1. Dérivée et variations
Propriétés :
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur ]0;+\infty[ et pour tout x \in ]0;+\infty[ , ln'(x)=\frac{1}{x}.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, telle que, pour tout x\in I , u(x)>0.
La fonction ln\circ u : x\to ln (u(x)) est dérivable sur I et (ln\circ u)'= \frac{u'}{u}.
Exercice n°1 :
Calculer f'(x) dans chaque cas.
On peut utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer le résultat de la question 1 , saisir f(x)=\frac{1}{x}-2ln(x) puis cliquer sur le 9ème onglet ( f’ ).
S’affiche alors : Dérivée : f'(x)=\frac{-2}{x}-\frac{1}{x^2}
- f(x)=\frac{1}{x}-2ln(x)
pour x \in ]0;+\infty[
2. f(x)=2xln(x)
pour x \in ]0;+\infty[
3. f(x)=ln(2x^2+1)
pour x \in \mathbf{R}
4. f(x)=(x-2)ln(3x)
pour x \in ]0;+\infty[
5. f(x)=\frac{2ln(x)+1}{x}
pour x \in ]0;+\infty[
6. f(x)=ln^3(x)
pour x \in ]0;+\infty[
7. f(x)=\frac{2ln(x)-2}{x^2}
pour x \in ]0;+\infty[
8. f(x)=ln(\frac{x-2}{x+2})
pour x \in ]2;+\infty[
9. f(x)=ln(\frac{x^2}{x+2})
pour x \in ]-2;+\infty[
Propriété :
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+\infty[.
Conséquence n°1 :
Pour tous réels a et b appartenant à ]0;+\infty[:
ln(a)=ln(b) \iff a=b
Exercice n°2 :
Résoudre les équations suivantes (ne pas oublier de déterminer l’ensemble d’existence à chaque fois).
On peut utiliser la fenêtre active Géogébra ci-dessous pour conjecturer le résultat de la question 1 , saisir ln(2-2x)=ln(4+2x)) puis cliquer sur le 7ème onglet (X= ).
S’affiche alors : Résoudre : \{x=\frac{-1}{2}\}
ln(2-2x)=ln(4+2x)
ln(x)+ln(x-1)=ln(2)
2ln(x)=ln(6x-9)
Conséquence n°2 :
Pour tous réels a et b appartenant à ]0;+\infty[:
ln(a)\leq ln(b) \iff a\leq b
Exercice n°3 :
Résoudre les inéquations suivantes (ne pas oublier de déterminer l’ensemble d’existence à chaque fois).
On peut utiliser la fenêtre active Géogébra de l’exercice n°2 pour conjecturer le résultat de la question 1 , saisir ln(3-3x)>ln(1+x)) puis cliquer sur le 7ème onglet (X= ).
S’affiche alors : Résoudre : \{-1<x<\frac{1}{2}\}
ln(3-3x)>ln(1+x)
ln(x)+ln(x-1)<ln(6)
2ln(x)\leq ln(5x-4)
2. Limites
Propriétés :
lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}ln(x)=-\infty
lim_{x\to {+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty
Conséquences :
La courbe de la fonction logarithme népérien admet une asymptote verticale d’équation x=0.
Le tableau de la fonction ln est le suivant :
Exercice n°4 :
Calculer les limites suivantes
- lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}xln(x)
2. lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}x^3-3ln(x)
3. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}ln(\frac{3+x}{x+1})
4. lim_{x\to -\infty}\hspace{0.2cm}ln(2-x)
5. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2-ln(x)-1
6. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ln(x)-1}
Propriétés ( croissances comparées ) :
lim_{x\to +\infty}\frac{ln(x)}{x}=0\\lim_{x\to 0}xln(x)=0
Pour tout entier naturel n\geq 2 , lim_{x\to +\infty}\frac{ln(x)}{x^n}=0 et lim_{x\to 0}x^nln(x)=0
Exercice n°5 :
Calculer les limites suivantes
1. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)-2}{x}
2. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}ln(x)-x
3. lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(2+x)}{x}
4. lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{xln(x)}{x^2+1}
Exercice n°6 :
Soit la fonction définie sur ]2;+\infty[ par f(x)=ln(2x-4).
- Calculer lim_{x\to 2}f(x) et lim_{x\to +\infty}f(x).
2.a. Calculer f'(x).
2.b. Etudier le signe de f'(x) sur ]2;+\infty[.
2.c. Dresser le tableau de variations de f sur ]2;+\infty[.
Exercice n°7 :
Soit la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=xln(x).
- Calculer lim_{x\to 0}f(x) et lim_{x\to +\infty}f(x).
2.a. Calculer f'(x).
2.b. Etudier le signe de f'(x) sur ]0;+\infty[.
2.c. Dresser le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[.
Exercice n°8 :
Soit la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=\frac{ln(x)}{x}.
- Calculer lim_{x\to 0}f(x) et lim_{x\to +\infty}f(x).
2.a. Calculer f'(x).
2.b. Etudier le signe de f'(x) sur ]0;+\infty[.
2.c. Dresser le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[.
Exercice n°9 :
Soit la fonction définie sur ]0;+\infty[ par f(x)=(ln(x))^2-ln(x)-1.
- Calculer lim_{x\to 0}f(x) et lim_{x\to +\infty}f(x).
2.a. Calculer f'(x).
2.b. Etudier le signe de f'(x) sur ]0;+\infty[.
2.c. Dresser le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[.
f(x)=\frac{1}{x}-2ln(x) pour x \in ]0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de deux termes :
\frac{1}{x} et -2ln(x).
La dérivée d’une somme est la somme des dérivées d’après le tableau n°1 ci-dessous
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
Il faut donc calculer les dérivées des deux termes \frac{1}{x} et -2ln(x) en utilisant le deuxième tableau et le cas échéant le premier tableau.
Je calcule la dérivée de \frac{1}{x}
C’est une fonction de référence, j‘utilise la ligne inverse du 3ème tableau.
(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}
Je calcule la dérivée de -2ln(x) .
J’utilise la propriété n°2 du tableau n°1 ci-dessus
(-2ln(x))'=-2\times{(ln(x))'}
ln(x) est une fonction de référence, j‘utilise la ligne logarithme népérien du 3ième tableau.
(-2ln(x))'=-2\times\frac{1}{x}
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie (dans cette correction, il y a toutes les étapes de calculs pour que chacun de mes abonnés puisse la comprendre)
f'(x)= (\frac{1}{x}-2ln(x))'\\\hspace{0.9cm}= (\frac{1}{x})'-2(ln(x))'\\\hspace{0.9cm}=- \frac{1}{x^2}-2\times \frac{1}{x}\\\hspace{0.9cm}=- \frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}
f(x)=2xln(x)
pour x \in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=2x et v(x)=ln(x).
