T. Exercices type bac 2021 sur les suites

Soit (u_n) la suite définie sur  \mathbf{N}  par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

On veut calculer, en détaillant les calculs, u_1.

C’est une suite définie par récurrence.

Lorsqu’on veut calculer, par exemple  u_1, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici  0 dans la formule u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

u_{0+1}=\frac{3}{4}u_0+\frac{1}{4}\times 0+1

On remplace u_0 par sa valeur 1

u_{0+1}=\frac{3}{4}\times 1+\frac{1}{4}\times 0+1

On calcule en respectant la priorité des opérations. D’abord les produits.

u_{1}=\frac{3}{4}+1

Puis la somme en n’oubliant pas de mettre au même dénominateur.

u_{1}=\frac{3}{4}+1\times \frac{4}{4}\\u_{1}=\frac{3}{4}+\frac{4}{4}\\u_{1}=\frac{7}{4}

Soit (u_n) la suite définie sur  \mathbf{N}  par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

On veut calculer, en détaillant les calculs, u_2.

C’est une suite définie par récurrence.

Lorsqu’on veut calculer, par exemple  u_2, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici  1 dans la formule u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

u_{1+1}=\frac{3}{4}u_1+\frac{1}{4}\times 1+1

On remplace u_1 par sa valeur \frac{7}{4} déterminée précédemment.

u_{1+1}=\frac{3}{4}\times \frac{7}{4}+\frac{1}{4}\times 1+1

On calcule en respectant la priorité des opérations. D’abord les produits.

u_{2}=\frac{21}{16}+\frac{1}{4}+1

Puis la somme en n’oubliant pas de mettre au même dénominateur.

u_{2}=\frac{21}{16}+\frac{1}{4}\times\frac{4}{4}+1\times\frac{16}{16}\\u_{2}=\frac{21}{16}+\frac{4}{16}+\frac{16}{16}\\u_{2}=\frac{41}{16}

Dans la cellule B2, il faut saisir la valeur 1.

Dans la cellule B3, il faut saisir la formule =0.75*B2+0.25*A2+1 et la recopier vers le bas.

Dans la colonne B, les nombres sont rangés dans l’ordre croissant, il semble que la suite (u_n) soit croissante sur \mathbf{N}.

(u_n) est définie par u_0=1 et u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}n+1.

Montrer par récurrence que  n\leq u_n \leq n+1 pour n \in \mathbf{N} .

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_0\leq 1 vraie car u_0=1

Transmission ou hérédité : .

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

n\leq u_n \leq n+1 pour tout  n \in \mathbf{N}

On a montré précédemment, par récurrence, que n\leq u_n \leq n+1 pour n \in \mathbf{N}.

On écrit la propriété au rang n,

n\leq u_n \leq n+1.

On écrit la propriété au rang n+1,

n+1\leq u_{n+1} \leq n+2.

Comme u_n \leq n+1 et n+1\leq u_{n+1} on peut en déduire que u_n\leq u_{n+1} et ce pour tout n \in \mathbf{N}.

Donc la suite (u_n) est croissante sur \mathbf{N}

On a montré précédemment, par récurrence, que n\leq u_n \leq n+1 pour n \in \mathbf{N}.

Ainsi u_n\geq n, or lim_{n\to+\infty}n=+\infty.

Donc, par comparaison,  lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty

On a montré précédemment, par récurrence, que n\leq u_n \leq n+1 pour n \in \mathbf{N}.

On divise l’inégalité par n\ne 0\\\frac{n}{n}\leq \frac{u_n}{n} \leq \frac{n+1}{n}

On simplifie l’écriture

1\leq \frac{u_n}{n} \leq \frac{n}{n}+\frac{1}{n}\\1\leq \frac{u_n}{n} \leq 1+\frac{1}{n}

Donc, d’après le théorème des gendarmes,  lim_{n\to+\infty}u_n=1

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison \frac{3}{4}, nous allons prouver l’égalité suivante v_{n+1}=\frac{3}{4}\times v_n.

On part du premier membre v_{n+1}, on le transforme pour arriver au second membre \frac{3}{4}\times v_n.

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison \frac{3}{4}.

