Définition : affixe d’un point et point image.
A tout point M du plan de coordonnées (x;y) est associé le complexe z=x+iy appelé affixe du point M.
A tout nombre complexe z=x+iy, on associe le point M de coordonnées (x;y).
Le plan muni d’un repère orthonormal direct dans lequel on représente des nombres complexes est appelé plan complexe
Exercice n°1
En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants :
A d’affixe z_A=2+3i, B d’affixe z_B=-2-i, C d’affixe z_C=-4 et D d’affixe z_D=-3i.
Exercice n°2
- En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants :
A d’affixe z_A=1+2i, A' d’affixe z_A'=\overline{z_A} et A" d’affixe z_A"=-z_A
2. a. Par quelle transformation géométrique, obtient-on A' à partir de A?
2. b. Par quelle transformation géométrique, obtient-on A" à partir de A?
Propriété
Soit M un point du plan d’affixe z, alors
- -z est l’affixe du symétrique du point M par rapport à l’origine
- \overline{z} est l’affixe du symétrique du point M par rapport à l’axe des abscisses
Exemple : voir exercice n°2
Théorème : égalité de deux points
Soit A(z_A) et B(z_B) deux points du plan complexe.
A=B \iff z_A=z_B.
Théorème : affixe du milieu du segment [AB]
Soit A(z_A) et B(z_B) deux points du plan complexe.
Le milieu de [AB] a pour affixe \frac{z_A+z_B}{2}.
Exercice n°3
- En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants :
A(z_A=1+i) , B(z_B=2+4i) , C(z_C=5+4i) et D(z_D=4+i).
2. a. Calculer l’affixe du milieu de [AC].
2. b. Calculer l’affixe du milieu de [BD].
2. c. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Exercice n°4
- En utilisant la page Géogébra ci-dessus, placer les points suivants :
A(z_A=-2+i) , B(z_B=1-2i) , C(z_C=4-i).
2. a. Calculer l’affixe du milieu de [AC].
2. b. On considère le point D qui est le quatrième sommet du parallélogramme ABCD. On note x+iy l’affixe du point de D. Exprimer l’affixe du milieu de [BD] en fonction de x et de y.
2. c. En déduire, par le calcul, l’affixe du point D.
Définition : affixe d’un vecteur
A tout vecteur \overrightarrow{v} du plan de coordonnées (a;b) est associé le complexe z=a+ib appelé affixe du vecteur \overrightarrow{v}.
Théorème : égalité de deux vecteurs
Soit \overrightarrow{v_1}(z_{\overrightarrow{v_1}}) et \overrightarrow{v_2}(z_{\overrightarrow{v_2}}) deux vecteurs du plan complexe.
\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_2} \iff z_{\overrightarrow{v_1}}=z_{\overrightarrow{v_2}}.
Théorème : affixe d’un vecteur
Soit A(z_A) et B(z_B) deux points du plan complexe.
\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Exemple :
Soit A(z_A) et B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Soit A(2-3i) et B(6+i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(6+i)-(2-3i).
\hspace{7.52cm}=6+i-2+3i\\\hspace{7.52cm}=4+4i
Exercice n°5
Soient A(z_A=-1+2i) , B(z_B=1+3i) , C(z_C=5).
Calculer les affixes des vecteurs suivants. On pourra vérifier le résultat en utilisant le programme en Python que vous trouverez dans l’article : TE. Programmer sa TI 83 Edition PYTHON en langage Python : calculer l’affixe d’un vecteur.
\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{BC}
\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{BA}
Exercice n°6
Soient A(z_A=-3+3i) , B(z_B=4i) , C(z_C=2+2i) et D(z_D=-1+i).
- Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}.
2. Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{DC}.
3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Exercice n°7
Soient A(z_A=-1+3i) , B(z_B=4+5i) , C(z_C=6+3i).
On veut déterminer l’affixe du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
Comme on ne la connaît pas, on notera x+iy l’affixe du point D.
- Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}.
2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{DC} en fonction de x et de y.
3. En utilisant le fait que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} en déduire les valeurs de x et de y. Conclure.
Théorème : opérations et affixe d’un vecteur.
Soit \overrightarrow{u_1}(z_1) et \overrightarrow{u_2}(z_2) deux vecteurs.
\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2} a pour affixe z_1+z_2
\overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2} a pour affixe z_1-z_2
-\overrightarrow{u_1} a pour affixe -z_1
k\overrightarrow{u_1} a pour affixe kz_1
Exercice n°8
Soient A(z_A=2-i) , B(z_B=3+3i).
Le but de l’exercice est de déterminer l’affixe du point C défini par \overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}.
Comme on ne la connaît pas, on notera x+iy l’affixe du point C.
- Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}. Puis celle de 4\overrightarrow{AB}
2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AC} en fonction de x et de y.
3. déduire des questions précédentes l’affixe du point C.
Exercice n°9
Soient A(z_A=3-3i) , B(z_B=6-i) et C(z_C=-2+2i).
Le but de l’exercice est de déterminer l’affixe du point D défini par \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} soit un parallélogramme.