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2x
On utilise la propriété n°2 du tableau n°1 ci-dessus.
u'(x)=2(x)'
x est une fonction de référence, on utilise la ligne n°2 du troisième tableau.
u'(x)=2\times 1
\hspace{0.9cm}=2
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=ln(x) c’est une fonction de référence, on utilise la dernière ligne du troisième tableau.
v'(x)=\frac{1}{x}
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par 2x, v par ln(x), u' par 2 et v' par \frac{1}{x} dans la formule u'\times v+u\times v'
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (2xln(x))'\\f'(x)=(2x)'\times{ln(x)}+2x\times{(ln(x))'} \\f'(x)=2\times{ln(x)}+2x\times{\frac{1}{x}} \\f'(x)=2ln(x)+2
f(x)= ln(2x^2+1) pour x\in \mathbf{R}.
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou ln(u(x)) ? (la liste s’allonge)
C’est de la forme ln(u(x)) avec u(x)=2x^2+1.
D’après le cours : La fonction ln(u):x\rightarrow ln(u(x)) est dérivable et (ln(u))'(x)= \frac{u'(x)}{u(x)}
Calcul de u'(x)
u'(x)=(2x^2+1)'
u'(x)=(2x^2)'+(1)'
u'(x)=2(x^2)'+(1)'
u'(x)=2\times 2x+0
u'(x)=4x
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x^2+1 et u'(x) par 4x dans la formule \frac{u'(x)}{u(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(ln(2x^2+1))' \\f'(x)=\frac{(2x^2+1)'}{2x^2+1} \\f'(x)=\frac{4x}{2x^2+1}
f(x)=(x-2)ln(3x)
pour x \in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x-2 et v(x)=ln(3x).
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x-2 c’est une somme, on utilise la ligne 1 du tableau 1.
u'(x)=(x-2)'
\hspace{0.9cm}=(x)'-(2)'
\hspace{0.9cm}=1-0
\hspace{0.9cm}=1
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=ln(3x) est de la forme ln(u) , on utilise la ligne n°8 du premier tableau.
v'(x)=\frac{(3x)'}{3x}
v'(x)=\frac{3(x)'}{3x}
v'(x)=\frac{3\times 1}{3x}
v'(x)=\frac{3}{3x}
v'(x)=\frac{1}{x}
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x-2, v par ln(3x), u' par 1 et v' par \frac{1}{x} dans la formule u'\times v+u\times v'
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= ((x-2)ln(3x))'\\f'(x)=(x-2)'\times{ln(3x)}+(x-2)\times{(ln(3x))'} \\f'(x)=1\times{ln(3x)}+(x-2)\times{\frac{(3x)'}{3x}} \\f'(x)=ln(3x)+(x-2)\times{\frac{3(x)'}{3x}} \\f'(x)=ln(3x)+(x-2)\times{\frac{3\times 1}{3x}} \\f'(x)=ln(3x)+(x-2)\times{\frac{1}{x}} \\f'(x)=ln(3x)+\frac{x-2}{x}
f(x)= \frac{2ln(x)+1}{x} pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=2ln(x)+1 et v(x)=x.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2ln(x)+1
C’est une somme voir ligne 1 du 1er tableau.
u'(x)=(2ln(x)+1)'
u'(x)=(2ln(x))'+(1)'
u'(x)=2(ln(x))'+0
Pour dériver ln(x), on utilise la ligne logarithme népérien du 3ième tableau.
u'(x)=2\times\frac{1}{x}
u'(x)=\frac{2}{x}
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
C’est une fonction de référence, voir ligne 2 du 3ème tableau.
v'(x)=(x)'
v'(x)=1
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par (2ln(x)+1), v par x, u' par \frac{2}{x} et v' par 1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{2ln(x)+1}{x})'\\f'(x)=\frac{(2ln(x)+1)'\times{x}-{(2ln(x)+1)}\times{(x)'}}{x^2}\\f'(x)=\frac{\frac{2}{x}\times{x}-{(2ln(x)+1)}\times{1}}{x^2}\\f'(x)=\frac{2-(2ln(x)+1)}{x^2}\\f'(x)=\frac{2-2ln(x)-1}{x^2}\\f'(x)=\frac{1-2ln(x)}{x^2}
f(x)= (ln(x))^3 pour x\in ]0;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions ou le carré d’une fonction ? (la liste s’allonge)
C’est le cube d’une fonction : u^3 avec u(x)=ln(x).
D’après le cours : La fonction u^3:x\rightarrow(u(x))^3 est dérivable , (u^3)'(x)=3\times u'(x) \times u(x)^2
Calcul de u'(x)
u(x) est une fonction de référence.
u'(x)=(ln(x))'
u'(x)=\frac{1}{x}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par ln(x) et u'(x) par \frac{1}{x} dans la formule 3\times u'(x) \times u(x)^2 .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=3\times (ln(x))' \times (ln(x))^2\\f'(x)=3\times \frac{1}{x}\times ln^2(x)\\f'(x)=\frac{3ln^2(x)}{x}
f(x)= \frac{2ln(x)-2}{x^2} pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=2ln(x)-2 et v(x)=x^2.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=2ln(x)-2
C’est une somme voir ligne 1 du 1er tableau.
u'(x)=(2ln(x)-2)'
u'(x)=(2ln(x))'-(2)'
u'(x)=2(ln(x))'-(2)'
Pour dériver ln(x), on utilise la ligne logarithme népérien du troisième tableau.
u'(x)=2\times \frac{1}{x}+0
u'(x)=\frac{2}{x}
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
C’est une fonction de référence, voir ligne 3 du 3ème tableau.
v'(x)=(x^2)'
v'(x)=2x
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par (2ln(x)-2), v par x^2, u' par \frac{2}{x} et v' par 2x dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{2ln(x)-2}{x^2})'\\f'(x)=\frac{(2ln(x)-2)'\times{x^2}-{(2ln(x)-2)}\times{(x^2)'}}{(x^2)^2}\\f'(x)=\frac{\frac{2}{x}\times{x^2}-{(2ln(x)-2)}\times{2x}}{x^4}
Au lieu de multiplier \frac{2}{x}\times{x^2} , il est plus judicieux de simplifier par x en haut et en bas.
f'(x)=\frac{2x-(2ln(x)\times 2x-2\times 2x)}{x^4}\\f'(x)=\frac{2x-(4xln(x)-4x)}{x^4}\\f'(x)=\frac{2x-4xln(x)+4x}{x^4}\\f'(x)=\frac{6x-4xln(x)}{x^4}
f(x)= ln(\frac{x-2}{x+2}) pour x\in ]2;+\infty[.