On veut montrer que u_n=(\frac{3}{4})^n+n

1.On va utiliser l'égalité v_n=u_n-n pour trouver une expression de u_n.

v_n=u_n-n

A=B et B=A sont des égalités équivalentes.

u_n-n=v_n

-n n'est pas à sa place, j'ajoute n de chaque côté.

u_n=v_n+n

2.On va exprimer  v_n en fonction de n.

On a montré que la suite (v_n) est géométrique de raison \frac{3}{4}.

Donc v_n=v_0\times(\frac{3}{4})^n

Calculons v_0.

On remplace n par 0 dans v_{n}=u_{n}-n.

v_{0}=u_{0}-0

v_{0}=1-0

v_{0}=1

Ainsi v_n=1\times(\frac{3}{4})^n

Comme v_n=(\frac{3}{4})^n

3.On conclut

On remplace v_n par (\frac{3}{4})^n dans u_n=v_n+n.

u_n=(\frac{3}{4})^n+n.

Soit (u_n) et (v_n) deux suites définies sur  \mathbf{N}  par

u_0=v_0=1

u_{n+1}=u_n+v_n

v_{n+1}=2u_n+v_n

On veut calculer u_1 et v_1.

Soit (u_n) et (v_n) deux suites définies sur  \mathbf{N}  par

u_0=v_0=1 

u_{n+1}=u_n+v_n 

v_{n+1}=2u_n+v_n 

On veut étudier les variations de la suite  (v_n).

On va calculer v_{n+1}-v_n et étudier le signe de la différence.

v_{n+1}=2u_n+v_n

On enlève v_n de chaque côté et on fait apparaître la différence  v_{n+1}-v_n à gauche.

v_{n+1}-v_n=2u_n

Il est écrit dans l'énoncé que dans toute la suite de l’exercice, on admet que les suites (u_n) et (v_n) sont strictement positives.

Donc la différence v_{n+1}-v_n est toujours positive donc la suite (v_n) est croissante sur \mathbf{N}.

Comme la suite (v_n) est croissante sur \mathbf{N}, tous les termes de la suite sont plus grands ou égal au premier terme donc

v_n\geq 1 pour tout  n \in \mathbf{N}

Soit (u_n) et (v_n) deux suites définies sur  \mathbf{N}  par

u_0=v_0=1 

u_{n+1}=u_n+v_n 

v_{n+1}=2u_n+v_n 

On veut montrer par récurrence que  u_n \geq n+1 pour n \in \mathbf{N}.

Initialisation : J'écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

u_0\geq 0+ 1 vraie car u_0=1

Transmission ou hérédité : .

Conclusion : J'écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

u_n \geq n+1 pour tout  n \in \mathbf{N}

On a montré précédemment, par récurrence, que u_n \geq n+1 pour n \in \mathbf{N}.

Or lim_{n\to+\infty}n+1=+\infty.

Donc, par comparaison,  lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty

On veut montrer que pour tout entier naturel n :

-\frac{1}{u_n^2}\leq \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\leq \frac{1}{u_n^2}

Donc pour tout entier naturel n :

-\frac{1}{u_n^2}\leq \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\leq \frac{1}{u_n^2}

On veut déduire des questions précédentes le calcul de lim_{n\to+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}.

On a montré précédemment que -\frac{1}{u_n^2}\leq \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}\leq \frac{1}{u_n^2} pour n \in \mathbf{N}.

Donc, d'après le théorème des gendarmes, lim_{n\to+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0

On rappelle que

r_n^2=2+\frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}

1.On veut calculer lim_{n\to+\infty}r_n^2

Par somme,

lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}+2=2.

Donc

lim_{n\to+\infty}r_n^2=2

2.On veut montrer que (r_n) converge.

Comme lim_{n\to+\infty}r_n^2=2 alors lim_{n\to+\infty}r_n=\sqrt{2}.

Et donc (r_n) converge vers \sqrt{2}.

En général, on part du membre de gauche pour parvenir au membre de droite. Par souci d'élégance on partira du membre de droite.

Donc r_{n+1}=\frac{2+r_n}{1+r_n} pour tout n \in \mathbf{N}.

On fait tourner l'algorithme à la main et on consigne les résultats obtenus dans le tableau ci-dessous.

Pour l'avant-dernière colonne  on teste  |r-\sqrt{2}|>0.0001 car 0.0004>0.0001 ,   r reçoit la valeur 1.4143 et n reçoit la valeur 5. On calcule |r-\sqrt{2}|, on obtient 0.00008.

