Sommaire
Pour s’y retrouver avec les tirages …
On tire k objets parmi les n objets d’un ensemble E.
Tirage successif (l’ordre compte)
Tirage simultané (l’ordre ne compte pas)
Avec remise
Les résultats sont des k-uplets, c’est-à-dire des listes ordonnées de k éléments de E (distincts ou non). Il y en a en tout
n^k
Il n’y a pas de tirage simultané avec remise.
Sans remise
Les résultats sont des k-uplets d’éléments distincts, c’est-à-dire des listes ordonnées de k éléments distincts de E ( dans des exercices anciens, on utilise le mot arrangement).
Il y en a en tout
n\times(n-1)\times…\times(n-k+1)
ou
\frac{n!}{(n-k)!}
Cas particulier : quand k=n, il s’agit de permutations de n objets et il y en a
n!
Les résultats sont des combinaisons de k d’éléments de E, c’est-à-dire des parties de k éléments de E. Il y en a
\binom{n}{k}
k-uplets d’éléments distincts
Exercice n°1
Parmi les listes suivantes, lesquelles sont des 4-uplets d’éléments distincts de l’ensemble E=\{a;b;c;d;e\}.
- abc
2. abce
3. ab2e
4. abcs
5. aace
6. ebcd
7. 1b2e
8. bcd
Exercice n°2
Dans une urne, se trouvent 6 cartons sur lesquels se trouvent les lettres : N, O, M, B, R, E.
Combien peut-on former de mots différents ( qu’ils aient une signification ou non ) en sortant successivement sans remise 4 cartons de l’urne ?
Exercice n°3
Le principe du Tiercé est en soit très simple : il s’agit de trouver les 3 premiers chevaux dans le bon ordre à l’arrivée des courses.
Dans une course comprenant 15 chevaux, quel est le nombre de tiercés différents qu’on peut faire ?
Exercice n°4
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire successivement sans remise 3 jetons du sac.
1. Combien y’a-t-il de tirages différents au total ?
2. Combien y’a-t-il de tirages comportant 3 jetons verts ?
3. Combien y’a-t-il de tirages comportant au moins un jeton rouge ?
4. Combien y’a-t-il de tirages comportant exactement un jeton vert ?
Exercice n°5
Une personne décide de louer un coffre à la banque et elle doit composer un code secret composé de six chiffres distincts compris entre 1 et 8.
- Combien y’a-t-il de choix possibles ?
2. Parmi tous les codes possibles, combien commencent par 1.
permutations
Exercice n°6
On veut prendre une équipe de basket en photo.
Les cinq joueurs sont alignés.
Combien y’a-t-il de façons de les disposer ?
Exercice n°7
Combien d’anagrammes du mot DROITE peut-on former ?
Exercice n°8
Une personne vient d’acquérir une encyclopédie composée de 10 tomes.
Si on la range au hasard sur l’étagère de la bibilothèque, combien y’a-t-il de rangements possibles.
Exemple : On tire successivement sans remise 4 objets parmi 6.
Il s’agit de 4-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 6 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 4 éléments dans un ensemble à 6 éléments.)
On remplace n par 6 et k par 4 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a 6\times(6-1)\times…\times(6-4+1)=6\times 5\times4\times3=360
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 2:Arrangement.
Valider par entrer.
Complèter les cadres puis valider par entrer.
Exemple : On tire successivement sans remise 4 objets parmi 4.
Il s’agit de 4-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 4 éléments, on dit aussi permutations de 4 éléments.
On remplace n par 4dans n!.
Il y en a 4!=4\times3\times2\times1=24
Au clavier
A l’écran
Taper 4 au clavier.
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 4:!
Valider par entrer.
Exemple : On tire simultanément 4 objets parmi 6.
Il s’agit de combinaisons de 4 éléments dans un ensemble à 6 éléments.
On remplace n par 6 et k par 4 dans \binom{n}{p}.
Il y en a \binom{6}{4}=15
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 3:Combinaison.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Parmi les propositions de l’énoncé, on cherche les 4-uplets d’éléments distincts de l’ensemble E=\{a;b;c;d;e\}.
On élimine d’abord toutes les listes qui ne comportent pas 4 éléments : abc , bcd.
On élimine ensuite toutes les listes qui comportent des éléments qui ne sont pas dans E: ab2e , abcs et 1b2e.
On élimine enfin toutes les listes qui comportent plusieurs fois un même élément: aace.
Les listes qui sont des 4-uplets d’éléments distincts de l’ensemble E=\{a;b;c;d;e\} sont :
abce et ebcd.