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou ln(u) ? (la liste s’allonge)
C’est de la forme ln(u(x)) avec u(x)=\frac{x-2}{x+2}.
D’après le cours : La fonction ln(u):x\rightarrow ln(u(x)) est dérivable et (ln(u))'(x)= \frac{(u(x))'}{u(x)}
Calcul de u'(x). C’est un quotient.
u'(x)=(\frac{x-2}{x+2})'
u'(x)=\frac{(x-2)'\times(x+2)-(x-2)\times(x+2)'}{(x+2)^2}
u'(x)=\frac{1\times(x+2)-(x-2)\times 1}{(x+2)^2}
u'(x)=\frac{x+2-(x-2)}{(x+2)^2}
u'(x)=\frac{x+2-x+2}{(x+2)^2}
u'(x)=\frac{4}{(x+2)^2}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par \frac{x-2}{x+2} et u'(x) par \frac{4}{(x+2)^2} dans la formule \frac{(u(x))'}{u(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(ln(\frac{x-2}{x+2}))' \\f'(x)=\frac{(\frac{x-2}{x+2})'}{(\frac{x-2}{x+2})}
Dans un premier temps, on calcule (\frac{x-2}{x+2})'.
(\frac{x-2}{x+2})'=\frac{(x-2)'\times(x+2)-(x-2)\times(x+2)'}{(x+2)^2}\\\hspace{1cm}=\frac{1\times(x+2)-(x-2)\times 1}{(x+2)^2}\\\hspace{1cm}=\frac{x+2-(x-2)}{(x+2)^2}\\\hspace{1cm}=\frac{x+2-x+2}{(x+2)^2}\\\hspace{1cm}=\frac{4}{(x+2)^2}
Puis on remplace (\frac{x-2}{x+2})' par \frac{4}{(x+1)^2} dans f'(x)=\frac{(\frac{x-2}{x+2})'}{(\frac{x-2}{x+2})}.
f'(x)=\frac{\frac{4}{(x+2)^2}}{(\frac{x-2}{x+2})}
Diviser par \frac{x-2}{x+2} revient à multiplier par \frac{x+2}{x-2}
f'(x)={\frac{4}{(x+2)^2}}\times{\frac{x+2}{x-2}}
On simplifie en haut et en bas par (x+2)
f'(x)=\frac{4}{(x+2)(x-2)}
f(x)=ln(\frac{x^2}{x+2}) pour x \in ]-2;+\infty[
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou ln(u) ? (la liste s’allonge)
C’est de la forme ln(u(x)) avec u(x)=\frac{x^2}{x+2}.
D’après le cours : La fonction ln(u):x\rightarrow ln(u(x)) est dérivable et (ln(u))'(x)= \frac{(u(x))'}{u(x)}
Calcul de u'(x). C’est un quotient.
u'(x)=(\frac{x^2}{x+2})'
u'(x)=\frac{(x^2)'\times(x+2)-x^2\times(x+2)'}{(x+2)^2}
u'(x)=\frac{2x\times(x+2)-x^2\times 1}{(x+2)^2}
u'(x)=\frac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}
u'(x)=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par \frac{x^2}{x+2} et u'(x) par \frac{x^2+4x}{(x+2)^2} dans la formule \frac{(u(x))'}{u(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(ln(\frac{x^2}{x+2}))' \\f'(x)=\frac{(\frac{x^2}{x+2})'}{(\frac{x^2}{x+2})}
Dans un premier temps, on calcule (\frac{x^2}{x+2})'.
(\frac{x^2}{x+2})'=\frac{(x^2)'\times(x+2)-x^2\times(x+2)'}{(x+2)^2}\\\hspace{1cm}=\frac{2x\times(x+2)-x^2\times 1}{(x+2)^2}\\\hspace{1cm}=\frac{2x^2+4x-x^2}{(x+2)^2}\\\hspace{1cm}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}
Puis on remplace (\frac{x^2}{x+2})' par \frac{x^2+4x}{(x+1)^2} dans f'(x)=\frac{(\frac{x^2}{x+2})'}{(\frac{x^2}{x+2})}.
f'(x)=\frac{\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}}{(\frac{x^2}{x+2})}
Diviser par \frac{x^2}{x+2} revient à multiplier par \frac{x+2}{x^2}
f'(x)={\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}}\times{\frac{x+2}{x^2}}
On simplifie en haut et en bas par (x+2)
f'(x)=\frac{x^2+4x}{(x+2)x^2}
résoudre ln(2-2x)=ln(4+2x)
Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.
L’équation ln(2-2x)=ln(4+2x) existe si 2-2x>0 et si 4+2x>0
On résout l’inéquation du premier degré
2-2x>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
2-2x>0\\-2x>-2\\x<\frac{-2}{-2}\\x<1
On résout l’inéquation du premier degré
4+2x>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
4+2x>0\\2x>-4\\x>\frac{-4}{2}\\x>-2
L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :
]-2;1[
Etape n°2: On résout l’équation ln(2-4x)=ln(4-2x)
On peut appliquer la propriété suivante ln(a)=ln(b) \iff a=b .
ln(2-2x)=ln(4+2x) \iff 2-2x=4+2x
\hspace{2.35cm} \iff -2x=4+2x-2
\hspace{2.35cm} \iff -2x-2x=2
\hspace{2.35cm} \iff -4x=2
\hspace{2.35cm} \iff x=\frac{2}{-4}
\hspace{2.35cm} \iff x=-\frac{1}{2}
Etape n°3: On vérifie que la solution est dans l’ensemble d’existence.
-\frac{1}{2}\in]-2;1[
Donc S=\{-\frac{1}{2}\}
résoudre ln(x)+ln(x-1)=ln(2)
Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.
L’équation ln(x)+ln(x-1)=ln(2) existe si x>0 et si x-1>0
Pour x>0, il n’y a rien à faire.
On résout l’inéquation du premier degré
x-1>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
x-1>0\\x>1
L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :
]1;+\infty[
Etape n°2: On résout l’équation ln(x)+ln(x-1)=ln(2)
Avant d’ appliquer la propriété suivante ln(a)=ln(b) \iff a=b, il faut transformer le membre de gauche en ln(a).
On applique la propriété : ln(a)+ln(b)=ln(ab) avec a=x et b=x-1.
ln(x)+ln(x-1)=ln(x(x-1))
ln(x)+ln(x-1)=ln(2)\\ln(x(x-1))=ln(2)
x(x-1)=2
C’est une équation du second degré, on développe le produit, on fait ensuite tout passer à gauche et zéro apparaît à droite.
x^2-x-2=0.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-1 et c=-2.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-1),(-2).