Pour la dernière colonne  on teste  |r-\sqrt{2}|<0.0001 car 0.00008<0.0001 donc on renvoie la dernière valeur de n c'est-à-dire 5.

La valeur trouvée 5 correspond à la plus petite valeur de n pour laquelle la distance entre r_n et \sqrt{2} est
inférieure ou égale à 10^{-4}.
.

Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite (u_n) définie par :

u_0=0.6

u_{n+1}=0.75u_n(1-0.15u_n)

où pour tout entier naturel n, u_n désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année 2020+n.
Le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021, cela correspond à n=1

(u_n) est une suite définie par récurrence.

Lorsqu'on veut calculer, par exemple  u_1, il faut remplacer tous les n par l'entier précédent, ici  0 dans la formule u_{n+1}=0.75u_n(1-0.15u_n).

u_{0+1}=0.75u_0(1-0.15u_0)

On remplace u_0 par sa valeur 0.6. 

u_{0+1}=0.75\times 0.6(1-0.15\times 0.6)\\u_{1}=0.45(1-0.09)\\u_{1}=0.45\times 0.91\\u_{1}=0.4095

Il y a donc 410 individus au début de l'année 2021.

Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite (u_n) définie par :

u_0=0.6

u_{n+1}=0.75u_n(1-0.15u_n)

où pour tout entier naturel n, u_n désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année 2020+n.
Le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2022, cela correspond à n=2

(u_n) est une suite définie par récurrence.

Lorsqu'on veut calculer, par exemple  u_2, il faut remplacer tous les n par l'entier précédent, ici  1 dans la formule u_{n+1}=0.75u_n(1-0.15u_n).

u_{1+1}=0.75u_1(1-0.15u_1)

On remplace u_1 par sa valeur 0.4095. 

u_{0+1}=0.75\times 0.4095(1-0.15\times 0.4095)\\u_{2}=0.307125(1-0.061425)\\u_{2}=0.307125\times 0.938575\\u_{2}=0.28825

Il y a donc 288 individus au début de l'année 2022.

Soit f  la fonction définie sur l’intervalle [0;1]  par f(x)=0.75x(1-0.15x) .
On veut montrer que la fonction f  est croissante sur l’intervalle [0;1] et dresser son tableau de variations.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d'un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l'inverse d'une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C'est le produit de deux fonctions u\times v avec  u(x)=0.75x et v(x)=1-0.15x.

On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

Dérivées et fonctions composées

Dérivées des fonctions de référence

La dernière ligne concerne une fonction qu'on étudiera en Terminale.

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  0.75x,  v par 1-0.15x, u' par  0.75 et v' par -0.15 dans la formule u'\times v+u\times v' 

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (0.75x(1-0.15x))'\\f'(x)=(0.75x)'\times{(1-0.15x)}+0.75x\times{(1-0.15x)'} \\f'(x)=0.75\times{(1-0.15x)}+0.75x\times{(-0.15)} \\f'(x)=0.75-0.75\times 0.15x-0.1125x \\f'(x)=0.75-0.1125x-0.1125x \\f'(x)=0.75-0.2250x

4. On va étudier le signe de f'(x)=0.75-0.2250x.

f'(x)=0.75-0.2250x est une somme, on clique sur le + de La quantité est de la forme ax+b

On étudie le signe de 0.75-0.2250x, en cliquant dans le tableau sur le + de la 2ème ligne : la quantité est de la forme ax+b.

a=-0.2250 il est donc négatif.

-\frac{b}{a}=-\frac{0.75}{-0.2250}=\frac{10}{3}.

Voici le tableau de signe de 0.75-0.2250x sur \mathbf{R}

Donc f'(x) est positif sur l’intervalle [0;1] et donc f est croissante sur l’intervalle [0;1]\\f(0)=0.75\times 0(1-0.15\times 0)\\f(0)=0\\f(1)=0.75\times 1(1-0.15\times 1)\\f(1)=0.75\times 0.85\\f(1)=0.6375

On en déduit le tableau de variations suivant :

On veut résoudre f(x)=x sur l’intervalle [0;1].

On remplace  f(x) par 0.75x(1-0.15x) dans f(x)=x.