Dans une urne, se trouvent 6 cartons sur lesquels se trouvent les lettres : N, O, M, B, R, E.
On veut déterminer le nombre de mots différents ( qu’ils aient une signification ou non ) qu’on peut former en sortant successivement sans remise 4 cartons de l’urne ?
Il s’agit de 4-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 6 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 4 éléments dans un ensemble à 6 éléments).
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
1er carton tiré | 2ème carton tiré | 3ème carton tiré | 4ème carton tiré |
6 possibilités | 5 possibilités | 4 possibilités | 3 possibilités |
On peut former 6\times 5\times4\times3=360 mots différents.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
On remplace n par 6 et k par 4 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a 6\times(6-1)\times…\times(6-4+1)=6\times 5\times4\times3=360
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 2:Arrangement.
Valider par entrer.
Complèter les cadres puis valider par entrer.
Le principe du Tiercé est en soit très simple : il s’agit de trouver les 3 premiers chevaux dans le bon ordre à l’arrivée des courses.
Dans une course comprenant 15 chevaux, on se propose de déterminer le nombre de tiercés différents qu’on peut former ?
Il s’agit de 3-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 15 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 3 éléments dans un ensemble à 15 éléments).
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
Le premier cheval | Le second cheval | Le troisième cheval |
15 possibilités | 14 possibilités | 13 possibilités |
On peut former 15\times14\times13=2730 tiercés différents.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
On remplace n par 15 et k par 3 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a 15\times(15-1)\times(15-2)=15\times 14\times13=2730
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 2:Arrangement.
Valider par entrer.
Complèter les cadres puis valider par entrer.
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire successivement et sans remise 3 jetons du sac.
On va déterminer le nombre de tirages différents au total.
Il s’agit de 3-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 9 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 3 éléments dans un ensemble à 9 éléments).
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
Le premier jeton | Le second jeton | Le troisième jeton |
9 possibilités | 8 possibilités | 7 possibilités |
On peut former 9\times8\times7=504 tirages différents.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
On remplace n par 9 et k par 3 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a 9\times(9-1)\times(9-2)=9\times 8\times7=504
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 2:Arrangement.
Valider par entrer.
Complèter les cadres puis valider par entrer.
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire successivement et sans remise 3 jetons du sac.
On va déterminer le nombre de tirages comportant 3 jetons verts ?
Il s’agit de 3-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 3 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 3 éléments dans un ensemble à 3 éléments).
Remarque : on autait pu aussi dire qu’il s’agit de permutations de 3 éléments.
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
Le premier jeton | Le second jeton | Le troisième jeton |
3 possibilités | 2 possibilités | 1 possibilité |
On peut former 3\times2\times1=6 tirages comportant 3 jetons verts.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale sur les k-uplets déléments distincts.
On remplace n par 3 et k par 3 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a 3\times(3-1)\times(3-2)=3\times 2\times1=6 tirages comportant 3 jetons verts.
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 2:Arrangement.
Valider par entrer.
Complèter les cadres puis valider par entrer.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale sur les permutations.
Si E contient n éléments, le nombre de permutations de E est n!.
On remplace n par 3 dans n!.
Il y a 3!=6 tirages comportant 3 jetons verts.
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire successivement et avec remise 3 jetons du sac.
On veut déterminer le nombre de tirages comportant au moins un jeton rouge.
Le contraire de tirer au moins un jeton rouge est de ne tirer aucun jeton rouge, c’est-à-dire de tirer 3 jetons verts.
Comme il y a 6 façons différentes de tirer 3 jetons verts et qu’il y a au total 504 façons de tirer 3 jetons.
Le nombre de tirages comportant au moins un jeton rouge est 504-6=498.
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On tire successivement et sans remise 3 jetons du sac.
On va déterminer le nombre de façons de tirer exactement un jeton vert.
Il s’agit de 3-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 9 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 3 éléments dans un ensemble à 9 éléments).
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
Le premier jeton est vert | Le second jeton est rouge | Le troisième jeton esr rouge |
5 possibilités | 4 possibilités | 4 possibilités |
ou
Le premier jeton est rouge | Le premier jeton est vert | Le premier jeton est rouge |
4 possibilités | 5 possibilités | 4 possibilités |
ou
Le premier jeton est rouge | Le premier jeton est rouge | Le premier jeton est vert |
4 possibilités | 4 possibilités | 5 possibilités |
On peut former 5\times4\times4+4\times5\times4+4\times4\times5=240 tirages différents.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
Il y a 3 façons de placer le jeton vert.
Pour choisir le jeton vert, on choisit 1 parmi 5.
