Théorème
Soient a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
Il existe un couple d’entiers relatifs (q;r) tels que a=bq+r et 0\leq r<b.
q est le quotient et r est le reste de la division de a par b.
Exemples
- 117=28\times 4+5 représente la division de 117 par 28 avec un quotient égal à 28 et le reste égal à 5. Cette écriture ne peut pas représenter la division de 117 par 4 car le reste égal à 5 serait plus grand que le diviseur 4.
- 95=3\times 31+2 représente la division de 95 par 3 avec un quotient égal à 31 et le reste égal à 2. Cette écriture peut aussi représenter la division de 95 par 31 avec un quotient égal à 3 et le reste égal à 2.
Déterminer le reste et le quotient d’une division euclidienne avec Edupython
Ecrire le programme suivant, l’instruction a%b représente la division de a par b
On obtient donc
Dans la division de 15 par 2 le quotient est égal à 7 et le reste est égal à 1. Donc 15=2\times 7+1.
Dans la division de -49 par 6 le quotient est égal à -9 et le reste est égal à 5. Donc -49=6\times (-9)+5.
Dans la division de 81 par 27 le quotient est égal à 3 et le reste est égal à 0. Donc 81=27\times 3+0 ou
81=27\times 3.
Dans la division de -72 par 36 le quotient est égal à -2 et le reste est égal à 0. Donc -72=36\times (-2)+0 ou -72=36\times (-2).
Exercice n°1
Dans chaque cas, effectuer la division euclidienne de a par b.
a=157 et b=13.
a=1910 et b=83.
a=-157 et b=13.
a=-1910 et b=83.
Exercice n°2
n désigne un nombre entier naturel.
On pose A=n(n^2+5).
Démontrer que, pour tout entier n , A est divisible par 3.
Exercice n°3
Par quel entier n faut-il diviser 1088 pour obtenir 37 comme quotient et 15 pour reste.
Exercice n°4
Indiquer si les égalités suivantes correspondent à une ou deux divisions euclidiennes. Préciser alors le quotient et le reste.
19=3\times 6+1
732=42\times 17+18
-21=-2\times 12+3.
On veut écrire la division de a=157 par b=13.
Ici les deux nombres sont positifs.
On pose l’opération.
157=13\times 12+1.
Pour valider avec la TI 83 Premium CE Edition Python.
Clavier
Ecran
Pour déterminer le quotient, taper sur math , puis sélectionner la colonne NBRE puis sélectionner 3:ent( enfin valider par entrer.
Compléter avec 157/13, valider par entrer.
Pour déterminer le reste, taper sur math , puis sélectionner la colonne NBRE puis sélectionner 10:reste( enfin valider par entrer.
Compléter avec 157,13, valider par entrer.
157=13\times 12+1.
On veut écrire la division euclidienne de a=1910 par b=83.
Ici les deux nombres sont positifs.
On pose l’opération.
1910=83\times 23+1.
Pour valider avec la TI 83 Premium CE Edition Python.
Clavier
Ecran
Pour déterminer le quotient, taper sur math , puis sélectionner la colonne NBRE puis sélectionner 3:ent( enfin valider par entrer.
Compléter avec 1910/83, valider par entrer.
Pour déterminer le reste, taper sur math , puis sélectionner la colonne NBRE puis sélectionner 10:reste( enfin valider par entrer.
Compléter avec 1910,83, valider par entrer.
1910=83\times 23+1.
On veut écrire la division de a=-157 par b=13.
Ici a=-157 est négatif.
Le plus simple est de se ramener à deux nombres positifs et d’écrire la division de a=157 par b=13
1.On pose l’opération.
157=13\times 12+1.
Pour valider avec la TI 83 Premium CE Edition Python.
Clavier
Ecran
Pour déterminer le quotient, taper sur math , puis sélectionner la colonne NBRE puis sélectionner 3:ent( enfin valider par entrer.
Compléter avec 157/13, valider par entrer.
Pour déterminer le reste, taper sur math , puis sélectionner la colonne NBRE puis sélectionner 10:reste( enfin valider par entrer.
Compléter avec 157,13, valider par entrer.
157=13\times 12+1.
2. On veut écrire la division de a=-157 par b=13.
On multiplie l’égalité 157=13\times 12+1 par (-1) de chaque côté.
-157=13\times (- 12)+(-1)
Le reste doit être compris entre 0 et 13.
-157=13\times (- 12)-13+13+(-1)
On met 13 en facteur pour les deux premiers termes. On réduit 13-1.
-157=13 \times (-12-1)+12\\-157=13\times (-13)+12
On veut écrire la division euclidienne de a=-1910 par b=83.
Ici a=-1910 est négatif.