\Delta=(-1)²-4\times{1}\times{(-2)}\\\Delta=1+8\\\Delta=9
comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-1) , 9.
x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{1-\sqrt{9}}{2}\\x_1=\frac{1-3}{2}\\x_1=\frac{-2}{2}\\x_1=-1
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-1) , 9.
x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{1+\sqrt{9}}{2}\\x_2=\frac{1+3}{2}\\x_2=\frac{4}{2}\\x_2=2
Les solutions de x^2-x-2=0 sont -1 et 2.
Etape n°3: On vérifie que les solutions sont dans l’ensemble d’existence.
-1\notin]1;+\infty[
2\in]1;+\infty[
Donc S=\{2\}
résoudre 2ln(x)=ln(6x-9)
Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.
L’équation 2ln(x)=ln(6x-9) existe si x>0 et si 6x-9>0
x>0( il n’y a rien à faire)
On résout l’inéquation du premier degré
6x-9>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
6x-9>0\\6x>9\\x>\frac{9}{6}\\x>\frac{3}{2}
L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :
]\frac{3}{2};+\infty[
Etape n°2: On résout l’équation 2ln(x)=ln(6x-9)
Avant d’ appliquer la propriété suivante ln(a)=ln(b) \iff a=b, il faut transformer le membre de gauche en ln(a).
On applique la propriété : 2ln(a)=ln(a^2) avec a=x .
2ln(x)=ln(x^2)
2ln(x)=ln(6x-9)\\ln(x^2)=ln(6x-9)
x^2=6x-9
C’est une équation du second degré, on fait tout passer à gauche et zéro apparaît à droite.
x^2-6x+9=0.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-6 et c=9.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-6),9.
\Delta=(-6)²-4\times{1}\times{9}\\\Delta=36-36\\\Delta=0
comme \Delta=0 , l’équation admet une solution réelle notée x_0=-\frac{b}{2a} .
Je calcule x_0=-\frac{b}{2a} en remplaçant a,b par 1, (-6).
x_0=-\frac{(-6)}{2\times{1}}\\x_0=\frac{6}{2}\\x_0=3
La solution de x^2-6x+9=0 est 3.
Etape n°3: On vérifie que la solution est dans l’ensemble d’existence.
3\in]\frac{3}{2};+\infty[
Donc S=\{3\}
résoudre ln(3-3x)>ln(1+x)
Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.
L’inéquation ln(3-3x)>ln(1+x) existe si 3-3x>0 et si 1+x>0
On résout l’inéquation du premier degré
[latex3-3x>0[/latex] en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
3-3x>0\\-3x>-3\\x<\frac{-3}{-3}\\x<1
On résout l’inéquation du premier degré
1+x>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
1+x>0\\x>-1
L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :
]-1;1[
Etape n°2: On résout l’inéquation ln(3-3x)>ln(1+x)
ln(3-3x)>ln(1+x)
Comme la fonction ln est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.
3-3x>1+x
C’est une inéquation du premier degré, on remet à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
-3x>1+x-3\\-3x>-2+x\\-3x-x>-2\\-4x>-2
On divise de chaque côté par un nombre négatif, le sens de l’inégalité change.
x<\frac{-2}{-4}
x<\frac{1}{2}
Donc x\in ]-\infty;\frac{1}{2}[
Etape n°3: On détermine l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.
Parmi les solutions trouvées à l’étape 2 ( en bleu sur le graphique) seules celles supérieures à -1 sont dans l’ensemble d’existence ( en rouge sur le graphique).
Donc S=]-1;\frac{1}{2}[
résoudre ln(x)+ln(x-1)<ln(6)
Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.
L’inéquation ln(x)+ln(x-1)<ln(6) existe si x>0 et si x-1>0
Pour x>0, il n’y a rien à faire.
On résout l’inéquation du premier degré
x-1>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
x-1>0\\x>1
L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :
]1;+\infty[
Etape n°2: On résout l’inéquation ln(x)+ln(x-1)<ln(6)
On veut se ramener à une écriture du type ln(a)<ln(b) , il faut d’abord transformer le membre de gauche en ln(a).
On applique la propriété : ln(a)+ln(b)=ln(ab) avec a=x et b=x-1.
ln(x)+ln(x-1)=ln(x(x-1))
ln(x)+ln(x-1)<ln(6)\\ln(x(x-1))<ln(6)
Comme la fonction ln est croissante, les nombres et les images varient dans le même sens.
x(x-1)<6
C’est une inéquation du second degré, on développe le produit, on fait ensuite tout passer à gauche et zéro apparaît à droite.
x^2-x-6<0.
Je cherche pour quelle valeurs de x, le trinôme x^2-x-6 est de signe –.
J’identifie les coefficients l’équation a=1, b=-1 et c=-6.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-1),(-6).
\Delta=(-1)²-4\times{1}\times{(-6)}\\\Delta=1+24\\\Delta=25
comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-1) , 25.
x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}\\x_1=\frac{1-5}{2}\\x_1=\frac{-4}{2}\\x_1=-2
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-1) , 25.
x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}\\x_2=\frac{1+5}{2}\\x_2=\frac{6}{2}\\x_2=3
Je fais un tableau de signes, x^2-x-6 est du signe de a, ici 1, à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.
Le trinôme x^2-x-6 est de signe – pour la deuxième colonne.
Donc x\in ]-2;3[
Etape n°3: On détermine l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.
Seule la partie ]1;3[ de l’ensemble trouvé à l’étape 2 ( en bleu ci-dessous) se trouve dans l’ensemble d’existence ( en rouge ci-dessous).
Donc S=]1;3[
résoudre 2ln(x)\leq ln(5x-4)
Etape n°1: Déterminer l’ensemble d’existence.
L’inéquation 2ln(x)\geq ln(5x-4)) existe si x>0 et si 5x-4>0
x>0( il n’y a rien à faire)
On résout l’inéquation du premier degré
5x-4>0 en mettant à leur place les membres qui ne sont pas à leur place.
5x-4>0\\5x>4\\x>\frac{4}{5}
L’ensemble d’existence est la partie de la droite graduée coloriée deux fois, ici on obtient :
]\frac{4}{5};+\infty[
Etape n°2: On résout l’inéquation 2ln(x)\leq ln(5x-4))
Il faut transformer le membre de gauche en ln(a).