0.75x(1-0.15x)=x

Mieux vaut tout faire passer à gauche puis factoriser et appliquer la règle du produit nul.

0.75x(1-0.15x)-x=0

On met x en facteur.

x(0.75(1-0.15x)-1)=0

On peut développer et réduire dans la grande parenthèse.

x(0.75\times 1-0.75\times 0.15x-1)=0

x(0.75-0.1125x-1)=0

x(-0.1125x-0.25)=0

On applique la règle du produit nul.

x=0\hspace{1cm} ou \hspace{1cm}-0.1125x-0.25=0

x=0\hspace{1cm} ou \hspace{1cm}-0.1125x=0.25

x=0\hspace{1cm} ou \hspace{1cm}-x=-\frac{0.25}{0.1125}

Comme on résout l’équation sur [0;1], seule la solution 0 convient car -\frac{0.25}{0.1125} est négative et n’appartient pas à [0;1].

On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel n , u_{n+1}=f(u_n).
On veut montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

0\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 1.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_{0+1}\leq u_0\leq 1 vraie car u_0=1 et  u_1=0.4095

Transmission ou hérédité : .

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

0\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 1 pour n \in \mathbf{N}

On a montré précédemment que 0\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 1 pour n \in \mathbf{N}.

Comme u_{n+1}\leq u_n pour n \in \mathbf{N}, la suite (u_n) est décroissante.

Comme u_{n}\geq 0 pour n \in \mathbf{N}, la suite (u_n) est minorée par 0.

Donc la suite (u_n) est convergente.

On a vu précédemment que la suite (u_n) converge. Si on nomme l sa limite, elle vérifie f(l)=l.   On a vu aussi précédemment que sur [0;1] cette équation admettait 0 pour solution.

Donc 
lim_{n\to{+\infty}}u_n=0.

Comme lim_{n\to{+\infty}}u_n=0 le nombre d’individus se rapproche de zéro donc le biologiste a raison

On fait tourner l’algorithme à la main et on consigne les résultats obtenus dans le tableau ci-dessous.

A l’avant-dernière colonne, on teste : 0.0249> 0.02 donc u prend la valeur 0.0186 et n prend la valeur 11

Pour la dernière colonne, on teste : 0.0186< 0.02 donc l’algorithme renvoie la valeur 11.

Donc l’espèce sera menacée d’extinction en 2031.

u_0=10000 et u_{n+1}=0.95u_n+200

(u_n) est une suite définie par récurrence.

Lorsqu’on veut calculer, par exemple  u_1, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici  0 dans la formule u_{n+1}=0.95u_n+200 .

u_{0+1}=0.95u_0+200

On remplace u_0 par sa valeur 10000. 

u_{0+1}=0.95\times 10000+200\\u_{1}=9500+200\\u_{1}=9700

Lorsqu’on veut calculer, par exemple  u_2, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici  1 dans la formule u_{n+1}=0.95u_n+200 .

u_{1+1}=0.95u_1+200

On remplace u_1 par sa valeur 9700. 

u_{1+1}=0.95\times 9700+200\\u_{2}=9215+200\\u_{2}=9415

On veut montrer par récurrence que  u_n > 4000 pour n \in \mathbf{N}.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

u_0> 4000 vraie car u_0=10000

Transmission ou hérédité : .

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

u_n >4000 pour tout  n \in \mathbf{N}

On admet que la suite (u_n) est décroissante.

On a montré précédemment que  u_{n}>4000 0 pour n \in \mathbf{N}, donc la suite (u_n) est minorée par 4000.

Donc la suite (u_n) est convergente.

Pour tout entier naturel n, on considère la suite (v_n) définie par : v_n=u_n-4000.
Pour calculer v_0, on remplace tous les n par 0 dans v_n=u_n-4000

v_0=u_0-4000

On remplace u_0 par 10000

v_0=10000-4000

v_0=6000

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.95, nous allons prouver l’égalité suivante v_{n+1}=0.95\times v_n.

On part du premier membre v_{n+1}, on le transforme pour arriver au second membre 0.95\times v_n.

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 0.95.

On veut montrer que u_n=4000+6000\times(0.95)^n

1.On va utiliser l'égalité v_n=u_n-4000 pour trouver une expression de u_n.

v_n=u_n-4000

A=B et B=A sont des égalités équivalentes.

u_n-4000=v_n

-4000 n'est pas à sa place, j'ajoute 4000 de chaque côté.

u_n=v_n+4000

2.On va exprimer  v_n en fonction de n.