Comme on ne la connaît pas, on notera x+iy l’affixe du point D.
1.a.Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AB}. Puis celle de 2\overrightarrow{AB}
1.b.Déterminer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AC}.
1.c. déduire des questions précédentes l’affixe du vecteur 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.
2. Exprimer l’affixe du vecteur \overrightarrow{AD} en fonction de x et de y.
3. déduire des questions précédentes l’affixe du point D.
A d’affixe z_A=1+2i\\A' d’affixe z_A'=\overline{z_A}=1-2i\\A" d’affixe z_A"=-z_A=-1-2i
A' d’affixe z_A'=\overline{z_A}=1-2i est l’image de A d’affixe z_A=1+2i par la symétrie d’axe : l’axe des abscisses.
A" d’affixe z_A"=-z_A=-1-2i est l’image de A d’affixe z_A=1+2i par la symétrie centrale de centre : l’origine du repère.
On utilise la formule du cours suivante :
A(z_A) et C(z_C) donc le milieu de [AC] a pour affixe \frac{z_A+z_C}{2}.
A(1+i) et C(5+4i) donc le milieu de [AC] a pour affixe \frac{1+i+5+4i}{2}=\frac{6+5i}{2}=3+\frac{5}{2}i.
Pour vérifier le calcul, on peut placer le milieu de [AC] avec Géogébra et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran.
On utilise la formule du cours suivante :
B(z_B) et D(z_D) donc le milieu de [BD] a pour affixe \frac{z_B+z_D}{2}.
B(2+4i) et D(4+i) donc le milieu de [BD] a pour affixe \frac{2+4i+4+i}{2}=\frac{6+5i}{2}=3+\frac{5}{2}i.
Pour vérifier le calcul, on peut placer le milieu de [BD] avec Géogébra et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran.
Le milieu de [AC] a pour affixe 3+\frac{5}{2}i et le milieu de [BD] a pour affixe 3+\frac{5}{2}i.
Les affixes sont égales donc les points sont confondus. Donc les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu donc ABCD est un parallélogramme.
On utilise la formule du cours suivante :
A(z_A) et C(z_C) donc le milieu de [AC] a pour affixe \frac{z_A+z_C}{2}.
A(-2+i) et C(4-i) donc le milieu de [AC] a pour affixe \frac{-2+i+4-i}{2}=\frac{2}{2}=1.
Pour vérifier le calcul, on peut placer le milieu de [AC] avec Géogébra et lire ses coordonnées dans la colonne Algèbre située à gauche de l’écran.
On utilise la formule du cours suivante :
B(z_B) et D(z_D) donc le milieu de [BD] a pour affixe \frac{z_B+z_D}{2}.
B(1-2i) et D(x+iy) donc le milieu de [BD] a pour affixe :
\frac{1-2i+x+iy}{2}=\frac{1+x+i(-2+y)}{2}=\frac{1+x}{2}+\frac{-2+y}{2}i.
Le milieu de [AC] a pour affixe 1 et le milieu de [BD] a pour affixe \frac{1+x}{2}+\frac{-2+y}{2}i.
ABCD est un parallélogramme donc les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu donc les affixes des deux milieux sont égales.
\frac{1+x}{2}+\frac{-2+y}{2}i=1
Leurs parties réelles sont égales :
\frac{1+x}{2}=1
1+x=2
x=2-1
x=1
Leurs parties imaginaires sont égales :
\frac{-2+y}{2}=0
-2+y=0
y=2
Donc l’affixe de D est z_D=1+2i
On vérifie le résultat à l’aide de Géogébra.
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Soit A(-1+2i) et B(1+3i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(1+3i)-(-1+2i).
\hspace{8cm}=1+3i+1-2i\\\hspace{8cm}=2+i
On applique la formule du cours :
Soit B(z_B) et C(z_C) alors \overrightarrow{BC} a pour affixe z_{\overrightarrow{BC}}=z_C-z_B.
Soit B(1+3i) et C(5) alors \overrightarrow{BC} a pour affixe z_{\overrightarrow{BC}}=5-(1+3i).
\hspace{7cm}=5-1-3i\\\hspace{7cm}=4-3i
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et C(z_C) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A.
Soit A(-1+2i) et C(5) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=5-(-1+2i).
\hspace{7.2cm}=5+1-2i\\\hspace{7.2cm}=6-2i
On applique la formule du cours :
Soit B(z_B) et A(z_A) alors \overrightarrow{BA} a pour affixe z_{\overrightarrow{BA}}=z_A-z_B.
Soit B(1+3i) et A(-1+2i) alors \overrightarrow{BA} a pour affixe z_{\overrightarrow{BA}}=(-1+2i)-(1+3i).
\hspace{8cm}=-1+2i-1-3i\\\hspace{8cm}=-2-i
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Soit A(-3+3i) et B(4i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=4i-(-3+3i).
\hspace{7.4cm}=4i+3-3i\\\hspace{7.4cm}=3+i
On applique la formule du cours :
Soit D(z_C) et C(z_C) alors \overrightarrow{DC} a pour affixe z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D.