On applique la propriété : 2ln(a)=ln(a^2) avec a=x , c’est-à-dire 2ln(x)=ln(x^2)
2ln(x)\leq ln(5x-4))\\ln(x^2)\leq ln(5x-4))
La fonction ln est croissante donc les nombres et les images varient dans le même sens.
x^2\leq 5x-4
C’est une inéquation du second degré, on fait tout passer à gauche et zéro apparaît à droite.
x^2-5x+4\leq 0.
On cherche pour quelles valeurs de x, le trinôme du second degré x^2-5x+4 est de signe – ou nul.
J’identifie les coefficients du trinôme du second degré a=1, b=-5 et c=4.
Je calcule \Delta=b²-4ac en remplaçant a,b,c par 1, (-5),4.
\Delta=(-5)²-4\times{1}\times{4}\\\Delta=25-16\\\Delta=9
comme \Delta>0 , l’équation admet deux solutions réelles notées
x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Je calcule x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-5) , 9.
x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_1=\frac{5-3}{2}\\x_1=\frac{2}{2}\\x_1=1
Je calcule x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} en remplaçant a,b,\Delta par 1, (-5) , 9.
x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\times{1}}\\x_2=\frac{5+3}{2}\\x_2=\frac{8}{2}\\x_2=4
Je fais un tableau de signes, x^2-5x+4 est du signe de a, ici 1, à l’extérieur des racines et du signe de -a à l’intérieur des racines.
le trinôme du second degré x^2-5x+4 est de signe – ou nul pour la 2ième colonne.
Donc x\in [1;4]
Etape n°3: On détermine l’intervalle solution en fonction de l’ensemble d’existence.
L’ensemble trouvé à l’étape 2 ( en bleu ci-dessous) se trouve dans l’ensemble d’existence ( en rouge ci-dessous).
Donc S=[1;4] .
On veut calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}xln(x).
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty
D’après le théorème sur le produit lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}xln(x)=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}x^3-3ln(x).
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}x^3=0
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}ln(x)=-\infty\\lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}-3ln(x)=+\infty
D’après le théorème sur la somme lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}x^3-3ln(x)=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(\frac{3+x}{x+1})
La fonction est la composée de 2 fonctions avec g(X)=ln(X) et f(x)=\frac{3+x}{x+1}, cliquer sur + La fonction est une composée g\circ f.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
Pour calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{3+x}{x+1}, le théorème sur le quotient donne une forme indéterminée \frac{+\infty}{+\infty}.
On modifie l’écriture de \frac{3+x}{x+1} en mettant le plus haut degré en facteur en haut et en bas.
\frac{3+x}{x+1}=\frac{x(\frac{3}{x}+1)}{x(1+\frac{1}{x})}=\frac{\frac{3}{x}+1}{1+\frac{1}{x}}\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{3}{x}+1=1 et lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}1+\frac{1}{x}+1=1
d’après le théorème sur la limite d’un quotient,
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{3+x}{x+1}=1
lim_{X\to{1}}\hspace{0.2cm}ln(X)=0
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée,
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(\frac{3+x}{x+1})=0
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}ln(2-x)
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée g\circ f.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm}2-x=+\infty et lim_{X\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} ln(X)=+\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to{-\infty}}\hspace{0.2cm} ln(2-x)=+\infty
On veut calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x) c’est-à-dire lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2-ln(x)-1
La fonction est la somme de 3 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty et lim_{X\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} X^2=+\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2=+\infty
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-ln(x)=-\infty
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}-1=-1 car -1 ne dépend pas de x .
D’après le théorème sur la somme on ne peut pas conclure car on obtient une forme indéterminée.
On va mettre (ln(x))^2( le plus haut degré) en facteur puis utiliser le théorème sur le produit.
(ln(x))^2-ln(x)-1=(ln(x))^2(1-\frac{ln(x)}{(ln(x))^2}-\frac{1}{(ln(x))^2}).
\hspace{3.2cm}=(ln(x))^2(1-\frac{1}{ln(x)}-\frac{1}{(ln(x))^2}).
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty et lim_{X\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} X^2=+\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2=+\infty
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}1=1\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ln(x)}=0\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{(ln(x))^2}=0
D’après le théorème sur la somme : lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}1-\frac{ln(x)}{(ln(x))^2}-\frac{1}{(ln(x))^2}=1
D’après le théorème sur le produit :
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2(1-\frac{1}{ln(x)}-\frac{1}{(ln(x))^2})=+\infty
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x)=+\infty
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ln(x)-1}.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}1=1 car 1 ne dépend pas de x.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)-1=+\infty
D’après le théorème sur la quotient lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ln(x)-1}=0.
On veut calculer lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)-2}{x}.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty.
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)-2=+\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure pour lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)-2}{x}car on tombe sur une forme indéterminée.
On modifie l’écriture de la fonction.
\frac{ln(x)}{x}-\frac{2}{x}. C’est une somme de deux fonctions.
D’après le théorème des croissances comparées:
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}=0
lim_{x\to+\infty}\hspace{0.2cm}2=2 et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}x=+\infty
D’après le théorème sur le quotient :
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}-\frac{2}{x}=0
D’après le théorème sur la somme :
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}-\frac{2}{x}=0.
On veut calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)-x.
La fonction est la somme de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme f+g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}x=+\infty
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}-x=-\infty
On tombe sur une forme indéterminée pour lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)-x, le théorème sur la somme ne permet pas de conclure.
On modifie l’écriture de ln(x)-x=x(\frac{ln(x)}{x}-1) et on utilise le théorème sur le produit ( on a fait apparaître \frac{ln(x)}{x} qui tend vers 0 en +\infty avec les croissances comparées )
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty
D’après les croissances comparées, lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}=0
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}-1=-1
D’après le théorème sur le produit:
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x(\frac{ln(x)}{x}-1)=-\infty
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)-x=-\infty
On veut calculer lim_{x\to+\infty }\hspace{0.2cm}\frac{ln(2+x)}{x}.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(2+x)=+\infty.
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure pour lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(2+x)}{x}car on tombe sur une forme indéterminée.
On modifie l’écriture de la fonction.
\frac{ln(2+x)}{x}\times \frac{2+x}{2+x}=\frac{ln(2+x)}{2+x}\times \frac{2+x}{x} . C’est un nouveau produit de deux fonctions.( on a fait apparaître \frac{ln(2+x)}{2+x} qu’on peut déterminer avec les croissances comparées.)
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}2+x=+\infty
lim_{X\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(X)}{X}=0 ( D’après le théorème des croissances comparées)
D’après le théorème sur les fonctions composées :
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(2+x)}{2+x}=0
Avec le théorème sur le quotient, on obtient une forme indéterminée pour lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{2+x}{x} .