On a montré que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.95 et de premier terme v_0=6000.

Donc v_n=6000\times(0.95)^n

3.On conclut

On remplace v_n par 6000\times(0.95)^n dans u_n=v_n+4000.

u_n=6000\times(0.95)^n+4000

Donc, d'après le théorème sur la somme, lim_{n\to+\infty}\hspace{0.3cm} 4000+6000\times 0.95^n=4000

u_n correspond au nombre d’individus de l’espèce animale au rang n.

On a montré que : lim_{n\to +\infty} u_n=4000, le nombre d'individus se rapprochera de 4000 qui est inférieur à la moitié de 10000. Donc la responsable a raison.

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte 1000 abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi : chaque année, elle perd 10 % de ses abonnés auxquels s’ajoutent 250 nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel n, on note u_n le nombre d’abonnés à son profil en l’année (2020+n), suivant cette modélisation, u_0=1000.

Pour calculer u_1, il faut enlever 10% de u_0 puis ajouter 250.

Enlever 10% de u_0 revient à multiplier  u_0 par (1-\frac{10}{100}) c'est-à-dire  0.9. Ainsi :

u_1=0.9\times u_0+250

On remplace u_0 par sa valeur 1000. 

u_1=0.9\times 1000+250\\u_1=900+250\\u_1=1150

En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte 1000 abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi : chaque année, elle perd 10 % de ses abonnés auxquels s’ajoutent 250 nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel n, on note u_n le nombre d’abonnés à son profil en l’année (2020+n), suivant cette modélisation, u_0=1000.

Pour exprimer u_{n+1} en fonction de u_{n}, il faut enlever 10% de u_n puis ajouter 250.

Enlever 10% de u_n revient à multiplier  u_n par (1-\frac{10}{100}) c'est-à-dire  0.9. Ainsi :

u_{n+1}=0.9\times u_n+250

On va faire tourner l'algorithme suivant :

en complétant le tableau ci-dessous :

Avec l'instruction for i in range(10), les valeurs prises par i vont de 0 à 9.

Attention pour i=0 , u reçoit 0.9*1000+250, c'est-à-dire la valeur de u_1

i=9 , u reçoit 0.9*1918.9+250, c'est-à-dire la valeur de u_{10}

La valeur renvoyée par suite(10) est u_{10}.

On veut montrer par récurrence que  u_n \leq 2500 pour n \in \mathbf{N}.

Initialisation : J'écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

u_0\leq  2500 vraie car u_0=1000

Transmission ou hérédité : .

Conclusion : J'écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

u_n \leq 2500 pour tout  n \in \mathbf{N}

On va montrer que la suite (u_n) est croissante en montrant que le signe de u_{n+1}-u_n est positif.

On calcule u_{n+1}-u_n en remplaçant u_{n+1} par 0.9u_n+250.

u_{n+1}-u_n=0.9u_n+250-u_n

On réduit la somme

u_{n+1}-u_n=-0.1u_n+250.

On étudie le signe de -0.1u_n+250 en cliquant sur le + de la quantité est de la forme ax+b

On a a=-0.1, b=250, -\frac{b}{a}=-\frac{250}{-0.1}=250.

Le signe de a=-0.1 est négatif.

On a montré que u_n\leq 2500. Donc on étudie le signe de -0.1u_n+250 sur l'intervalle ]-\infty;2500] à l’aide du tableau suivant :

Donc  u_{n+1}-u_n est positif donc la suite  (u_n)est croissante  \mathbf{N}.

On a montré précédemment que la suite (u_n) est croissante.

On a aussi montré précédemment que u_{n}\leq 2500 pour n \in \mathbf{N} donc la suite (u_n) est majorée par 2500.

Donc la suite (u_n) est convergente.

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.9, nous allons prouver l’égalité suivante v_{n+1}=0.9\times v_n.

On part du premier membre v_{n+1}, on le transforme pour arriver au second membre 0.9\times v_n.

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 0.9.

