Petit théorème de Fermat
p désigne un nombre premier et a un nombre entier naturel non divisible par p.
Alors a^{p-1}-1 est divisible par p , c’est-à-dire que a^{p-1}\equiv1[p].
Exemple n°1
On considère l’équation (E) 5x\equiv 28[31]
1.Justifier que 5^{30}\equiv 1[31]
31 est premier et 5 n’est pas divisible par 31.
On applique le petit théorème de Fermat.
On remplace p par 31 et a par 5 dans a^{p-1}\equiv1[p].
5^{31-1}\equiv 1[31]
5^{30}\equiv 1[31]
2. En déduire une solution particulière x_0 de l’équation (E) telle que 0\leq x_0\leq 30.
On remarquera que 5^{3}\equiv 1[31].
D’après la question 1, 5^{30}\equiv 1[31]
28\times 5^{30}\equiv 28\times1[31]
28\times 5 \times 5^{29}\equiv 28[31]
5\times 28 \times 5^{29}\equiv 28[31]
Donc 28\times 5^{29} est une solution de (E).
Cette solution n’est pas comprise entre 0 et 30.
Comme 5^{3}\equiv 1[31]
(5^{3})^9\equiv 1^9[31]
5^{27}\equiv 1[31]
5^{27}\times 5^{2} \equiv 1\times 5^{2}[31]
5^{29} \equiv 5^{2}[31]
28\times 5^{29} \equiv 28\times 5^{2}[31]
28\times 5^{29} \equiv 28\times 25[31]
28\times 5^{29} \equiv 700[31]
Comme 700=31\times 22+18
700 \equiv 18[31]
Donc 28\times 5^{29} \equiv 18[31]
Ainsi x_0=18.
3. Résoudre alors l’équation (E).
On cherche pour quelles valeurs de x , la congruence
5x\equiv 28[31] est vérifiée.
5\times 18\equiv 28[31] car on a prouvé précédemment que 18 est solution de (E).
On soustrait les deux congruences.
5x-5\times 18\equiv 28-28[31]
5(x-18)\equiv 0[31]
Comme 5 et 31 sont premiers entre eux
x-18\equiv 0[31]
Donc x-18 est divisible par 31
Donc x-18=31k avec k\in \mathbf{Z}
Les solutions de (E) sont :x=31k+18 avec k\in \mathbf{Z}
Exercice n°1
On considère l’équation (E) 6x\equiv 32[37]
1.Justifier que 6^{36}\equiv 1[37]
2. En déduire une solution particulière x_0 de l’équation (E) telle que 0\leq x_0\leq 36.
On remarquera que 6^{4}\equiv 1[37].
3. Résoudre alors l’équation (E).
Exercice n°2
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre 3^{6n}-1 est divisible par 7.
Conséquence
p désigne un nombre premier et a un nombre entier naturel.
Alors a^{p}-a est divisible par p , c’est-à-dire que a^{p}\equiv {a}[p].
Exemple n°2
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre n^{13}-n est divisible par 26.
1.On montre d’abord que le nombre n^{13}-n est divisible par 13 en utilisant la conséquence du petit théorème de Fermat.
13 est premier.
On remplace p par 13 et a par n dans a^{p}-a est divisible par p.
n^{13}-n est divisible par 13
2.On montre ensuite que le nombre n^{13}-n est divisible par 2.
Soit n est pair, alors n\equiv 0[2] et donc n^{13}\equiv 0[2].
Soit n est impair, alors n\equiv 1[2] et donc n^{13}\equiv 1[2].
Comme n\equiv 1[2] et n^{13}\equiv 1[2], alors n^{13}\equiv n[2] et donc n^{13}-n\equiv 0[2] ce qui signifie que n^{13}-n est divisible par 2.
3.On conclut.
2 et 13 divisent n^{13}-n et 2 et 13 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss, 26 ( 2\times 13 ) divise n^{13}-n.
Exercice n°3
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre n^5-n est divisible par 5.
Exercice n°4
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre n^7-n est divisible par 21.
Exercice n°5
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre n^{11}-n est divisible par 33.
Exercice n°6
p est un nombre premier différent de 3.
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre 3^{n+p}-3^{n+1} est divisible par p.
37 est premier et 5 ne divise pas 37.
On applique le petit théorème de Fermat.
On remplace p par 37 et a par 6 dans a^{p-1}\equiv1[p].
6^{37-1}\equiv 1[37]
6^{36}\equiv 1[37]
D’après la question 1, 6^{36}\equiv 1[37]
32\times 6^{36}\equiv 32\times1[37]
32\times 6 \times 6^{35}\equiv 32[37]
6\times 32 \times 6^{35}\equiv 32[37]
Donc 32\times 6^{35} est une solution de (E).
Cette solution n’est pas comprise entre 0 et 36.