Modifions l’écriture \frac{2+x}{x}=\frac{x(\frac{2}{x}+1)}{x}=\frac{2}{x}+1
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{2}{x}=0 et lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}1=1
D’après le théorème sur la somme :
lim_{x\to 0}\hspace{0.2cm}\frac{2+x}{x}=1
D’après le théorème sur le produit :
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(2+x)}{2+x}\times \frac{2+x}{x}=0
Donc lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{ln(2+x)}{x}=0
On veut calculer lim_{x\to 0 }\hspace{0.2cm}\frac{xln(x)}{x^2+1}.
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient, f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
D’après le théorème sur les croissances comparées lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}xln(x)=0.
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}x^2=0 et lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}1=1 .
Donc lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}x^2+1=1
D’après le théorème sur le quotient
lim_{x\to +\infty}\hspace{0.2cm}\frac{xln(x)}{x^2+1}=0
On veut calculer lim_{x\to2}\hspace{0.2cm}f(x), c’est-à-dire lim_{x\to2}\hspace{0.2cm}ln(2x-4).
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée g\circ f.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to2}\hspace{0.2cm}2x-4=0 et lim_{X\to0}\hspace{0.2cm}ln(X)=-\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to2}\hspace{0.2cm}ln(2x-4)=-\infty
Donc lim_{x\to2}\hspace{0.2cm}f(x)=-\infty
On veut calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x) c’est-à-dire lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(2x-4)
La fonction est la composée de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est une composée g\circ f.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}2x-4=+\infty et lim_{X\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} ln(X)=+\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} ln(2x-4)=+\infty
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} f(x)=+\infty
f(x)= ln(2x-4).
On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction , le quotient de deux fonctions , le carré d’une fonction ou ln(u(x)) ? (la liste s’allonge)
C’est de la forme ln(u(x)) avec u(x)=2x-4.
D’après le cours : La fonction ln(u):x\rightarrow ln(u(x)) est dérivable et (ln(u))'(x)= \frac{u'(x)}{u(x)}
Calcul de u'(x)
u'(x)=(2x-4)'
u'(x)=(2x)'-(4)'
u'(x)=2(x)'-(4)'
u'(x)=2\times 1+0
u'(x)=2
Calcul de f'(x)
On calcule en remplaçant u(x) par 2x-4 et u'(x) par 2 dans la formule \frac{u'(x)}{u(x)} .
Voici ce qu’il faut écrire sur la copie :
f'(x)=(ln(2x-4))' \\f'(x)=\frac{(2x-4)'}{2x-4} \\f'(x)=\frac{2}{2x-4}
On peut éventuellement simplifier par 2.
f'(x)=\frac{1}{x-2} .
On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{1}{x-2} sur ]2;+\infty[.
On clique sur le + de la septième ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.
La quantité est une somme
- de nombres positifs alors la quantité est positive.
- de nombres négatifs alors la quantité est négative.
- de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure
On peut factoriser et étudier le signe d’un produit
On peut résoudre la quantité >0
…
La quantité est de la forme ax+b
On utilise le tableau suivant :
La quantité est de la forme ax²+bx+c
On utilise le résultat du cours suivant :
si \Delta>0
si \Delta=0
si \Delta<0
La quantité est une puissance d’exposant pair
La quantité est toujours positive.
Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives
La quantité est une puissance d’exposant impair
La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.
Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.
La quantité est un produit
On fait un tableau de signes comme en seconde.
La quantité est un quotient
On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.
La quantité est une fonction de x
On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.
Le numérateur 1 est positif.
Le quotient est donc du signe du dénominateur : x-2.
On étudie le signe de x-2, on utilise dans le tableau la 2ème ligne : la quantité est de la forme ax+b.
On en déduit le signe de f'(x).
On utilise les réponses obtenues précédemment pour dresser le tableau de variations de f sur ]2;+\infty[.
On veut calculer lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}f(x) c’est-à-dire lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}xln(x)
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}x=0 et lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm} ln(x)=-\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
On ne peut pas conclure, c’est une forme indéterminée.
On peut utiliser les croissances comparées:
D’après le cours lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}xln(x)=0.
Donc lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}f(x)=0.
On veut calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x) c’est-à-dire lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}xln(x)
La fonction est le produit de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un produit fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}x=+\infty et lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} ln(x)=+\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}xln(x)=+\infty.
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x)=+\infty.
f(x)=xln(x) pour x \in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le produit de deux fonctions u\times v avec u(x)=x et v(x)=ln(x).
On va utiliser la ligne n°3 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=x
x est une fonction de référence, on utilise la ligne n°2 du 3ième tableau.
u'(x)= 1
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=ln(x) c’est une fonction de référence, on utilise la ligne n°8 du 3ième tableau.
v'(x)=\frac{1}{x}
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par x, v par ln(x), u' par 1 et v' par \frac{1}{x} dans la formule u'\times v+u\times v'
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (xln(x))'\\f'(x)=(x)'\times{ln(x)}+x\times{(ln(x))'} \\f'(x)=1\times{ln(x)}+x\times{\frac{1}{x}} \\f'(x)=ln(x)+1
On veut étudier le signe de f'(x)=ln(x)+1 sur ]0;+\infty[.
On clique sur le + de la première ligne du tableau ci-dessous : la quantité est une somme.
La quantité est une somme
- de nombres positifs alors la quantité est positive.
- de nombres négatifs alors la quantité est négative.
- de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure
On peut factoriser et étudier le signe d’un produit
On peut résoudre la quantité >0
…
La quantité est de la forme ax+b
On utilise le tableau suivant :
La quantité est de la forme ax²+bx+c
On utilise le résultat du cours suivant :
si \Delta>0
si \Delta=0
si \Delta<0
La quantité est une puissance d’exposant pair
La quantité est toujours positive.
Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives
La quantité est une puissance d’exposant impair
La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.
Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.
La quantité est un produit
On fait un tableau de signes comme en seconde.
La quantité est un quotient
On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.
La quantité est une fonction de x
On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.
ln(x)+1 est une somme de termes de signes indéterminés, on ne peut pas conclure directement.
Cherchons, par exemple, pour quelles valeurs de x , ln(x)+1 est positif.
ln(x)+1>0
Il faut se ramener à une écriture de la forme ln(a)>ln(b).
ln(x)>-1
Comme ln(e)=1
ln(x)>-ln(e)\\ln(x)>ln(\frac{1}{e})\\x>\frac{1}{e}
Donc la dérivée est positive si x>\frac{1}{e}.
Dressons le tableau de signes de f'(x).
On utilise les réponses obtenues précédemment pour dresser le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[.