Pour calculer v_0, on remplace n par 0 dans v_n=u_n-2500.

v_0=u_0-2500

On remplace u_0 par 1000.

v_0=1000-2500

v_0=-1500

On veut montrer que u_n=-1500\times 0.9^n+2500

1.On va utiliser l'égalité v_n=u_n-2500 pour trouver une expression de u_n.

v_n=u_n-2500

A=B et B=A sont des égalités équivalentes.

u_n-2500=v_n

-2500 n'est pas à sa place, j'ajoute 2500 de chaque côté.

u_n=v_n+2500

2.On va exprimer  v_n en fonction de n.

On a montré que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.9 et de premier terme v_0=-1500.

Donc v_n=-1500\times 0.9^n

3.On conclut

On remplace v_n par -1500\times 0.9^n dans u_n=v_n+2500.

u_n=-1500\times 0.9^n+2500

Donc, d'après le théorème sur la somme, lim_{n\to+\infty}\hspace{0.3cm} -1500\times 0.9^n+2500=2500.

Ainsi dans le futur, le nombre d'abonnés se stabilisera à 2500.

Voici une proposition de programme.

La valeur retournée est 16

En mai 2020, seuls 200 d’entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que 85 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite (a_n).
a_0=200.

Pour calculer a_1, il faut ajouter 85% de a_0 et 450.

Pour calculer 85% de a_0, on effectue le produit 0.85\times a_0

a_1=0.85\times a_0+450

On remplace a_0 par sa valeur 200. 

a_1=0.85\times 200+450\\a_1=170+450\\a_1=620

Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que 85 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite (a_n).

Pour exprimer a_{n+1} en fonction de a_{n}, il faut ajouter 85% de a_n et 450.

Pour calculer 85% de a_n, on effectue le produit 0.85\times a_n. Ainsi :

a_{n+1}=0.85\times a_n+450

Pour montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85, nous allons prouver l'égalité suivante v_{n+1}=0.85\times v_n.

On part du premier membre v_{n+1}, on le transforme pour arriver au second membre 0.85\times v_n.

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85.

Pour calculer v_0, on remplace n par 0 dans v_n=a_n-3000.

v_0=a_0-3000

On remplace a_0 par 200.

v_0=200-3000

v_0=-2800

On a montré que la suite (v_n) est géométrique de raison 0.85 et de premier terme v_0=-2800.

Pour exprimer v_n en fonction de n , on remplace v_0 par -2800 et  q par 0.85 dans la formule explicite d'une suite géométrique v_n=v_0\times q^n.

v_n=-2800\times 0.85^n

On veut montrer que u_n=-2800\times 0.85^n+3000

1.On va utiliser l'égalité v_n=a_n-3000 pour trouver une expression de a_n.

v_n=a_n-3000

A=B et B=A sont des égalités équivalentes.

a_n-3000=v_n

-3000 n'est pas à sa place, j'ajoute 3000 de chaque côté.

a_n=v_n+3000

2.On va exprimer  v_n en fonction de n.

On a montré v_n=-2800\times 0.85^n

3.On conclut

On remplace v_n par -2800\times 0.85^n dans a_n=v_n+3000.

a_n=-2800\times 0.85^n+3000

On conjecture que c'est à partir du rang 11 que a_n>2500.

On veut déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2500.

On va résoudre a_n\geq 2500.

C'est-à-dire

-2800\times 0.85^n+3000\geq 2500

3000 n'est pas à sa place, on enlève 3000 de chaque côté

-2800\times 0.85^n\geq 2500-3000

-2800\times 0.85^n\geq -500

-2800 n'est pas à sa place, c'est un facteur dans un produit, on divise par -2800 de chaque côté. Comme il est négatif le sens de l'inégalité change.

0.85^n\leq \frac{-500}{-2800}

0.85^n\leq \frac{5}{28}

On va utiliser la fonction logarithme népérien. Comme elle est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.

ln(0.85^n)\leq ln(\frac{5}{28})

On utilise la propriété ln(a^n)=n\times ln(a)

n\times ln(0.85)\leq ln(\frac{5}{28})

ln(0.85) n'est pas à sa place, c'est un facteur dans un produit, on divise par ln(0.85) de chaque côté. Comme 0.85<1, ln(0.85) est négatif le sens de l'inégalité change.

n\geq \frac{ln(\frac{5}{28})}{ln(0.85)}

Après calcul à la calculatrice.

n\geq 10.6

Donc le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2500 est 11.