Soit D(-1+i) et C(2+2i) alors \overrightarrow{DC} a pour affixe z_{\overrightarrow{DC}}=(2+2i)-(-1+i).
\hspace{7.9cm}=2+2i+1-i\\\hspace{7.9cm}=3+i
On a montré que z_{\overrightarrow{AB}}=3+i et que z_{\overrightarrow{DC}}=3+i.
Donc z_{\overrightarrow{AB}}=z_{\overrightarrow{DC}}.
Comme les affixes sont égales, les vecteurs sont égaux.
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
Donc ABCD est un parallélogramme.
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Soit A(-1+3i) et B(4+5i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(4+5i)-(-1+3i).
\hspace{7.9cm}=4+5i+1-3i\\\hspace{7.9cm}=5+2i
On applique la formule du cours :
Soit D(z_C) et C(z_C) alors \overrightarrow{DC} a pour affixe z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D.
Soit D(x+iy) et C(6+3i) alors \overrightarrow{DC} a pour affixe z_{\overrightarrow{DC}}=(6+3i)-(x+iy).
\hspace{7.8cm}=6+3i-x-iy\\\hspace{7.8cm}=6-x+i(3-y)
On a montré que z_{\overrightarrow{AB}}=5+2i et que z_{\overrightarrow{DC}}=6-x+i(3-y).
Comme ABCD est un paraléllogramme, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} donc z_{\overrightarrow{AB}}=z_{\overrightarrow{DC}}.
5+2i=6-x+i(3-y)
Les parties réelles sont égales
5=6-x\\x=6-5\\x=1
Les parties imaginaires sont égales
2=3-y\\y=3-2\\y=1
Ainsi z_{D}=1+i
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Soient A(z_A=2-i) , B(z_B=3+3i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(3+3i)-(2-i).
\hspace{9.2cm}=3+3i-2+i\\\hspace{9.2cm}=1+4i
On applique la formule du cours : k\overrightarrow{u_1} a pour affixe kz_1
4\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{4\overrightarrow{AB}}=4\times(1+4i)\\\hspace{3.2cm}=4+16i
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et C(z_C) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A.
Soit A(2-i) et C(x+iy) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=(x+iy)-(2-i).
\hspace{7.55cm}=x+iy-2+i\\\hspace{7.55cm}=x-2+i(y+1)
On a montré que z_{\overrightarrow{AC}}=x-2+i(y-1) et que z_{4\overrightarrow{AB}}=4+16i .
Comme les vecteurs \overrightarrow{AC} et 4\overrightarrow{AB} sont égaux, leurs affixes sont égales donc :
x-2+i(y-1)=4+16i
Les parties réelles sont égales
x-2=4\\x=4+2\\x=6
Les parties imaginaires sont égales
y-1=16\\y=16+1\\y=17
Ainsi z_{C}=6+17i.
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et B(z_B) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
Soient A(z_A=3-3i) , B(z_B=6-i) alors \overrightarrow{AB} a pour affixe z_{\overrightarrow{AB}}=(6-i)-(3-3i).
\hspace{9.2cm}=6-i-3+3i\\\hspace{9.2cm}=3+2i
On applique la formule du cours : k\overrightarrow{u_1} a pour affixe kz_1
2\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{2\overrightarrow{AB}}=2\times(3+2i)\\\hspace{3.2cm}=6+4i
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et C(z_C) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A.
Soit A(3-3i) et C(-2+2i) alors \overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=(-2+2i)-(3-3i).
\hspace{7.95cm}=-2+2i-3+3i\\\hspace{7.95cm}=-5+5i
On applique la formule du cours : \overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2} a pour affixe z_1-z_2
On a montré que 2\overrightarrow{AB} a pour affixe z_{2\overrightarrow{AB}}=6+4i et que 2\overrightarrow{AC} a pour affixe z_{\overrightarrow{AC}}=-5+5i.
Donc 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} a pour affixe 6+4i-(-5+5i)
Donc 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} a pour affixe 6+4i+5-5i
Donc 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} a pour affixe 11-i
On applique la formule du cours :
Soit A(z_A) et D(z_D) alors \overrightarrow{AD} a pour affixe z_{\overrightarrow{AD}}=z_D-z_A.
Soit A(3-3i) et D(x+iy) alors \overrightarrow{AD} a pour affixe z_{\overrightarrow{AD}}=(x+iy)-(3-3i).
\hspace{7.8cm}=x+iy-3+3i\\\hspace{7.8cm}=x-3+i(y+3)
On a montré que z_{\overrightarrow{AD}}=x-3+i(y+3) et que z_{2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}=11-i .
Comme les vecteurs \overrightarrow{AD} et 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} sont égaux, leurs affixes sont égales donc :
x-3+i(y+3)=11-i
Les parties réelles sont égales
x-3=11\\x=11+3\\x=14
Les parties imaginaires sont égales
y+3=-1\\y=-1-3\\y=-4
Ainsi z_{D}=14-4i.