De plus f(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}ln(\frac{1}{e})\\\hspace{1.8cm}=\frac{1}{e}(-ln(e))\\\hspace{1.8cm}=\frac{1}{e}\times(-1)\\\hspace{1.8cm}=-\frac{1}{e}
On veut calculer lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}f(x) c’est-à-dire lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}ln(x)=-\infty et lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm} x=0^{+}
D’après le théorème sur le quotient (4ème colonne ).
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}=-\infty
Donc lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}f(x)=-\infty.
On veut calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x) c’est-à-dire lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}
La fonction est le quotient de 2 fonctions, cliquer sur + La fonction est un quotient f/g.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty et lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} x=+\infty
Le théorème sur le quotient ne permet pas de conclure car on tombe sur une forme indéterminée.
On va utiliser la propriété des croissances comparées.
D’après le cours, lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{ln(x)}{x}=0.
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x)=0.
f(x)= \frac{ln(x)}{x} pour x\in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est le quotient de deux fonctions \frac{u}{ v} avec u(x)=ln(x) et v(x)=x.
On va utiliser la ligne n°5 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=ln(x)
Pour dériver ln(x), on utilise la ligne logarithme népérien du 3ième tableau.
u'(x)=\frac{1}{x}
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
C’est une fonction de référence, voir ligne 2 du 3ème tableau.
v'(x)=(x)'
v'(x)=1
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
On remplace u par (ln(x)), v par x, u' par \frac{1}{x} et v' par 1 dans la formule \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2}
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= (\frac{ln(x)}{x})'\\f'(x)=\frac{(ln(x))'\times{x}-{ln(x)}\times{(x)'}}{x^2}\\f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\times{x}-{ln(x)}\times{1}}{x^2}\\f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2}
On veut étudier le signe de f'(x)=\frac{1-ln(x)}{x^2} sur ]0;+\infty[.
On clique sur le + de la première ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.
La quantité est une somme
- de nombres positifs alors la quantité est positive.
- de nombres négatifs alors la quantité est négative.
- de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure
On peut factoriser et étudier le signe d’un produit
On peut résoudre la quantité >0
…
La quantité est de la forme ax+b
On utilise le tableau suivant :
La quantité est de la forme ax²+bx+c
On utilise le résultat du cours suivant :
si \Delta>0
si \Delta=0
si \Delta<0
La quantité est une puissance d’exposant pair
La quantité est toujours positive.
Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives
La quantité est une puissance d’exposant impair
La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.
Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.
La quantité est un produit
On fait un tableau de signes comme en seconde.
La quantité est un quotient
On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.
La quantité est une fonction de x
On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.
Le dénominateur x^2 est positif, le quotient est donc du signe du numérateur 1-ln(x).
1-ln(x) est une somme de termes de signes indéterminés, on ne peut pas conclure directement.
Cherchons, par exemple, pour quelles valeurs de x , 1-ln(x) est positif.
1-ln(x)>0
Il faut se ramener à une écriture de la forme ln(a)<ln(b).
-ln(x)>-1\\ln(x)<1
Comme ln(e)=1
ln(x)<ln(e)\\x<e
Donc la dérivée est positive si x<e.
Dressons le tableau de signes de f'(x).
On utilise les réponses obtenues précédemment pour dresser le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[.
De plus f(e)=\frac{ln(e)}{e}=\frac{1}{e}.
On veut calculer lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}f(x) c’est-à-dire lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2-ln(x)-1
La fonction est la somme de 3 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}ln(x)=-\infty et lim_{X\to{-\infty}}\hspace{0.2cm} X^2=+\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2=+\infty
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}ln(x)=-\infty
Donc lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}-ln(x)=+\infty
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}-1=-1 car -1 ne dépend pas de x .
D’après le théorème sur la somme lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2-ln(x)-1=+\infty.
Donc lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}f(x)=+\infty.
On veut calculer lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x) c’est-à-dire lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2-ln(x)-1
La fonction est la somme de 3 fonctions, cliquer sur + La fonction est une somme fg.
La fonction est une somme de la forme f+g
| \lim f= | l | l | l | +\infty | -\infty | +\infty |
| \lim g= | l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | -\infty |
| \lim f+g= | l+l' | +\infty | -\infty | +\infty | -\infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en factorisant et on applique un autre théorème par exemple celui sur le produit.
La fonction est un produit de la forme fg
| \lim f= | l | l\ne0 | \infty | 0 |
| \lim g= | l' | \infty | \infty | \infty |
| \lim fg= | l\times l' | \infty | \infty | Forme indéterminée |
Remarque quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en développant et on applique un autre théorème par exemple celui sur la somme.
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est quotient de la forme f/g
| \lim f= | l | l\ne0 | l | \infty | \infty | 0 |
| \lim g= | l'\ne0 | 0 | \infty | l | \infty | 0 |
| \lim\frac{f}{g}= | \frac{l}{l'} | \infty | 0 | \infty | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
Remarque
quand on dit « forme indéterminée » cela signifie que le théorème ne permet pas de conclure. On modifie l’écriture par exemple en simplifiant le quotient et on applique à nouveau le théorème .
Dans le tableau, on a noté \infty sans préciser le signe, il suffira d’appliquer le règle des signes pour conclure.
La fonction est une composée gof
Si lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}f(x)=b et lim_{X\to b}\hspace{0.2cm}g(X)=c alors lim_{x\to a}\hspace{0.2cm}g(f(x))=c
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty et lim_{X\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} X^2=+\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2=+\infty
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty
Donc lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}-ln(x)=-\infty
lim_{x\to{0}}\hspace{0.2cm}-1=-1 car -1 ne dépend pas de x .
D’après le théorème sur la somme on ne peut pas conclure car on obtient une forme indéterminée.
On va mettre (ln(x))^2( le plus haut degré) en facteur puis utiliser le théorème sur le produit.
(ln(x))^2-ln(x)-1=(ln(x))^2(1-\frac{ln(x)}{(ln(x))^2}-\frac{1}{(ln(x))^2}).
\hspace{3.2cm}=(ln(x))^2(1-\frac{1}{ln(x)}-\frac{1}{(ln(x))^2}).
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}ln(x)=+\infty et lim_{X\to{+\infty}}\hspace{0.2cm} X^2=+\infty
D’après le théorème sur la limite d’une fonction composée :
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2=+\infty
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}1=1\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ln(x)}=0\\lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}\frac{1}{(ln(x))^2}=0
D’après le théorème sur la somme : lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}1-\frac{ln(x)}{(ln(x))^2}-\frac{1}{(ln(x))^2}=1
D’après le théorème sur le produit :
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}(ln(x))^2(1-\frac{1}{ln(x)}-\frac{1}{(ln(x))^2})=+\infty
lim_{x\to{+\infty}}\hspace{0.2cm}f(x)=+\infty
f(x)=(ln(x))^2-ln(x)-1 pour x \in ]0;+\infty[
1.On veut calculer f'(x).