Soit f  la fonction définie sur l’intervalle [0;+\infty[  par f(x)=\frac{5x+4}{x+2} .
On veut montrer que la fonction f  est croissante sur l’intervalle [0;+\infty[.

1.On veut calculer f'(x).

On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d'un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l'inverse d'une fonction ou le quotient de deux fonctions ?

C'est le quotient de deux fonctions \frac{u}{v} avec  u(x)=5x+4 et v(x)=x+2.

On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.

Dérivées et opérations

Dérivées et fonctions composées

Dérivées des fonctions de référence

La dernière ligne concerne une fonction qu'on étudiera en Terminale.

3. On calcule la dérivée f'(x) 

On remplace u par  5x+4,  v par x+2, u' par  5 et v' par 1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}

Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :

f'(x)= (\frac{5x+4}{x+2})'\\f'(x)=\frac{(5x+4)'\times{(x+2)}-(5x+4]\times{(x+2)'}}{(x+2)^2} \\f'(x)=\frac{5\times{(x+2)}-(5x+4]\times 1}{(x+2)^2} \\f'(x)=\frac{5x+10-(5x+4)}{(x+2)^2} \\f'(x)=\frac{5x+10-5x-4}{(x+2)^2} \\f'(x)=\frac{6}{(x+2)^2}

4. On va étudier le signe de f'(x)=\frac{6}{(x+2)^2}.

f'(x)=\frac{6}{(x+2)^2} est un quotient de deux quantités positives donc f'(x) est positive et donc f est croissante sur l’intervalle [0;+\infty[

On veut montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

0\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 4.

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

0\leq u_{0}\leq u_{0+1}\leq 4 vraie car u_0=1 et u_1=f(u_0)=\frac{5\times 1+4}{1+2}=\frac{9}{3}=3

Transmission ou hérédité : .

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

0\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 4 pour n \in \mathbf{N}

On a montré précédemment que 0\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 4 pour n \in \mathbf{N}.

Comme u_{n}\leq u_{n+1} pour n \in \mathbf{N}, la suite (u_n) est croissante.

Comme u_{n}\leq 4 pour n \in \mathbf{N}, la suite (u_n) est majorée par 4.

Donc la suite (u_n) est convergente.

On admet que 0\leq 4-u_n\leq 3\times (\frac{1}{2})^n pour n \in \mathbf{N}.

Donc, d’après le théorème des gendarmes, lim_{n\to+\infty}\hspace{0.3cm} 4-u_n=0.

Donc lim_{n\to+\infty}\hspace{0.3cm} u_n=4

Dans le contexte de l’exercice le nombre de collaborateurs satisfaits va tendre vers 4000.

Soit (u_n) la suite définie sur  \mathbf{N}  par u_0=\frac{1}{2} et u_{n+1}=f(u_n).

On veut calculer u_1.

C’est une suite définie par récurrence.

Lorsqu’on veut calculer, par exemple  u_1, il faut remplacer tous les n par l’entier précédent, ici  0 dans la formule u_{n+1}=f(u_n).

u_{0+1}=f(u_0)

On remplace u_0 par sa valeur \frac{1}{2}

u_{0+1}=f(\frac{1}{2})

Puis on remplace x par \frac{1}{2} dans f(x)=\frac{4x}{1+3x}

u_{1}=\frac{4\times{\frac{1}{2}}}{1+3\times{\frac{1}{2}}}

On effectue les produits

u_{1}=\frac{2}{1+\frac{3}{2}}

Puis la somme en n’oubliant pas de mettre au même dénominateur.

u_{1}=\frac{2}{1\times \frac{2}{2}+\frac{3}{2}}

u_{1}=\frac{2}{\frac{5}{2}}

Diviser par \frac{5}{2} revient à multiplier par \frac{2}{5}

u_{1}={2}\times{\frac{2}{5}}

u_{1}={\frac{4}{5}}

 On admet que la fonction f est croissante sur l’intervalle ]-\frac{1}{3};+\infty[¸
On veut montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :

\frac{1}{2}\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 2

Initialisation : J’écris la propriété au premier rang en remplaçant tous les n par 0.

\frac{1}{2}\leq u_{0}\leq u_{0+1}\leq 2 vraie car u_0=\frac{1}{2} et u_1=\frac{4}{5}

Transmission ou hérédité : .