Le plus simple est de se ramener à deux nombres positifs et d’écrire la division de a=1910 par b=83
1.On pose l’opération.
Ici les deux nombres sont positifs.
On pose l’opération.
1910=83\times 23+1.
Pour valider avec la TI 83 Premium CE Edition Python.
Clavier
Ecran
Pour déterminer le quotient, taper sur math , puis sélectionner la colonne NBRE puis sélectionner 3:ent( enfin valider par entrer.
Compléter avec 1910/83, valider par entrer.
Pour déterminer le reste, taper sur math , puis sélectionner la colonne NBRE puis sélectionner 10:reste( enfin valider par entrer.
Compléter avec 1910,83, valider par entrer.
1910=83\times 21+1.
2. On veut écrire la division de a=-1910 par b=13.
On multiplie l’égalité 1910=83\times 21+1 par (-1) de chaque côté.
-1910=83\times (- 23)+(-1)
Le reste doit être compris entre 0 et 83.
-1910=83\times (- 23)-83+83+(-1)
On met 83 en facteur pour les deux premiers termes. On réduit 83-1.
-1910=83 \times (-23-1)+82\\-1910=13\times (-24)+82
Avec le programme vu précédemment, on détermine les quotients et les restes.
On pose A=n(n^2+11).
On veut démontrer que, pour tout entier n , A est divisible par 3.
Dans la division par 3, les restes possibles sont 0;1;2.
Cas n°1 : si dans la division de n par 3, le reste est 0 alors n=3k.
Calculons A en remplaçant n par 3k dans A=n(n^2+11).
A=3k((3k)^2+11)
Inutile de poursuivre, A est un produit qui contient le facteur 3 donc A est divisible par 3.
Cas n°2 : si dans la division de n par 3, le reste est 1 alors n=3k+1.
Calculons A en remplaçant n par 3k+1 dans A=n(n^2+11).
A=(3k+1)((3k+1)^2+11)
On effectue en priorité la puissance en utilisant (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
A=(3k+1)((3k)^2+2\times 3k\times 1+1^2+11)\\A=(3k+1)(9k^2+6k+12)
On met 3 en facteur dans le deuxième facteur 9k^2+6k+12
A=(3k+1)3(3k^2+2k+4)\\A=3(3k+1)(3k^2+2k+4)
Inutile de poursuivre, A est un produit qui contient le facteur 3 donc A est divisible par 3.
Cas n°3 : si dans la division de n par 3, le reste est 2 alors n=3k+2.
Calculons A en remplaçant n par 3k+2 dans A=n(n^2+11).
A=(3k+2)((3k+2)^2+11)
On effectue en priorité la puissance en utilisant (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
A=(3k+2)((3k)^2+2\times 3k\times 2+2^2+11)\\A=(3k+2)(9k^2+12k+15)
On met 3 en facteur dans le deuxième facteur 9k^2+12k+15
A=(3k+2)3(3k^2+4k+5)\\A=3(3k+2)(3k^2+4k+5)
Inutile de poursuivre, A est un produit qui contient le facteur 3 donc A est divisible par 3.
Ainsi pour tout entier n , A est divisible par 3.
On cherche l’ entier n par lequel diviser 1088 pour obtenir 37 comme quotient et 15 pour reste.
On identifie le dividende a=1088, le diviseur b=n, le quotient q=37 et le reste r=15. Puis on remplace dans a=b\times q+r.
1088=n\times 37+15
37n+15=1088
37n=1088-15
17n=1073
n=\frac{1073}{37}
n=29
Donc il faut diviser 1088 par 29 pour obtenir 37 comme quotient et 15 pour reste.
L’égalité 19=3\times 6+1 est de la forme a=b\times q+r.
Le dividende est 19 et le reste est 1.
Les facteurs du produit 3\times 6 sont tous les deux supérieurs au reste 1. Donc les deux peuvent être le diviseur.
Conclusion : l’égalité 19=3\times 6+1 correspond à la division de 19 par 3 et aussi à la division de 19 par 6.
L’égalité 732=42\times 17+18 est de la forme a=b\times q+r.
Le dividende est 732 et le reste est 18.
Parmi les facteurs du produit 42\times 17 seul 42 est supérieur au reste 18. Donc 42 est le diviseur.
Conclusion : l’égalité 732=42\times 17+18 correspond à la division de 732 par 42.
L’égalité -21=-2\times 12+3 est de la forme a=b\times q+r.
Le dividende est -21 et le reste est 3.
Le produit -2\times 12 correspond soit à (-2)\times 12 , soit à 2\times (-12). Seul 12 est supérieur au reste 3 .Donc 12 est le diviseur.
Conclusion : l’égalité -21=-2\times 12+3 correspond à la division de -21 par 12.