Comme 6^{4}\equiv 1[37]
(6^{4})^9\equiv 1^9[37]
6^{36}\equiv 1[37]
6^{36}\times 6 \equiv 1\times 6[37]
6^{37} \equiv 6[37]
32\times 6^{37} \equiv 32\times 6[37]
32\times 6^{37} \equiv 182[37]
Comme 182=4\times 37+34
182 \equiv 34[37]
Donc 32\times 6^{37} \equiv 34[37]
Ainsi x_0=34.
On cherche pour quelles valeurs de x , la congruence
6x\equiv 32[37] est vérifiée.
6\times 34\equiv 32[37] car on a prouvé précédemment que 34 est solution de (E).
On soustrait les deux congruences.
6x-6\times 34\equiv 32-32[37]
6(x-34)\equiv 0[37]
Comme 6 et 37 sont premiers entre eux
x-34\equiv 0[37]
Donc x-34 est divisible par 37
Donc x-34=37k avec k\in \mathbf{Z}
Les solutions de (E) sont :x=37k+34 avec k\in \mathbf{Z}
7 est premier et 3 ne divise pas 7.
On applique le petit théorème de Fermat.
On remplace p par 7 et a par 3 dans a^{p-1}\equiv1[p].
3^{7-1}\equiv 1[7]
3^{6}\equiv 1[7]
(3^{6})^{n}\equiv 1^{n}[7]
3^{6n}\equiv 1[7]
3^{6n}-1\equiv 1-1[7]
3^{6n}-1\equiv 0[7]
Donc 3^{6n}-1 est divisible par 7.
5 est premier.
On applique la conséquence du petit théorème de Fermat.
On remplace p par 5 et a par n dans a^{p}-a est divisible par p.
Donc n^5-n est divisible par 5.
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre n^{7}-n est divisible par 21.
1.On montre d’abord que le nombre n^{7}-n est divisible par 7 en utilisant la conséquence du petit théorème de Fermat.
7 est premier.
On remplace p par 7 et a par n dans a^{p}-a est divisible par p.
n^{7}-n est divisible par 7
2.On montre ensuite que le nombre n^{7}-n est divisible par 3.
Soit n\equiv 0[3] alors n^7\equiv 0[3] et donc n^{7}-n\equiv 0[3].
Soit n\equiv 1[3] alors n^7\equiv 1[3] et donc par soustraction n^{7}-n\equiv 0[3].
Soit n\equiv 2[3] alors n^7\equiv 128[3] et donc par soustraction n^{7}-n\equiv 128-2[3] ou
n^{3}-n\equiv 126[3]. Comme 126\equiv 0[3] alors n^{3}-n\equiv 0[3].
Dans tous les cas, n^{7}-n\equiv 0[3] ce qui signifie que n^{7}-n est divisible par 3.
3.On conclut.
3 et 7 divisent n^{7}-n et 3 et 7 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss,
21 ( 3\times 7 ) divise n^{7}-n.
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre n^{11}-n est divisible par 33.
1.On montre d’abord que le nombre n^{11}-n est divisible par 11 en utilisant la conséquence du petit théorème de Fermat.
11 est premier.
On remplace p par 11 et a par n dans a^{p}-a est divisible par p.
n^{11}-n est divisible par 11
2.On montre ensuite que le nombre n^{11}-n est divisible par 3.
Soit n\equiv 0[3] alors n^{11}\equiv 0[3] et donc n^{11}-n\equiv 0[3].
Soit n\equiv 1[3] alors n^{11}\equiv 1[3] et donc par soustraction n^{11}-n\equiv 0[3].
Soit n\equiv 2[3] alors n^{11}\equiv 2048[3] et donc par soustraction n^{11}-n\equiv 2048-2[3] ou
n^{11}-n\equiv 2046[3]. Comme 2046\equiv 0[3] alors n^{11}-n\equiv 0[3].
Dans tous les cas, n^{11}-n\equiv 0[3] ce qui signifie que n^{11}-n est divisible par 3.
3.On conclut.
3 et 11 divisent n^{11}-n et 3 et 11 sont premiers entre eux donc, d’après le théorème de Gauss,
33 ( 3\times 11 ) divise n^{11}-n.
p est un nombre premier différent de 3.
Montrer que pour tout entier naturel n , le nombre 3^{n+p}-3^{n+1} est divisible par p.
p est premier et ne divise pas 3.
On remplace a par 3 dans a^{p}\equiv a[p].
3^{p}\equiv 3[p]
On multiplie par 3^{n}
3^{n}\times 3^{p}\equiv 3^{n}\times 3[p]\\3^{n+p}\equiv 3^{n+1}[p]\\3^{n+p}-3^{n+1}\equiv 0[p]
Donc 3^{n+p}-3^{n+1} est divisible par p.