Conclusion : J’écris la propriété au rang  n et je rajoute pour tout n.

\frac{1}{2}\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 2 pour n \in \mathbf{N}

On a admis que la suite (u_n) est croissante.

On a montré précédemment que \frac{1}{2}\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 2 pour n \in \mathbf{N}. Donc  u_{n}\leq 2 pour n \in \mathbf{N} et donc la suite (u_n) est majorée par 2.

Donc la suite (u_n) est convergente.

On a vu précédemment que la suite (u_n) converge. Si on nomme l sa limite, elle vérifie f(l)=l.

Il faut donc résoudre l’équation

\frac{4l}{1+3l}=l

On peut faire le produit en croix.

{4l}\times{1}={(1+3l)}\times{l}

Au lieu de développer, on fait tout passer à gauche pour avoir 0 à droite. 

4l-{(1+3l)}\times{l}=0

On met l en facteur.

l(4-(1+3l))=0\\l(4-1-3l)=0\\l(3-3l))=0

On applique la règle du produit nul.

l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}3-3l=0\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}-3l=-3\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}l=\frac{-3}{-3}\\l=0\hspace{0.5cm} ou \hspace{0.5cm}l=1

On a vu précédemment que u_n\geq \frac{1}{2} donc on ne garde que la valeur 1.

Donc 
lim_{n\to{+\infty}}u_n=1.

Dans cette question,  E=10^{-4}.On fait tourner l’algorithme à la main et on consigne les résultats obtenus dans le tableau ci-dessous.

A l’avant-dernière colonne, on teste : 0.00024\geq 0.0001 donc u prend la valeur 0.99994 et n prend la valeur 7

Pour la dernière colonne, on teste : 0.00006< 0.0001 donc l’algorithme renvoie la valeur 7.

On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n , par :
v_n=\frac{u_n}{1-u_n}
On va montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 4.
Puis en déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de v_n en fonction de n.

Donc la suite (v_n) est géométrique de raison 4.

Pour calculer v_0, on remplace n par 0 dans v_n=\frac{u_n}{1-u_n}.

v_0=\frac{u_0}{1-u_0}

On remplace u_0 par \frac{1}{2}.

v_0=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\\v_0=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}

v_0=1

On remplace ensuite v_0 par 1 et q par 4 dans v_n=v_0\times q^n.

v_n=1\times 4^n

v_n=4^n

On veut montrer que u_n=\frac{v_n}{v_n+1}

On va utiliser l’égalité v_n=\frac{u_n}{1-u_n} pour trouver une expression de u_n.

v_n=\frac{u_n}{1-u_n}

On fait le produit en croix

v_n\times (1-u_n)=1\times u_n

On développe

v_n-v_nu_n= u_n

v_n n’est pas à sa place, j’enlève v_n de chaque côté.

-v_nu_n= u_n-v_n

u_n n’est pas à sa place, j’enlève u_n de chaque côté.

-v_nu_n-u_n= -v_n

Je mets u_n en facteur dans le membre de gauche.

u_n(-v_n-1)= -v_n

Je divise par -v_n-1 de chaque côté.

u_n=\frac{-v_n}{-v_n-1}\\u_n=\frac{v_n}{v_n+1}

On veut montrer que u_n=\frac{1}{1+0.25^n} et retrouver par le calcul la limite de la suite (u_n).

On a montré que la suite (v_n) est géométrique de raison 4 et de premier terme v_0=1.

Donc v_n=4^n

On remplace v_n par 4^n dans u_n=\frac{v_n}{v_n+1}.

u_n=\frac{4^n}{4^n+1}

On met 4^n en facteur au numérateur et au dénominateur.

u_n=\frac{4^n\times 1}{4^n(1+\frac{1}{4^n})}

On simplifie

u_n=\frac{ 1}{(1+\frac{1}{4^n})}

De plus \frac{1}{4^n}=\frac{1^n}{4^n}=(\frac{1}{4})^n=0.25^n

u_n=\frac{ 1}{(1+0.25^n)}

Donc, en utilisant le théorème sur le quotient des limites  lim_{n\to+\infty}\hspace{0.3cm}\frac{ 1}{(1+0.25^n)}=1

Donc lim_{n\to+\infty}\hspace{0.3cm}u_n=1