On remplace n par 5 et k par 1 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a 5
Pour choisir les jetons rouges, on choisit 2 parmi 4.
On remplace n par 4 et k par 2 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a 4\times(4-2+1)=4\times3= 12
Le nombre de façons de tirer exactement un jeton vert est 3 \times5\times12=240
Une personne décide de louer un coffre à la banque et elle doit composer un code secret composé de six chiffres distincts compris entre 1 et 8.
On veut déterminer le nombre de choix possibles.
Il s’agit de 6-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 8 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 6 éléments dans un ensemble à 8 éléments).
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
chiffre n°1 | chiffre n°2 | chiffre n°3 | chiffre n°4 | chiffre n°5 | chiffre n°6 |
8 possibilités | 7 possibilités | 6 possibilités | 5 possibilités | 4 possibilités | 3 possibilités |
On peut former 8\times7\times6\times5\times4\times3=20160 choix possibles.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
On remplace n par 8 et k par 6 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a :
8\times(8-1)\times(8-2)\times(8-3)\times(8-4)\times(8-5)=8\times7\times6\times5\times4\times3=20160
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 2:Arrangement.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
Une personne décide de louer un coffre à la banque et elle doit composer un code secret composé de six chiffres distincts compris entre 1 et 8.
On veut déterminer le nombre de codes qui commencent par le chiffre 1.
Le chiffre n°1 est le chiffre 1, il n’y a qu’un seul choix possible. Donc il s’agit de 5-uplets d’éléments distincts dans un ensemble à 7 éléments ( dans les anciens programmes, on disait arrangements de 5 éléments dans un ensemble à 7 éléments).
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
1 | chiffre n°2 | chiffre n°3 | chiffre n°4 | chiffre n°5 | chiffre n°6 |
1 possibilités | 7 possibilités | 6 possibilités | 5 possibilités | 4 possibilités | 3 possibilités |
Il y a 1\times7\times6\times5\times4\times3=2520 choix possibles.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
On remplace n par 7 et k par 5 dans n\times(n-1)\times…\times(n-k+1).
Il y en a :
7\times(7-1)\times(7-2)\times(7-3)\times(7-4)=7\times6\times5\times4\times3=2520
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 2:Arrangement.
Valider par entrer.
Compléter les cadres puis valider par entrer.
On veut prendre une équipe de basket en photo.
Les cinq joueurs sont alignés.
On veut déterminer le nombre de façons de les disposer .
Il s’agit de permutations de 5 éléments.
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
Place n°1 | Place n°2 | Place n°3 | Place n°4 | Place n°5 |
5 possibilités | 4 possibilités | 3 possibilités | 2 possibilités | 1 possibilités |
Il y a 5\times4\times3\times2\times1=120 choix possibles.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
On remplace n par 5 dans n!.
Il y en a :
5!=120
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Saisir la valeur 5.
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 4:!
Valider par entrer.
On veut déterminer le nombre d’anagrammes du mot DROITE peut-on former.
Il s’agit des permutations d’un ensemble à 6 éléments : \{D,R,O,I,T,E\}.
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
lettre n°1 | lettre n°2 | lettre n°3 | lettre n°4 | lettre n°5 | lettre n°6 |
6 possibilités | 5 possibilités | 4 possibilités | 3 possibilités | 2 possibilités | 1 possibilité |
Il y a 6\times5\times4\times3\times2\times1=720 choix possibles.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
On remplace n par 6 dans n!.
Il y en a :
6!=720
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Saisir la valeur 6.
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 4:!
Valider par entrer.
Une personne vient d’acquérir une encyclopédie composée de 10 tomes.
Si on la range au hasard sur l’étagère de la bibilothèque, combien y’a-t-il de rangements possibles.
Il s’agit des permutations d’un ensemble à 10 éléments.
On peut visualiser la situation avec la méthode des cases vue en seconde.
place n°1 | place n°2 | place n°3 | place n°4 | place n°5 | place n°6 | place n°7 | place n°8 | place n°9 | place n°10 |
10 choix | 9 choix | 8 choix | 7 choix | 6 choix | 5 choix | 4 choix | 3 choix | 2 choix | 1 choix |
Il y a 10\times9 \times8 \times7 \times 6\times5\times4\times3\times2\times1=3628800 choix possibles.
On calcule en utilisant les résultats du cours de terminale.
On remplace n par 10 dans n!.
Il y en a :
10!=3628800
On peut vérifier le résultat obtenu avec la calculatrice TI 83 Premium CE
Au clavier
A l’écran
Saisir la valeur 6.
Taper sur la touche math ,se déplacer vers la colonne PROB et sélectionner la ligne 4:!
Valider par entrer.
