont de la forme (4k+2;11k+5) avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions de l’équation 11u-4v=2.
11(4k+2)-4(11k+5)=44k+22-44k-20=2
Dans la question 2, on a montré que les couples solutions sont de la forme (4k+2;11k+5) avec k\in \mathbf{Z}.
Dans la question 1, on avait x=11u+1 et x=4v+3.
On remplace u par 4k+2 dans x=11u+1.
x=11(4k+2)+1\\x=44k+22+1\\x=44k+23
On remplace v par 11k+5 dans x=4v+3.
x=4(11k+5)+3\\x=44k+20+3\\x=44k+23
Donc les solutions du système
sont de la forme 44k+23 avec k\in \mathbf{Z}.
On s’assure que les solutions trouvées sont bien solutions du système:
x=44k+23 et 44k+22+1\equiv1[11] donc x\equiv1[11]\\x=44k+23 et 44k+20+3\equiv3[4] donc x\equiv3[4]