On répond à la question suivante : f(x) est-elle une somme, le produit d’un réel par une fonction, le produit de deux fonctions, l’inverse d’une fonction ou le quotient de deux fonctions ?
C’est la somme de trois fonctions u(x)=(ln(x))^2 , v(x)=-ln(x) et w(x)=-1
On va utiliser la ligne n°1 du tableau n°1 ci-dessous.
Dérivées et opérations
f(x) est | f'(x) se calcule ainsi : |
une somme u+v | u'+v' |
le produit d’une constante k par une fonction u c’est-à-dire ku | k\times u' |
un produit de deux fonctions u\times v | u'\times v+u\times v' |
l’inverse d’une fonction \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
un quotient \frac{u}{v} | \frac{u'\times v-u\times v'}{v^2} |
Dérivées et fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
| v\circ u | (v'\circ u)\times u' |
| u^2 | 2u'u |
| u^3 | 3u'u^2 |
| u^n | nu'u^{n-1} |
| \frac{1}{u} | -\frac{u'}{u^2} |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| cos(u) | -u'sin(u) |
| sin(u) | u'cos(u) |
| e^{u} | u'e^{u} |
| ln(u) | \frac{u'}{u} |
| \frac{1}{u^{n}} | -\frac{nu'}{u^{n+1}} |
2a.on veut calculer la dérivée u'(x)
u(x)=((ln(x))^2
((ln(x))^2 est une fonction composée, on utilise la ligne n°2 du 3ième tableau.
u'(x)=2(ln(x))'ln(x)
u'(x)=2\times \frac{1}{x}\times ln(x)
u'(x)= \frac{2ln(x)}{x}
2b.on veut calculer la dérivée v'(x)
v(x)=-(ln(x)
ln(x) est une fonction de référence, on utilise la dernière ligne du troisième tableau.
v'(x)=-\frac{1}{x}
2c.on veut calculer la dérivée w'(x)
w(x)=-1
-1 est une fonction de référence, on utilise la première ligne du troisième tableau.
w'(x)=0
Dérivées des fonctions de référence
| Fonction | f(x) | Dérivable sur | f'(x) |
| constante | f(x)=k | \mathbf{R} | f'(x)=0 |
| identité | f(x)=x | \mathbf{R} | f'(x)=1 |
| carré | f(x)=x^2 | \mathbf{R} | f'(x)=2x |
| cube | f(x)=x^3 | \mathbf{R} | f'(x)=3x^2 |
| puissance n | f(x)=x^n | \mathbf{R} | f'(x)=nx^{n-1} |
| inverse | f(x)=\frac{1}{x} | \left]-\infty;0\right[\cup\left]0;+\infty\right[ | f'(x)=-\frac{1}{x^2} |
| racine carrée | f(x)=\sqrt{x} | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} |
| exponentielle | f(x)=e^x | \mathbf{R} | f'(x)=e^x |
| sinus | f(x)=sin(x) | \mathbf{R} | f'(x)=cos(x) |
| cosinus | f(x)=cos(x) | \mathbf{R} | f'(x)=-sin(x) |
| logarithme népérien | f(x)=ln(x) | ]0;+\infty[ | f'(x)=\frac{1}{x} |
3. On calcule la dérivée f'(x)
Voilà ce qu’il faut écrire sur votre copie :
f'(x)= ((ln(x))^2-ln(x)-1)'\\f'(x)= ((ln(x))^2)'-(ln(x))'-(1)'\\f'(x)= 2(ln(x))'ln(x)-\frac{1}{x}-0\\f'(x)= 2\times \frac{1}{x}\times ln(x)-\frac{1}{x}\\f'(x)= \frac{2ln(x)}{x}-\frac{1}{x}\\f'(x)= \frac{2ln(x)-1}{x}
On veut étudier le signe de f'(x)= \frac{2ln(x)-1}{x} sur ]0;+\infty[.
On clique sur le + de la première ligne du tableau ci-dessous : la quantité est un quotient.
La quantité est une somme
- de nombres positifs alors la quantité est positive.
- de nombres négatifs alors la quantité est négative.
- de nombres de signes contraires ou indéterminés alors on ne peut pas conclure
On peut factoriser et étudier le signe d’un produit
On peut résoudre la quantité >0
…
La quantité est de la forme ax+b
On utilise le tableau suivant :
La quantité est de la forme ax²+bx+c
On utilise le résultat du cours suivant :
si \Delta>0
si \Delta=0
si \Delta<0
La quantité est une puissance d’exposant pair
La quantité est toujours positive.
Exemples : les quantités x^2 , (2x+5)^4 sont toujours positives
La quantité est une puissance d’exposant impair
La quantité est du signe de ce qui est élevé à la puissance.
Exemple : la quantité x^3 est du signe de x, la quantité (2x-1)^5 est du signe de 2x-1.
La quantité est un produit
On fait un tableau de signes comme en seconde.
La quantité est un quotient
On étudie le signe du numérateur et le signe du dénominateur. Si nécessaire, ensuite on fait un tableau de signes comme en seconde.
La quantité est une fonction de x
On calcule la dérivée, on étudie son signe et on fait le tableau de variations. Ensuite, sur la dernière ligne du tableau de variations, on lit le signe de la quantité.
Le dénominateur x est positif, le quotient est donc du signe du numérateur 2ln(x)-1.
2ln(x)-1 est une somme de termes de signes indéterminés, on ne peut pas conclure directement.
Cherchons, par exemple, pour quelles valeurs de x , 2ln(x)-1 est positif.
2ln(x)-1>0
Il faut se ramener à une écriture de la forme ln(a)>ln(b).
2ln(x)>1\\ln(x)>\frac{1}{2}
Comme a=ln(e^{a}) pour a>0, on peut remplacer \frac{1}{2} par ln(e^{\frac{1}{2}})\\ln(x)>ln(e^{\frac{1}{2}})\\x>e^{\frac{1}{2}}\\x>\sqrt{e}
Donc la dérivée est positive si x>\sqrt{e}.
Dressons le tableau de signes de f'(x).
On utilise les réponses obtenues précédemment pour dresser le tableau de variations de f sur ]0;+\infty[.
De plus f(\sqrt{e})=(ln(\sqrt{e}))^2-ln(\sqrt{e})-1\\f(\sqrt{e})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1\\f(\sqrt{e})=-\frac{5}{4}
